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初高中数学衔接课程(5)——一元二次不等式与分式不等式讲义


初高中数学衔接课程第五讲 方程与不等式
5.1 二元二次方程组解法
方程 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的 项的最高次数是 2 的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其中 x 2 , 2xy , y 2 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项。
? x

2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? x 2 ? y 2 ? 20, ? 我们看下面的两个方程组: ? ? 2 2 ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. ? 2 x ? y ? 1 ? 0; ? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方 程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组。 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程 组的解法。 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元 法来解。 ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, 例 1 解方程组 ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.
解:由②,得 x=2y+2, ③

把③代入①,整理,得 8y2+8y=0, y(y+1)=0。 即 解得 y1=0, 2=-1。 y 把 y1=0 代入③,得 x1=2;把 y2=-1 代入③,得 x2=0。 ? x1 ? 2, ? x2 ? 0, 所以原方程组的解是 ? ;? ? y1 ? 0, ? y2 ? ?1. 说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消 元法来求解。 ? x ? y ? 7, 例 2 解方程组 ? ? xy ? 12. 解:由①,得 x ? 7 ? y. ③ 把③代入②,整理,得 y 2 ? 7 y ? 12 ? 0 解这个方程,得 y1 ? 3, y2 ? 4 。 把 y1 ? 3 代入③,得 x1 ? 4 ;把 y2 ? 4 代入③,得 x2 ? 3 。
? x1 ? 4, ? x2 ? 3, 所以原方程的解是 ? ;? ? y1 ? 3, ? y2 ? 4.

? x ? y ? 11 【例 3】解方程组 ? ? xy ? 28

(1) (2)

分析:本题可以用代入消元法解方程组,但注意到方程组的特点,可以把 x 、

y 看成是方程 z 2 ? 11z ? 28 ? 0 的两根,则更容易求解。
?x ? y ? a 说明:(1) 对于这种对称性的方程组 ? ,利用一元二次方程的根与系数 ? xy ? b

的关系构造方程时,未知数要换成异于 x 、 y 的字母,如 z 。
?x ? 4 ?x ? 7 (2) 对称形方程组的解也应是对称的,即有解 ? ,则必有解 ? 。 ?y ? 7 ?y ? 4
? x 2 ? y 2 ? 5( x ? y ) ? 【例 4】解方程组 ? 2 2 ? x ? xy ? y ? 43 ?

(1) (2)

分析:注意到方程 x 2 ? y 2 ? 5( x ? y ) ,可分解成 ( x ? y)( x ? y ? 5) ? 0 ,即得
x ? y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 ,则可得到两个二元二次方程组,且每个方程组中均有

一个方程为二元一次方程。
? x 2 ? xy ? 12 ? 【例 5】解方程组 ? 2 ? xy ? y ? 4 ? (1) (2)

分析:本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项,我们可以消去常数 项,可得到一个二次三项式的方程.
? xy ? x ? 3 【例 6】解方程组 ? ?3 xy ? y ? 8 (1) (2)

分析:注意到两个方程都有 xy 项,所以可用加减法消之,得到一个二元一 次方程,即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 例 7.解下列方程组: ? y ? x ? 5, (1) ? 2 2 ? x ? y ? 625;

? x ? y ? 3, (2) ? ? xy ? ?10;

? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)(3) ? 5 4 ? y ? x ? 3; ?

? y 2 ? 2x , ? (4) ? 2 2 ? x ? y ? 8. ?

5.2、一元二次不等式及其解法
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶 段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新 课标中关于不等式的必备知识。 1.形如 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次 不等式。 2 . 一 元 二 次 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与 二 次 函 数
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 及一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二

次)。以二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 为例: (1) 作出图象; (2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3,0),(2,0) ,即当
x ? ?3或2 时, y ? 0 。就是说对应的一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的两实

根是 x ? ?3或2 。 (3) 当 x ? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方。就是 说 x ? x ? 6 ? 0 的解是 x ? ?3或x ? 2 。
2

当 ?3 ? x ? 2 时,y ? 0 , 对应图像位于 x 轴的下方。 就是说 x 2 ? x ? 6 ? 0 的 解是 ?3 ? x ? 2 。 一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解, 步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两 个 不相等的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 那么(图 1): ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? x1或x ? x2
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x1 ? x ? x2

②如果图象与 x 轴只有一个交点 (? 相的实数根 xx ? x2 ? ? 那么(图 2):

b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个 2a

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 2a b ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? ? 2a

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解

③如果图象与 x 轴没有交点, 此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由 根的判别式 ? ? 0 来判断) 。 那么(图 3):
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x 取一切实数 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理: (1) 化二次项系数为正; (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积, 则求出两根 x1 , x2 . 那么 ? 0 ” 型的解为 x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根 之间); 【例 1】解不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 。

【例 2】解下列不等式: (1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 6 数为正数。 (2) (x-1)(x+2) ? (x-2)(2x+1) 分析:要先将不等式化为 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式,通常使二次项系

【例 3】解下列不等式: (1) x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 (2) x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 (3) x 2 ? x ? 2 ? 0

【例 4】已知对于任意实数 x , kx 2 ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围。

例 5、函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来。 分析: 由该函数的图象可知, 该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关, 于是需要对对称轴的位置进行分类讨论。 解:∵y=(x-a)2+1-a2, ∴抛物线 y=x2-2ax+1 的对称轴方程是 x=a。 (1)若-2≤a≤1, 由图 2.3-3①可知,当 x=a 时, 该函数取最小值 n=1-a2; (2)若 a<-2 时, 由图 2.3-3②可知, 当 x=-2 时, 该函数取最小值 n=4a+5; (3)若 a>1 时, 由图 2.3-3③可知, 当 x=1 时, 该函数取最小值 n=-2a+2。 ?4a ? 5, a ? ?2, ? 综上,函数的最小值为 n ? ?1 ? a 2 , ? 2 ? a ? 1, ??2a ? 2, a ? 1. ?

y x=a

x=a

y

y x=a

-2

O 1

x

-2

O1

x -2

O

1

x



② 图 2.3-3



5.3 分式不等式的解法
1,简单分式不等式 【例 1】解下列不等式: 2x ? 3 (1) ?0 x ?1

(2)

1 ?3 x?2

说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0。 (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
? x ? ?2 ? x ? ?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 5 ? ? ?3? ? 或? ?? 5 或? 5 ? x ? ? 或x ? ?2 x?2 3 x?? ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1 ? x ? ? 3 ? 3 ? ?

2、可化为一元二次方程的分式方程 1.去分母化分式方程为一元二次方程 1 4x 2 【例 2】解方程 ? 2 ? ?1。 x?2 x ?4 x?2 分析:去分母,转化为整式方程。 说明: (1) 去分母解分式方程的步骤: ①把各分式的分母因式分解; ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母; ③去括号, 把所有项都移到左边, 合并同类项; ④解一元二次方程; ⑤验根。

2.用换元法化分式方程为一元二次方程
x 2 2 3x 2 【例 3】解方程 ( ) ? ?4?0 x ?1 x ?1

分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难。但注意 到方程的结构特点,设
x2 ? y ,即得到一个关于 y 的一元二次方程。最后在已 x ?1 x2 ? y。 x ?1

知 y 的值的情况下,用去分母的方法解方程

说明: 用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值, 而没有求到原方程的解, 即 x 的值。
8( x 2 ? 2 x) 3( x 2 ? 1) ? 2 ? 11 . 【例 4】解方程 x2 ? 1 x ? 2x

分析: 注意观察方程特点, 可以看到分式

x2 ? 2 x x2 ? 1 与 2 互为倒数。 因此, x2 ? 1 x ? 2x

可以设

x2 ? 2 x ? y ,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程。 x2 ? 1

说明:解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整 式方程,体现了化归思想.

3、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程,叫做无理方程. 1.平方法解无理方程 【例 1】解方程
x ?7 ? x ?1

分析:移项、平方,转化为有理方程求解. 说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程 的右边;②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. 【例 2】解方程
3x ? 2 ? x ? 3 ? 3

分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转 化为上例的模式,再用例 4 的方法解方程. 2.换元法解无理方程 【例 3】解方程 3x 2 ? 15 x ? 2 x 2 ? 5 x ? 1 ? 2 分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察 方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现:
3x 2 ? 15 x ? 3 ? 3( x 2 ? 5 x ? 1) .因此,可以设 x 2 ? 5 x ? 1 ? y ,这样就可将原方程

先转化为关于 y 的一元二次方程处理. 说明:解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理 方程,体现了化归思想.

4、含有字母系数的一元二次不等式
【例 1】求关于 x 的不等式 m2 x ? 2 ? 2mx ? m 的解。
1 【例 2】已知关于 x 的不等式 k 2 ? kx ? x ? 2 的解为 x ? ? ,求实数 k 的值。 2 分析:将不等式整理成 ax ? b 的形式,可以考虑只有当 a ? 0 时,才有形如 b b 1 x ? 的解,从而令 ? ? 。 a a 2

课堂小练
1、 解不等式:

(1)

x2+2x-3≤0;

(2)x-x2+6<0;

(3)4x2+4x+1≥0;

(4)x2-6x+9≤0;

(5)-4+x-x2<0。 2x-1 2.不等式 >1 的解集是________. x+3
? y 2 ? 4 x, 3, m 取什么值时,方程组 ? 有一个实数解?并求出这时方程组的解。 ? y ? 2x ? m

4,解关于 x 的不等式 x2-(1+a)x+a<0(a 为常数) 。

5.关于 x 不等式 2x2+bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3。试解关于 x 的不等式 bx2+cx+4≥0。

6.试求关于 x 的函数 y=-x2+mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k。


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