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RR 上海市大同中学高一数学期末考试2013


上海市大同中学高一数学期末考试 2013.1.17 班级
1.若 A ? x x ? 3 ,则 ? A ? U 2.函数 f ? x ? ? lg

姓名


学号

成绩

一、填空题(本题满分 48 分,每题 4 分)

?

?

/>
1? x 的定义域为 1? x


2

(7,8 班同学做)已知扇形的周长为 6 cm ,面积为 2cm ,则扇形的弧长等于 3.不等式 x ?



2 的解集为 x ?1

。 。

4.已知 A ? ? ??,1? , B ? ? a, ??? ,若 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是 5.方程 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 0 解集为
x x


x y

6.(普通班同学做)若 2 x ? y ? 2 , x, y ? R ,则 4 ? 2 的最小值为 (7,8 同学做)若 sin ? sin ? ?

。 。

1 ,则 cos? sin ? ? m 的取值范围是 2

7. 已 知 幂 函 数 y ? f ? x ? 的 反 函 数 y ? f ?1 ? x ? 的 图 像 过 点

? 2,8?

, 则

f ? x? ?



8.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ? x ? ? 2 ? lg x ,则 f ? x ? 在 R 上的解析 式为 f ( x) ? 。

9.(普通班同学做)已知 f ( x), g ( x) 均为奇函数, F ( x) ? af ( x) ? bg( x) ? 2 在区间 ?0,??? 且 上的最小值是 5,则在 ?? ?,0? 上函数 F (x) 的最大值是 (7,8 班 同 学 做 ) 已 知 3sin 是 .
2



? ? 2sin2 ? ? 2sin ? , 则 S ? sin2 ? ? sin2 ? 的 值 域

10.已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x x ? ?1, x ? R ,那么命题 p “若实数 x ? 2 , 则 x ? ?1 ”可以用集合语言表述为“ A ? B ” 。则命题 p 的逆否命题可以用关于 A, B 的集 合语言表述为 .

?

?

?

?

1 / 11

11.上海电信住宅电话市话的计费方法为:一次通话不超过 3 分钟收费 0.2 元,以后每增加 1 分钟收费 0.1 元(不足 1 分钟的按 1 分钟收费) 。若某人一次通话的时间是 x 分钟,则该次 通话的费用 y (元)关于时间 x (分钟)的函数关系式,当 x ? ? 0,3? 时, y ? 当 x ? 3 时, y ? .注:用 ? x ? 表示满足条件 ? x? ? x 的最小整数) ? ? ? ? ,

(8 班 同 学 做 ) 在 ?ABC 中 , ?C ? 60? , a、b、c 分 别 是 角 A、B、C 的 对 边 , 则

a b ? ? b?c c?a
(7 班同学做) 1? 3 tan1?

.

?

? ?1 ?

3 tan 2? ? 1? 3 tan60? 的值等于

? ?

?

.

12.方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ?
4

1 的图像交点的横 x
? ? 4? ?( i =1,2,?, xi ?

坐标。 若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1, x2 , ? , xk (k ? 4) 所对应的点 ? xi , k)均在直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是___________________. 二、选择题(本题满分 12 分,每题 3 分) 13. 函数 f ? x ? ? ln x ?

2 的零点所在的大致区间是 x A .(1,2) B .(2,3) D .(4,5) C .(3,4) 14.若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则
A .“ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B .“ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件
C .“ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件



)





D .“ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件
15. ab ? a ? b? ? 0 ? a, b ? R ? 的充要条件是 ( )

A .0 ?

1 1 ? a b

B .0 ?

1 1 ? b a

C.

1 1 ? a b

D.

1 1 ? b a

g 16.已知 f (x) 是定义在 [?4 , 4] 上的奇函数, ( x ) ? f ( x ? 2) ? g ( x) ?
A .1 个

1 , x ? [?2,0) ? (0, 2] 时, 当 3
( )

1 , g (0) ? 0 ,则方程 g ( x) ? log 1 ( x ? 1) 的解的个数为 2 ?1 2
| x|

B .2 个

C .3 个

D .4 个

2 / 11

三、解答题 17.(本题满分 8 分)(普通班同学做)已知 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 ,B ? x x ? a ? 0 .
2

?

? ?

?

(1)当 A? B ? ? 时,求实数 a 的取值范围; (2)当 A

B 时,求实数 a 的取值范围;

18.( 满 分

10

分 , 每 题

5

分 )

已 知 函 数 f ?x ? ? 2 x ? 1 的 反 函 数 为

? f ?1 ?x?, g ?x? ? l o 4 g3x ? 1?.
(1)若 f
?1

?x? ? g ?x?,求 x 的取值范围 D ;
1 f 2
?1

(2)设函数 H ? x ? ? g ? x ? ?

?x ? ,当 x ? D 时,求函数 H ?x ? 的值域。

19.(本题满分为 10 分) 某医药研究所开发一种新药,据监测,一次服药 t 小时( 0 ? t ? 12 )后每毫升血液中 的含药量 y (微克)与时间 t (小时)之间近似满足图示的曲线关系。 (1)请写出一次服药 t 小时( 0 ? t ? 12 )后每毫升血液中的含药量 y (微克)关于时 间 t (小时)的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 2 微克时治疗疾病有效。通过计算说明,要 使药物 24 小时内对治疗疾病一直有效,至少服药用几次。

20.(本题满分 12 分,每题 4 分)设函数 f ? x ? ? a ?
x

m ? 1 ( a, m 为实常数). ax

(1)当 m ? 0, a ? 2 时,用定义证明: y ? f ?x ? 在 R 上是增函数; (2)设 a ? 2, g ? x ? ? ? 并说明理由. (3)当 m ? 1, 且 x ? ?1,2? 时,不等式 f ? x ? ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围;

m , F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,请你判断 F ? x ? 1? 与 F ? x ? 的大小关系, 2x

3 / 11

附加题(7,8 班最后一题)
(8 班同学做)如图所示,某校把一块边长为 2 a 的等边 ?ABC 的边角地辟为生物园, 图中 DE 把生物园分成面积相等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上。 (1)设 AD ? x?x ? a ? , ED ? y ,试求用 x 表示 y 的函数关系式;

DE (2) 如果 DE 是灌溉水管的位置, 为了省钱, 希望它最短, 的位置应该在那里?如果 DE 是参观线路,即希望它最长, DE 的位置又应该在那里?请予证明. A

x
D B

t
y E
C

(7 班同学做)(1)求证: cot ? ? tan ? ? 2 cot 2? ; (2)请利用(1)的结论证明: cot ? ? tan ? ? 2 tan 2? ? 4 cot 4? ;
(3)请你把(2)的结论推广到更一般的情形,使之成为推广后的特例,并加以证明; (4)化简 tan5 ? 2 tan10 ? 4 tan20 ? 8 tan50 .
? ? ? ?

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RR

上海市大同中学高一数学期末考试 2013.1 班级 姓名 学号
。 ?3,??? 。 ? ?1,1?
2

成绩

一、填空题(满分 48 分,每题 4 分) 1.若 A ? x x ? 3 ,则 ? A ? U 2.函数 f ? x ? ? lg

?

?

1? x 的定义域为 1? x

(7,8 班同学做)已知扇形的周长为 6 cm ,面积为 2cm ,则扇形的弧长等于 3.不等式 x ?



2 的解集为 x ?1

。 ? ??, ?2? ? ? ?1,1? 。? ??,1?

4.已知 A ? ? ??,1? , B ? ? a, ??? ,若 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是 5.方程 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 0 解集为
x x

。 ?0,1?
x y

6.(普通班同学做)若 2 x ? y ? 2 , x, y ? R ,则 4 ? 2 的最小值为 (7,8 同学做)若 sin ? sin ? ?

。 。?

1 , cos? sin ? ? m 的取值范围是 则 2

? 1 1? ? 2 , 2? ? ?
, 则

7. 已 知 幂 函 数 y ? f ? x ? 的 反 函 数 y ? f ?1 ? x ? 的 图 像 过 点

? 2,8?

f ? x? ?

。 y ? x3

8.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ? x ? ? 2 ? lg x ,则 f ? x ? 在 R 上的解析

式为 f ( x) ?

x x?0 ? 2? l g ? 0 x?0 ? ??2 ? l g ? ? x ? 0 ? x ?

.

9.(普通班同学做)已知 f ( x), g ( x) 均为奇函数, F ( x) ? af ( x) ? bg( x) ? 2 在区间 ?0,??? 且 上的最小值是 5,则在 ?? ?,0? 上函数 F (x) 的最大值是 (7,8 班 同 学 做 ) 已 知 3sin 是
2

。-1

? ? 2sin2 ? ? 2sin ? , 则 S ? sin2 ? ? sin2 ? 的 值 域

.

? 4? ?0, 9 ? ? ?

10.已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x x ? ?1, x ? R ,那么命题 p “若实数 x ? 2 , 则 x ? ?1 ”可以用集合语言表述为“ A ? B ” 。则命题 p 的逆否命题可以用关于 A, B 的集
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?

?

?

?

合语言表述为

痧 ? RA RB

.

11.上海电信住宅电话市话的计费方法为:一次通话不超过 3 分钟收费 0.2 元,以后每增加 1 分钟收费 0.1 元(不足 1 分钟的按 1 分钟收费) 。若某人一次通话的时间是 x 分钟,则该次 通话的费用 y (元)关于时间 x (分钟)的函数关系式,当 x ? ? 0,3? 时, y ? 当 x ? 3 时, y ? 0.2, y ? ? x ? ? 3 ? 0.1 ? 0.2 ? ? (8 班 同 学 做 ) 在 ?ABC 中 , ?C ? 60? , a、b、c 分 别 是 角 A、B、C 的 对 边 , 则 .注:用 ? x ? 表示满足条件 ? x? ? x 的最小整数) ? ? ? ? ,

?

?

a b ? ? b?c c?a
解: c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ,

.

a(c ? a) ? b(b ? c) ac ? a 2 ? b 2 ? bc ac ? ab ? c 2 ? bc a b ? ?1 ? ? ? b?c c?a (b ? c)(c ? a) bc ? ab ? c 2 ? ac bc ? ab ? c 2 ? ac
(7 班同学做) 1? 3 tan1
?

?

?

? ?1?

3 tan2? ? 1? 3 tan60? 的值等于

? ?

?

.

解:对 ? ? 1 ?,29 ,恒有
?

?1 ?

? tan60? ? tan? ? 3 tan? 1 ? 3 tan(60? ? ?) ? 1 ? 3 tan? ?1 ? 3 ? ? 4, 1 ? tan60? tan? ? ?
? ?

??

? ?

?

由于 1 ? 3 tan30 ? 2 , 1 ? 3 tan60 ? 4 。

? 原式= 4 29 ? 2 ? 4 ? 2 61 .
12.方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ?
4

1 的图像交点的横 x
? ? 4? ?( i =1,2,?, xi ?

坐标。 若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1, x2 , ? , xk (k ? 4) 所对应的点 ? xi , k)均在直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是___________________.

? a 的取值范围是 ?? ?,?6? ? ?? 6,??? 。
二、选择题(满分 12 分,每题 3 分) 13. 函数 f ? x ? ? ln x ?

2 的零点所在的大致区间是 x



)B

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 14. 若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则
6 / 11



)B

A .“ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B .“ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件
C .“ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件

D .“ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件
15. ab ? a ? b? ? 0 ? a, b ? R ? 的充要条件是 ( )D

1 1 ? b a 1 g 16.已知 f (x) 是定义在 [?4 , 4] 上的奇函数, ( x ) ? f ( x ? 2) ? , x ? [?2,0) ? (0, 2] 时, 当 3
A .0 ? B .0 ?
C.

1 1 ? a b

1 1 ? b a

1 1 ? a b

D.

g ( x) ?
A .1 个

1 , g (0) ? 0 ,则方程 g ( x) ? log 1 ( x ? 1) 的解的个数为 2 ?1 2
| x|

(

)D

B .2 个
| x|

C .3 个

D .4 个 y

解:当 x ? [?2,0) ? (0, 2] 时, g ( x) ?

y

1 , 其图像如图所示, 2 ?1 y

g ? x?
?4

f ? x?
4

g ? x?

?
x
?4

O

x

O

?

4
O

x

? h ? x ? ? log 1 ? x ? 1? ?
2

1 ? f (x) 是定义在 [?4 , 4] 上的奇函数, g ( x) ? f ( x ? 2) ? ,? f ? x ? 的图像如图所示,令 3 h ? x ? ? log 1 ? x ? 1? ,如图所示,方程 g ( x) ? log 1 ( x ? 1) 有 4 个解。
2
2

三、解答题 17.(本题满分 8 分)已知 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 ,B ? x x ? a ? 0 .
2

?

? ?

?

(1)当 A? B ? ? 时,求实数 a 的取值范围; (2)当 A

B 时,求实数 a 的取值范围;

(1) A ? ?2,4?,B ? ?? ?,a? ,(2) a ? 2 18.( 本 题 满 分 10 分 , 每 题 5 分 ) 已 知 函 数 f ?x? ? 2 ? 1 的 反 函 数 为
x

f ?1 ?x?, g ?x? ? log4 ?3x ? 1?。
7 / 11

(1)若 f

?1

?x? ? g ?x?,求 x 的取值范围 D ;
1 f 2
?1

(2)设函数 H ? x ? ? g ? x ? ?

?x ? ,当 x ? D 时,求函数 H ?x ? 的值域。

解: (1)由 f ?x? ? 2 x ? 1 得 f

?1

?x? ? log2 ?x ? 1??x ? ?1?,

? f ?1 ?x ? ? g ?x ? ,即
?x ? 1 ? 0 ? D ? ?0, 1?。 log2 ?x ? 1? ? log4 ?3x ? 1? ? ? ?x ? 1?2 ? 3x ? 1 ?
(2) H ?x ? ?

2 1 2 ? ? ? 2, log2 ? 3 ? ? ,由 0 ? x ? 1 得1 ? x ? x ?1 2 x ? 1? ?

?0 ?

1 2 ? 1 ? log2 ? 3 ? ?? 。 2 x ? 1? 2 ?
1 ? 1? f ? x ? ?x ? D? 的值域为 ?0, ? . 2 ? 2?

故 H ?x ? ? g ?x ? ?

19.(本题满分为 10 分,每小题分别为 5 分) 某医药研究所开发一种新药,据监测,一次服药 t 小时( 0 ? t ? 12 )后每毫升血液中 的含药量 y (微克)与时间 t (小时)之间近似满足图示的曲线关系。 (1)请写出一次服药 t 小时( 0 ? t ? 12 )后每毫升血液中的含药量 y (微克)关于时 间 t (小时)的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 2 微克时治疗疾病有效。通过计算说明,要 使药物 24 小时内对治疗疾病一直有效,至少服药用几次。 解: (1)所求函数关系式为
y微克 6

? 2t , 0? t ? 3 ? y?? 2 ?? 3 t ? 8 , 3? t ? 1 2 ?
(2)显然服 2 次药不能满足条件。。。1 分 。。 0 ? t ? 3 时,解 2t ? 2 得 1 ? t ? 3

0

3

12 t小时

2 3?t ? 12 时,解 ? t ? 8 ? 2 得 3 ? t ? 9 3
所以一次服药可持续 8 小时有效,。。。3 分 。。。 所以 3 次服药可使 24 小时持续有效,。。。 分 。。。。1 所以要使药物 24 小时内对治疗疾病一直有效至少服药用 3 次。。。不写不扣分 。。

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20.(本题满 12 分,每题 4 分)设函数 f ? x ? ? a ?
x

m ? 1 ( a, m 为实常数). ax

(1)当 m ? 0, a ? 2 时,用定义证明: y ? f ?x ? 在 R 上是增函数; (2)设 a ? 2, g ? x ? ? ? 并说明理由. (3)当 m ? 1, 且 x ? ?1,2? 时,不等式 f ? x ? ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围; 解:(1)设 x1 ? x2 ,

m , F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,请你判断 F ? x ? 1? 与 F ? x ? 的大小关系, 2x

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ?
? 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 1 ?
m 2

m m m ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 x2 ? x2 ? 1? ? ? 2 x1 ? 2 x2 ? ?1 ? x1 ? x2 ? x1 2 2 ? ? ? 2 ?,
? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,

x1 ? x2

y ? f ?x ?在 R 上是增函数.

?1 ? 2 x x ? ? ??,0? , m m ? x (2) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? ? x 2 2 ?2 ? 1 x ? ?0, ?? ? . ?
x

? f ?x ? 1??2 ? ? f ?x??2 ? 2 x?1 ? 1
? x ? log 2

2

? 2x ?1 ? 2x 3? 2x ? 2

2

?

?

2 时 f ?x ? 1? ? f ?x ? , 3 2 ? x ? log 2 时 f ?x ? 1? ? f ?x ? , 3 2 ? x ? log 2 时 f ?x ? 1? ? f ?x ? . 3
(3) f ? x ? ? 3 在 x ? [1, 2] 上恒成立,即 a ?
x

1 1 ? 1 ? t ? ? 1 ? 3 在 x ? [1, 2] 上恒成立. x a t
y

①当 a ? 1 时, x ? [1, 2] , t ?[a, a ] ,
2

1 g (t ) ? t ? ? 1 在 [a, a 2 ] 上单调递增, t 1 g (t ) min ? g (a ) ? a ? ? 1 ? 3 ? a ? 2 ? 3 ; a
②当 0 ? a ? 1 时, x ? [1, 2] , t ?[a , a] ,
2

O 1 a a2 t
y

g (t ) 在 [a 2 , a] 上单调递减,
g (t ) min ? g (a ) ? a ? 1 ?1 ? 3 ? 0 ? a ? 2 ? 3 ; a
O
9 / 11

a2 a 1

t

故 a 的取值范围是: (0,2 ? 3) ? (2 ? 3, ??) 。

附加题
(8 班同学做)如图所示,某校把一块边长为 2 a 的等边 ?ABC 的边角地辟为生物园, 图中 DE 把生物园分成面积相等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上。 (1)设 AD ? x?x ? a ? , ED ? y ,试求用 x 表示 y 的函数关系式;

DE (2) 如果 DE 是灌溉水管的位置, 为了省钱, 希望它最短, 的位置应该在那里?如果 DE DE 的位置又应该在那里?请予证明. 是参观线路,即希望它最长, A

1 1 3 解:如图,设 AD ? x, AE ? t ,则 xt sin 60? ? ? ? 4a 2 , 2 2 4

x
D

t
y E
C

t?

B 2a 2 其中 a ? x, t ? 2a ,则 y 2 ? x 2 ? t 2 ? 2xt cos60? ? x 2 ? t 2 ? tx , x

? y ? x2 ?

4a 4 ? 2a 2 ?a ? x ? 2a ? 。 x2 4a 4 4a 4 4a 4 ? 2a 2 ?a ? x ? 2a ? , x ? ?a,2a? 上,x 2 ? 2 ? 2 x 2 ? 2 ? 4a 2 , ? x2 x x
4a 4 ,即 x ? 2a 时,等号成立,? 当 x ? 2a 时, ymin ? 2a ,又 y 在 x2
2a,2a 上调递增,由于 y ? f ?a? ? f ?2a? ? 3a ,? 当 x ? a 或

(2) y ?

x2 ?

当且仅当 x ?
2

?a, 2a?上递减,在 ?

?

x ? 2a 时, ymin ? 3a 。
(7 班同学做)(1)求证: cot ? ? tan ? ? 2 cot 2? ; (2)请利用(1)的结论证明: cot ? ? tan ? ? 2 tan 2? ? 4 cot 4? ;
(3)请你把(2)的结论推广到更一般的情形,使之成为推广后的特例,并加以证明; (4)化简 tan5 ? 2 tan10 ? 4 tan20 ? 8 tan50 .
? ? ? ?

解: (1)证明: ? tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan2 ? ,? cot 2? ? 1 ? tan 2 ? 2 tan?

? 2 cot 2? ? cot ? ? tan ? , (2) cot ? ? tan ? ? 2 cot 2? ? tan ? ? 2 tan 2? ? 4 cot 4? .
(3)一般地,

cot ? = tan? ? 2 tan2? ? 2 2 tan2 2 ? ? ? ? 2 n?1 tan2 n?1 ? ? 2 n cot 2 n ? ( n ? N ? ) 。
证明:? cot ? ? tan ? ? 2 cot 2? ,? cot 2? ? tan 2? ? 2 cot 4?

?cot ? ? tan ? ? 2 tan 2? ? 4 cot 4? ? tan? ? 2 tan2? ? 2 2 cot 2 2 ? ,
10 / 11

2 2 n ?1 n ?1 n n 以 此 类 推 得 cot ? = tan? ? 2 tan2? ? 2 cot 2 ? ? ? ? 2 tan2 ? ? 2 cot 2 ?

(n?N ) 。 (4) tan5 ? 2 tan10 ? 4 tan20 ? 8 tan50
? ? ? ? ? ? ?

?

= tan5 ? 2 tan10 ? 4 tan20 ? 8 cot 40 ? cot5 。
? ?

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