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陕西省西安市高新一中2014届高三数学下学期第十次大练习 理(含解析)


领军教师中心

2014 届高三第十次大练习数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷、第 II 卷共 150 分,考试时长 120 分钟, 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将答题卡交回。 第一卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的

四个选项中选出 符合题目要求的一项。 1、设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,},集合 A={2,4,5,7}, B={1,4,7,8},那么如图所示的阴影部分所表示的集合是 ( ) A.{3,6} B.{4,7} C.{1,2,4,5,7,8} D{1,2,3,5,6,8} 【答案】A 【解析】阴影部分表示 CU ? A ? B ? ,所以如图所示的阴影部分所表示的集合是{3,6}。 2、已知复数 z 满足 z ? A.

2i ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复 数的虚部是( 1 ? 3i



3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】D 【解析】 z ?

2i 1 ? 3i 2i 3 1 3 1 ? ? ? i ,所以 z ? ? i ,所以 z 的共轭 2 2 2 2 1 ? 3i 1 ? 3i 1 ? 3i

?

?

??

?

?

1 。 2 ? ? ? ? ? ? 3、若 a ? (1, 2), b ? (?1,1), c ? (2,1), ka ? b与c 共线,则 k 的值为(
复 数的虚部是 ? A.2 【答案】D 【解析】 B.1 C.0 D.-1



? ? ? ? ? ka ? b ? ? k ? 1, 2k ? 1? ,因为 ka ? b与c 共线,所以 2(2k ? 1) ? (k ?1) ? 0, 解得k=-1 。

4、一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的主视图 的面积为( ) A. 6 3 【答案】D 【解析】由左视图可知,正三棱柱的底面等边三角形的高为 2 3 ,所以底面 三角形的边长的 4,所以 主视图的面积为 B.8 C. 8 3 D.12

1 ? 4 ? 2 3h ? 12 3, 所h ? 3 ,所以这个三棱柱的 2

1 ? 4 ? 3 ? 12 。 2


5、若 sin(

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? )的值为( 6 3 3

1

领军教师中心 A. ?

1 3

B.

1 3

C. ?

7 9

D.

7 9

【答案】C 【解析】 因

? 1 ? 1 sin( ? ? ) ? , 所以 cos( ? ? ) ? 6 3 3 3 2? ? 7 cos( ? 2? )=2 cos 2 ( ? ? ) ? 1 ? ? 。 3 3 9








6、在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和程序 C 实施时必须相邻,请 问实验顺序的编排方法共有( ) A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 【答案】C 【解析】∵由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步, 1 ∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列,有 A2 =2 种结果 ∵程序 B 和 C 实施时必须相邻, ∴把 B 和 C 看做一个元素,同除 A 外的 3 个元素排列,注意 B 和 C 之间还有一个排列,有 4 2 A4 A2 =48 种结果。 根据分步计数原理知共有 2×48=96 种结果。 7、执行如图的算法框图,如果输入 p=5,则输出的 S 等于( ) A.

15 16

B.

31 16

C.

31 32

D.

63 32

【答案】C 【解析】第一次循环: n ? n ? 1 ? 1, s ? s ? 2 第二次循环: n ? n ? 1 ? 2, s ? s ? 2
?n

?n

?

1 ; 2

3 ; 4 7 ?n 第三次循环: n ? n ? 1 ? 3, s ? s ? 2 ? ; 8 15 ?n 第四次循环: n ? n ? 1 ? 4, s ? s ? 2 ? ; 16 31 31 n 第五次循环: n ? n ? 1 ? 5, s ? s ? 2 ? ,此时,输出的 S 等于 。 32 32 x2 y 2 8、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上,且 a b AF 5 ) AF2 ? x轴,若 1 ? ,则双曲线的离心率等于( AF2 3 ?
A.2 【答案】A 【 解 析 】 设 AF x , 所 以 F1F2 ? 4k , 所 以 2 ? 轴 1 ? 5k , AF 2 ? 3k , 因 为 A F B.3 C. 2 D 3

2c ? F1F2 ? 4k , 2a ? AF1 ? AF2 ? 5k ? 3k ? 2k ,所以双曲线的离心率等于 2.
2

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9、已知 a 为常数,若曲线 y ? ax2 ? 3x ? ln x 存在与直线 x+y-1=0 互相垂直的切线,则实数 a 的取值范围是( ) A. [? , 0) 【答案】B 【解析】因为 y ? ax ? 3 x ? ln x ,所以 y? ? 2ax ? 3 ?
2

1 2

B. [? , ??)

1 2

C. [?1, ??)

D. (??, ?1]

1 2ax 2 ? 3x ? 1 ? ( x ? 0) ,因为曲 x x

线 y ? ax2 ? 3x ? ln x 存 在 与 直 线

x+y-1=0

互 相 垂 直 的 切 线 , 所 以

1 ? 1有正根,即2ax 2 ? 2 x ? 1=0有正根 , x 1 2 1 1 2 所以 2a ? 2 ? ? ( ? 1) ? 1 ? ?1, 即a ? ? 。 x x x 2 y? ? 2ax ? 3 ?
10、已知 y=f(x)是偶函数,而 y=f(x+1)是奇函数,且对任意 0 ? x ? 1 ,都有 f ' ( x) ? 0 , 则a ? f ( A.c<b<a 【答案】B 【解析】因为 y=f(x)是偶函数,所以 f ( x) ? f (? x) ????????① 因为 y=f(x+1)是奇函数,所以 f ( x) ? ? f (2 ? x) ????????② 所以函数的周期为 4, 又因为对任意 0 ? x ? 1 , 都有 f ' ( x) ? 0 , 所以函数在 ?0,1? 单调递增, 又 因 为 函 数 y=f(x+1) 是 奇 函 数 , 所 以 函 数 在

98 101 106 ), b ? f ( ), c ? f ( ) 的大小关系是( 19 17 15
B.c<a<b D.a<c<b

) D.a<b<c

?0, 2?

单 调 递 增 , 又

a? f(

98 22 101 33 106 14 14 ) ? f ( ), b ? f ( ) ? f ( ), c ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ,所以 c<a<b。 19 19 17 17 15 15 15

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上。 11、一位同学种了甲、乙两种树苗各一株,分别观察了 9 次、10 次得到树苗的高度数据的 茎叶图如图(单位:厘米) ,则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是 【答案】52 【解析】甲种树苗高度的数据中位数是 24,乙种树苗高度的数据中位数 以它们的和为 52. 12、如图,海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30 ,与 O 相距 10 海里的 C 处,现甲船以 30 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向 20 海里的 B 处的乙船, 甲船 需要 小时到达 B 处。
0

26 ? 30 ? 28 ,所 2

【答案】

7 3
CB
3

【解析】由题意,对于

领军教师中心 的长度可用余弦定理求解, 得 CB =CO +OB -|CO||OB|cos120°=100+400+200=700,因此|CB|= 10 7 ,
2 2 2

因此甲船需要的时间为

10 7 7 (小时) . ? 30 3

13、已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥β ,n∥β ,m、n ? α ,则 α ∥β ; ②若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,n ? γ ,则 m⊥n; ③若 m⊥α ,α ⊥β ,m∥n,则 n∥β ; ④若 n∥α ,n∥β ,α ∩β =m,那么 m∥n; 其中所有正确命题的序号是 . 【答案】②④ 【解析】①若 m∥β ,n∥β ,m、n ? α ,则 α ∥β 错误,要想得 α ∥β 需 m、n 相交; ②若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,n ? γ ,则 m⊥n 正确,因为 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,所以 m⊥γ ,又因为 n ? γ ,则=所以 m⊥n。 ③若 m⊥α ,α ⊥β ,m∥n,则 n∥β 错误,n 可能在平面 β 内; ④若 n∥α ,n∥β ,α ∩β =m,那么 m∥n 正确。 14、已知 O 为坐标原点,点 P 在区域 ?

? ? y ? x ?1 内运动,则满足 OP ? 1 的点 P 的概率 y ? 2 ? x ? 1 ? ?

是 【答案】



?
8

?

1 4

【解析】不等式 ?

? y ? x ?1 ? ? ? y ? 2 ? x ?1

所表示的区域为正方形,且正方形的面积为 2,所以

1 1 ? ?12 ? ?1?1 ? 1 2 满足 OP ? 1 的点 P 的概率是 4 ? ? 8 4。 2
15.三选一题(考生注意:请在下列三题中人选一题作答,如果多做,则按所做第一题的评 分。 ) A.若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 4a 有实数解, 则实数 a 的取值范围是
2



【答案】a<1 或 a>3 【解析】因为函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的最大值为 3,最小值为-3,所以要使关于 x 的不等式

x ?1 ? x ? 2 ? a2 ? 4a 有实数解,需满足 a2 ? 4a ? ?3, 解得a<1或a ? 3 。 B.如图,已知圆 O 直径 AB=5,C 为圆周上一点,BC=4,过点 C 作圆 O 的切线 l ,过点 A 作直 线 l 的垂线 AD,垂足为 D,则 CD= 。
【答案】

12 5

4

领军教师中心 【解析】如图,连接 OC,由题意 DC 是切线可得出 OC⊥DC,再过过 A 作 AE⊥OC 于 E,故有 四边形 AECD 是矩形,可得 AE=CD,又⊙O 的直径 AB=5,C 为圆周上一点,BC=4,∴AC=3, 故

1 1 1 5 1 5 S?ABC ? ? ? 4 ? 3 ? 3, 又 OC = ,故 ? ? AE ? 3 2 2 2 2 2 2 12 12 AE= , 所以CD= 。 5 5 S?AOC ?







? cos(? ? C.设极点与原点重合, 极轴与 x 轴正半轴重合, 已知 C1 的极坐标方程是:

?
3

) ? m,

? x ? 2 ? 2cos ? ,若两曲线有公共点,则实数 m 的取 (? 为参数) 曲线C2的参数方程是 ? ? y ? 2sin ?
值范围是 【答案】[-1,3] 【解析】 将两曲线方程化为直角坐标方程, 得 为两曲线有公共点,所以,圆心到直线的距离小于或等于半径,即 -1≤m≤3,故 m∈[-1,3]。 三、解答题:本大题共 6 小题,75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式。 因 解得 。

(2)若等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

17. (本小题满分 12 分)

b? b ? 设向量 a ? (5 3 cos x, cos x), b ? (sin x, 2 cos x), 函数f ( x) ? a ?
(1)求 x ? [ ?

?

?

? ?

?2

, ] 时,求函数 f(x)的值域。 6 2 (2)将 y=f(x)的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后,再将得到的图像向下平移 5 个单位,得 到函数 y=g(x)的图像,若函数 y=g(x)是偶函数,求 ? 的最小值。

? ?

3 。 2

5

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18.如图在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD ? 底面 ABCD,PA=PD=2, 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , 其 中 BC ? AD,AB ? AD,AD=2AB=2BC= 2 2 . (1)求直线 PC 与平面 PAD 所成的角; (2)求二面角 A-PB-C 的大小。

19.某市为响应国家节能减排建设的号召,唤起人们从自己身边的小事做起,开展了以“再 小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动,其中有两则公益广告: (一)80 部手机,一年就会增加一吨二氧化氮的排放。 (二)人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气。 活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果, 随机对 10-60 岁的人群抽查了 n 人, 并 就两个问题对选取的市民进行提问, 其抽样人数频率分布直方图如图所示, 宣传效果调查结 果如表所示:

(1)分

别 写 出

n,a,b,c,d 的值。 (2)若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率,规定正确回答广告一的 内容得 30 元,广告二的内容得 60 元。组织者随机请一家庭的两成员(大人 45 岁,孩子 17 岁) ,指定大人回答广告一的内容,孩子回答广告二的内容,求该家庭获得奖金数 列及期望。

? 的分布

20. (本小题满分 13 分) 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足 为 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

6

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两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

21. (本小题 14 分)

1 2 x ? ln x . 2 (1)求函数 f ( x) 在 [1,e] 上的最大值、最小值; 1 2 (2)是否存在实数 a,使函数 g ( x) ? x ? ax ? f ( x)   x ? (0, e] 的最小值为 3, 2
已知函数 f ( x ) ? 若存在求出 a 的值,若不存在说明理由。 (3)求证: [ f ?( x)]n ? f ?( xn ) ≥ 2n ? 2(n ? N ) 2014 届高三第十次大练习数学试题(理科)参考答案
*

一、选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 11. 52 12.

2 D

3 D

4 A

5 C

6 C

7 C

8 A

9 B

10 B

7 3

13. ② ④

14.

?
8

?

1 4

15. A.

a<1 或 a>3

B.

12 5

C.[-1,3] 三、解答题 16、解:(1)a1 ? S1 ? 3
当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1; 该式当n ? 1时也符合。 (2)设等比数列?bn ? 公比为q, b2 ? 3, b4 ? 5 ? 7 ? 12, 3 ? 3 ? ?b1q ? 3 ?b1 ? ?b1 ? ? ? 或 2 ? 2 ? 3 ? ?b1q ? 12 ?q ? 2 ? q ? ? 2 ? ? 3 n 1 ?Tn ? (2 ? 1)或Tn ? [(?2) n ? 1]------------------------12分 2 2 ? an ? 2n ?( 1 n ? N ? )------------------------6分

7

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17、(1)f ( x) ? 5 3 cos x sin x ? 2 cos 2 x ? 4 cos 2 x ? sin 2 x ?      ? 5sin(2 x ? ) ? 5 6      ??

?

3 2

?

6 2 6 1 ?      ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6     当 ? x ? [?

?x?

?

??

?

? 2x ?

7? 6 6 ?

?

5 , ]时f ( x) ? [ ,10]------------------------6分 6 2 2

? ?

(2)由已知f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ? 5 6 ? g ( x) ? 5sin[2( x ? ? ) ? ] ? 5 ? 5 ? 5sin(2 x ? 2? ? ) 6 6 ? g ( x)为偶函数, ??2? ?

?

?

?

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z )

?? ? 0,?当k ? ?1时? 有最小值 。 ------------------------12分 3
18.(1)PC 与平面 ABD 所成的角大小为 45 -----------------6 分 (2)二面角 A-PB-C 的大小为 120 --------------------------12 分 1 2 1 19.解() 1 n ? 1200, a ? , c ? , d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 4 3 2 (2)依题意:
0
0

?

2   大人正确回答广告一内容的概率为P( A)= , 3 1 孩子正确回答广告二的内容的概率为P( B )= , 4 则? 可能取值为:0,30,60,90 其分布列为:

?
P

0

30

60

90

1 4

1 2

1 12

1 6

期望 E? ? 35 --------------------------------------12 分 20. (本小题 13 分) (1)解:设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP? QF ? FP?FQ ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

8

领军教师中心 ∴ ? 0, y ?1?? ? ?x,2? ? ? x, y ?1??? x, ?2? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y . ---------------------------------4分 (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a 2 ? 4b . 圆 M 的半径为 MD ?
2



a2 ? ? b ? 2? .
2
2 2

2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2

2 整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ?

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

? 4 .-------------------------------9分
?2

∴ ③

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时, 由③得, 1 ? 分 21.(本题 14 分)解: (1)∵f? (x)= x ? 是增函数故 f ( x) min 分 (2)假设存在实数 a ,使 g ( x) ?

l l2

l2 l l 故当 a ? ?2 2 时, 1 ? 2 的最大值为 2 2 .-----13 ? 2. l1 l2 l1

1 ∴当 x? [1,e] 时,f? (x)>0, ∴ f ( x) 在 [1,e] 上 x 1 1 ? f (1) ? , f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 1 . ???????? 4 2 2

1 2 x ? ax ? f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, 2
9

领军教师中心 那么 g ( x) ? a ?
/

1 ax ? 1 ? x x

????????5 分

① 当 a ? 0 时, g ( x) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x)min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 去) ,所以,此时 f ( x) 无最小值. ②当 0 ?

4 (舍 e

1 1 1 ? e 时, g ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a
③ 当

1 4 ? e 时, g ( x) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x)min ? g (e) ? ae ?1 ? 3 , a ? (舍 a e

去) ,所以,此时 f ( x) 无最小值. 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. ???????? 9
2



(3)∵x>0,∴ [ f ?( x)]n ? f ?( x n ) ? ? x ? 立;

? ?

1? ? n 1 ? ? ? ? x ? n ? ,当 n ? 1 时,不等式显然成 x? ? x ?
1 1 1 2 n ?2 n ?1 ? Cn x ? 2 ? ? ? Cn x ? n ?1 x x x

n

n n 1 n ?1 当 n ≥ 2 时,有 [ f ?( x)] ? f ?( x ) ? Cn x ?

1 n?2 2 n?4 n ?1 ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn

1 x
n?2

?????????????10分

1 1 n?2 1 1 1 2 n ?1 ? [Cn ( x ? n ? 2 ) ? Cn ( x n ? 4 ? n ? 4 ) ? ? ? Cn ( n ? 2 ? x n ? 2 )] 2 x x x 1 n 1 2 n -1 ≥ ?2C n ? 2C n ? ? ? 2C n ? ? 2 ? 2 2
∴ [ f ?( x)]n ? f ?( xn ) ≥ 2n ? 2(n ? N )????????14 分
*

10


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