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《几何画板》在高中数学教学中的应用[1]

时间:2011-09-20


高中数学 教学中《几何画板》的 应用与思考

【摘要】《几何画板》是优秀的数学教学软件,它具有动态的图形功能,丰富的 变换功能,强大的动画功能,方便的函数图像功能。 利用几何画板能够激发学生学 习兴趣,展现数学的形成过程,促进学生对知识的理解。最后笔者谈了《几何画板》
在应用中的一些思考。

【关键词】几何画板;数学教学;应用与思

考;操作 有效调动学生的对数学的学习兴趣,让学生在“做中学”传统的数学教育模 式留给学生的印象是枯燥和抽象的。绝大部分的学生对数学敬而远之,甚至是惧 怕和厌恶,特别是在初中接触了几何与函数之后。这种情绪极大地压抑了学生的 学习潜力。《几何画板》具有强大的动态变化功能,一流的交互功能,能以浓缩 的形态给学生提供数学背景,通过学生的参与和亲手操作,枯燥抽象的内容变成 生动形象的图形,原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。 2 利用《几何画板》,给学生一个“操作数学”的环境,把抽象的数学教学 变得形象、直观 动态展示教学内容或数学问题,能够化抽象为具体,化具体为 形象,因而,使教学更加直观、生动,有利于激发学生的学习兴趣,增强教学的 趣味性。数形结合思想是一个非常重要的数学思想。数学家华罗庚说:“数缺形 时少直观,形缺数时难入微。”《几何画板》为“数形结合”创造了一条便捷的 同时, 可以解决学生难以绘制的图形, 通道, 它不仅对几何模型的绘制提供信息, 而且提供了图形“变换”的动感.随着计算机多媒体的出现和飞速发展,在网络 随着计算机多媒体的出现和飞速发展, 随着计算机多媒体的出现和飞速发展 技术广泛应用于各个领域的同时, 也给学校教育带来了一场深刻的变革—— ——用计 技术广泛应用于各个领域的同时, 也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计 算机辅助教学, 改善人们的认知环境——越来越受到重视。 ——越来越受到重视 从国外引进的教育软 算机辅助教学, 改善人们的认知环境——越来越受到重视。 以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、 件 几何画板》 《几何画板》 以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、 方便的动画功能被国内许多数学教师看好, 方便的动画功能被国内许多数学教师看好, 并已成为制作中学数学课件的主要创 作平台之一。 作平台之一。那么,《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢?作为一名年 轻的高中数学教师,我就自己这几年的教学经验,也想谈谈我的几点体会: 《 一、 几何 画板》的应用 1、 在 高 中 代 数 教 学 中 的 应 用 “函数”是中学数学中最基本、最重要的概念,它的概念和思维方法渗透 函数”是中学数学中最基本、最重要的概念, 在高中数学的各个部分;同时, 在高中数学的各个部分;同时,函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系 的一种刻划,这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。 的一种刻划,这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所 ——解析式和图象 说: 数缺形少直观,形缺数难入微。 函数的两种表达方式——解析式和图象 “数缺形少直观,形缺数难入微。 函数的两种表达方式—— ” ——之间常常需要对照(如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、 ——之间常常需要对照(如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、 之间常常需要对照 比较指数函数和对数函数图象之间的关系等) 为了解决数形结合的问题,在有 比较指数函数和对数函数图象之间的关系等) 为了解决数形结合的问题, 。 关函数的传统教学中多以教师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢的弊端; 关函数的传统教学中多以教师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢的弊端; 应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端, 应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端,大大提高课堂
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效率,进而起到事倍功半的效果。 效率,进而起到事倍功半的效果。 具体说来,可以用《几何画板》 具体说来,可以用《几何画板》根据函数
b y A

的解析式快速作出函数的图象, 的解析式快速作出函数的图象 , 并可以在同 一个坐标系中作出多个函数的图象, 一个坐标系中作出多个函数的图象, 如在同

T

O
2 3 一个直角坐标系中作出函数 y=x 、 y=x 和 1/2 的图象,比较各图象的形状和位置, y=x 的图象,比较各图象的形状和位置,归 1/2 2 3

x

图1

纳幂函数的性质;还可以作出含有若干参数的函数图象, 纳幂函数的性质;还可以作出含有若干参数的函数图象,当参数变化时函数图 象也相应地变化,如在讲函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,传统教学只能将 A、 象也相应地变化, y=Asin(ωx+φ 的图象时, 代入有限个值, 察各种情况时的函数图象之间的关系;利用《 ω、φ代入有限个值,观察各种情况时的函数图象之间的关系;利用《几何画 轴的距离为参数作图( ,当拖 板》则可以以线段 b、T 的长度和 A 点到 x 轴的距离为参数作图(如图 1) 当拖 , 动两条线段的某一端点(即改变两条线段的长度) 动两条线段的某一端点(即改变两条线段的长度)时分别改变三角函数的首相 和周期, 这样在教学时既快速灵活,又不失一般性。 和周期,拖动点 A 则改变其振幅 ,这样在教学时既快速灵活,又不失一般性。 《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如,借助于图形对不 几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如, 等式的一些性质、定理和解法进行直观分析—— ——由 半径不小于半弦” 等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不
+ 再比如,讲解数列的极限的概念时, 等式“a+b≥ 等式“a+b≥2 ab (a、b∈R )等;再比如,讲解数列的极限的概念时,作出数

列 an=10-n 的图形 即作出一个由离散点组成的函数图象) 观察曲线的变化趋势, (即作出一个由离散点组成的函数图象) 观察曲线的变化趋势, , 并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、 的绝对值” 并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与 0 的绝对值” 列表,帮助学生直观地理解这一较难的概念。 列表,帮助学生直观地理解这一较难的概念。 2、 在 立 体 几 何 教 学 中 的 应 用 立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质; 它所 立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质; 用的研究方法是以公理为基础,直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的 用的研究方法是以公理为基础,直接依据图形的点、 性质。从平面图形到空间图形,从平面观念过渡到立体观念, 性质。从平面图形到空间图形,从平面观念过渡到立体观念,无疑是认识上的一 次飞跃。 初学立体几何时, 大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平 次飞跃。 初学立体几何时, 面与空间图形的转化能力, 主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感 面与空间图形的转化能力, 知和想象三维空间图形的, 知和想象三维空间图形的,而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写 照,平面上绘出的立体图形受其视角的影响,难于综观全局,其空间形式具有很 平面上绘出的立体图形受其视角的影响,难于综观全局, 大的抽象性。 如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线; 正方体 大的抽象性。 如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线; 的各面不能都画成正方形等。 这样一来, 学生不得不根据歪曲真象的图形去想象 的各面不能都画成正方形等。 这样一来, 真实情况,这便给学生认识立体几何图形增加了困难。 真实情况,这便给学生认识立体几何图形增加了困难。
A A

2

图2

而应用《几何画板》将图形动起来,就可以使图形中各元素之间的位置关系和度 应用《几何画板》将图形动起来, 量关系惟妙惟肖,使学生从各个不同的角度去观察图形。这样, 量关系惟妙惟肖,使学生从各个不同的角度去观察图形。这样,不仅可以帮助学 生理解和接受立体几何知识,还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。 生理解和接受立体几何知识,还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。 像在讲二面角的定义时( ,当拖动点 像在讲二面角的定义时(如图 2) 当拖动点 A 时, , 所在的半平面也随之转动,即改变二面角的大小, 点 A 所在的半平面也随之转动,即改变二面角的大小, 图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空 间想象力;在讲棱台的概念时, 间想象力;在讲棱台的概念时,可以演示由棱锥分割成 棱台的过程 如图 3) 更可以让棱锥和棱台都转动起来, ( , 更可以让棱锥和棱台都转动起来, 使学生在直观掌握棱台的定义, 使学生在直观掌握棱台的定义,并通过棱台与棱锥的关

图4

图3

系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时,让学生欣赏到数学的美, 系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时, 激发学生学习 质得出棱台的性质的同时 让学生欣赏到数学的美, 数学的兴趣; 在讲锥体的体积时, 可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱 数学的兴趣; 在讲锥体的体积时, 锥的过程( ,既避免了学生空洞的想象而难以理解 锥的过程(如图 4) 既避免了学生空洞的想象而难以理解,又锻炼了学生用分 ,既避免了学生空洞的想象而难以理解,

O

图5

割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时, 割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时,运用动画和轨 平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地 迹功能作图 5,当拖动点 O 时,平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地 变动, 变动, 直观美丽的画面在学生学得知识的同时, 直观美丽的画面在学生学得知识的同时, 给人以美的感受, 给人以美的感受, 创建一个轻松、 创建一个轻松、 乐学的氛围。 乐学的氛围。

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3、 在 平 面 解 析 几 何 教 学 中 的 应 用 平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科, 它研究的主要 平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科, 问题,即它的基本思想和基本方法是:根据已知条件,选择适当的坐标系, 问题,即它的基本思想和基本方法是:根据已知条件,选择适当的坐标系,借助 形和数的对应关系,求出表示平面曲线的方程,把形的问题转化为数来研究; 形和数的对应关系,求出表示平面曲线的方程,把形的问题转化为数来研究;再 通过方程,研究平面曲线的性质,把数的研究转化为形来讨论。 通过方程,研究平面曲线的性质,把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何 量受各种因素的影响而变化,导致点、线按不同的方式作运动, 量受各种因素的影响而变化,导致点、线按不同的方式作运动,曲线和方程的对 应关系比较抽象,学生不易理解,显而易见, 应关系比较抽象,学生不易理解,显而易见,展示几何图形变形与运动的整体过 程在解析几何教学中是非常重要的。这样, 几何画板》又以其极强的运算功能 程在解析几何教学中是非常重要的。这样, 几何画板》又以其极强的运算功能 《几何画板 《 和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。 和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程 , (普通方程、参数方程、极坐标方程)的曲线;能对动态的对象进行“追踪” 普通方程、参数方程、极坐标方程)的曲线;能对动态的对象进行“追踪” 并显示该对象的“轨迹” 能通过拖动某一对象(如点、 ; 并显示该对象的“轨迹” 能通过拖动某一对象(如点、线)观察整个图形的变 化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。 化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。 具体地说, 具体地说,比如在讲平行直线系 y=x+b 或中心直线系 y=kx+2 时,如图 6 所 示,分别拖动图(1)中的点 A 和图 分别拖动图( (2)中的点 B 时,可以相应的看到 一组斜率为 1 的平行直线和过定点 (0,2)的一组直线(不包括 y 轴) 的一组直线( 。 再比如在讲椭圆的定义时, 再比如在讲椭圆的定义时 , 可以由
(1) 图6
y A O x B 2 O x y

(2)

的距离之和为定值的点的轨迹”入手—— ——如图 “到两定点 F1、F2 的距离之和为定值的点的轨迹”入手——如图 7,令线段 AB 的长为“定值” , 为圆心、 的长为“定值” 在线段 AB 上取一点 E,分别以 F1 为圆心、AE 的长为半径和以 F2 为圆心、AE 的长为半径作圆,则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测 为圆心、 的长为半径作圆,则两圆的交点轨迹即满足要求。 这样的点的轨迹是什么图形,学生各抒己见之后, ,学生豁然 这样的点的轨迹是什么图形,学生各抒己见之后,老师演示图 7(1) 学生豁然 , 开朗: 原来是椭圆” “ 。 的长) ,使得 开朗: 原来是椭圆” 这时老师用鼠标拖动点 B(即改变线段 AB 的长) 使得 , ,满足条件的点的轨迹变成了一条线段 |AB|=|F1F2|,如图 7(2) 满足条件的点的轨迹变成了一条线段 F1F2,学生开始 , 谨慎起来并认真思索, (|AB|<|F 的情形。 谨慎起来并认真思索,不难得出图 7(3) |AB|<|F1F2|时)的情形。经过这个过 (

A

E

B

A

E

B

A

E

B

F1

F2

F1

F2

F1

F2

(1)

(2) 图7 4

(3)

程,学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念,也锻炼了其思维的严密性。 学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念,也锻炼了其思维的严密性。

几何画板》在教学应用 应用中 二、《 几何画板》在教学应用中的思考 1、 在教学使用中,要讲究步骤和方法,做到适时适量,符合 学生的认知规律。 运用《几何画板》教学,可减少老师的讲解,且助于教师的讲 解。教师的讲解要与演示紧密结合,不论采用何种方式讲解,都应抓 住教学内容的重点、难点、要点、疑点,抓住教学内容的内在联系进 行讲解,在使用课件之前,应告诉学生观察什么,使学生有明确的目 标,以便集中精力。先看什么,后看什么,怎样演示如先拖动还是先 动画,是否重复演示,都要十分讲究,缜密考虑,做到胸有成竹。 2、要善于利用《几何画板》的动态环境,启发学生的思维, 从运动中找出不变的数学规律,诱发、激活并激励学生学习的内部动 因,培养分析问题、解决问题的能力。 教学之外, 可以提出一些学生迫切需要了解但一时又难于回答的 问题,造成学生探求新知识的欲望,从而以最佳的精神状态投入到学 习活动中。 《几何画板》 允许运用超链接功能将 power-point 幻灯片、 word2003 等结合起来使用,做到图文声情并茂。但要强调的是,文 字教材与形声教材各有各的优点,只能相互补充,不能相互代替,更 不能相互排斥。根据实际情况使两者结合起来,相辅相成,才能产生 最佳教学效果。 3、应尽量吸取他人经验,多制作,长积累教学课件,创建自己 的数学课件数据库。 课件的制作要简洁、美观、清楚、新颖,具有创意,具有艺术美 和数学运动美,能激发学生的欣赏和学习兴趣。首先,应掌握《几何 画板》的基本操作,如点、线、圆、(正)多边形、椭圆、棱锥(圆锥)、 棱台(圆台)等,善于用记录画常见图形;其次,要善于运用操作按钮 里面的操作,如移动、动画、系列等,使图形平移、旋转、缩放和反 射等运动起来。 从制作及运用中可以体现出 《几何画板》 的另一特点: 它主要强调对于数学模型的认识,以及在《几何画板》环境中如何体 现这种“数形结合”思想。 4、应在中学教育中开设《几何画板》选修课,使数学教师和学生 掌握其使用,并能解决学习中的数学问题。

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《几何画板》作为一种先进的学习工具,掌握它就是掌握一项先 进的学习技能。不仅能帮助学生理解数学概念解决数学问题,而且本 身就是一个智力开发的工具,有利于学生能力的培养、素质的提高。 近几年来,我在高中数学教学中尝试开了《几何画板》选修课, 建立了兴趣小组,有一些学生已经可运用《几何画板》来解决相关问 题,如椭圆的多种画法、共轭双曲线的变换关系、抛物线的性质等。 制作平面三垂线定理图形、异面直线距、棱柱及侧面展开图等。同一 个数学问题,有不同的数学建模和解决方法,在制作实验中研究立体 图形的性质,大大地培养了学生空间想象,克服了以往传统教学中, 学生无法或难以想象空间图形的形状的难题,变被动的“听”数学为 主动的“做”数学,极大的提高了学生自发学习的兴趣,取得了很好 的效果。 5、《几何画板》是一种数学软件平台,也是一种实现教师教学 设计的辅助教学工具,只能属于辅助地位。在教学活动中;学生永远 是学习的主体,教师不可过分强调夸大《几何画板》的功能而忽视了 教学的目的,应充分利用《几何画板》的优点,克服其文字输入不方 便的缺陷,组织好课堂教学,与传统教学手段相结合,相辅相成,达 到 CAI 教学的目的。

综上所述,使用《几何画板》进行数学教学,通过具体的感性的信息呈现, 综上所述,使用《几何画板》进行数学教学,通过具体的感性的信息呈现, 能给学生留下更为深刻的印象, 使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它, 而 能给学生留下更为深刻的印象, 使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它, 是能够更有实感的去把握它。这样,既能激发学生的情感、培养学生的兴趣, 是能够更有实感的去把握它。这样,既能激发学生的情感、培养学生的兴趣,又 能大大提高课堂效率。 能大大提高课堂效率。
1.高燕.《几何画板》在初中数学教学中的应用 新华教育研究 2009 年第 3 期

2、谈杰.《几何画板》在高中数学教学中的应用数学教学通讯:教师阅读 2011 年第 4 、 期 3.
梁维高。高中数学教学中运用《几何画板》的实践与思考 《中国教育信息化》 2010 年 24 期 中国教育信息化》

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