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2.1.2求曲线的方程课件

时间:2015-11-04


第二章
第 2 课时 曲线方程的求法

学习目标:
1.进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念,掌握求 曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法. 2.了解求曲线方程的几种常用方法,能够利用它们去求 曲线的方程.

自主预习:
1.解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件,求出 表示曲线的方程; (2)通过曲

线的方程,研究 曲线的性质 .

2.求曲线的方程的步骤

重点难点展示
重点:轨迹方程的求法. 难点:求曲线的方程的思路.

学习要点点拨
求曲线方程的常用方法 (1)直接法:也叫直译法,即根据题目条件,直译为关于动 点的几何关系,再利用解析几何的有关公式进行整理、化简. (2)定义法:若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定 方程,再确定其中的基本量.

(3)待定系数法:根据条件能知道曲线方程的类型,可设出 其方程形式,再根据条件确定待定的系数. (4)代入法:动点 M(x,y)随着动点 P(x1,y1)的运动而运动, 点 P(x1,y1)在已知曲线 C 上运动,可根据 P 与 M 的关系用 x, y 表示 x1,y1,再代入曲线 C 的方程,即可得点 M 的轨迹方程.

(5)参数法: 选取适当的参数, 分别用参数表示动点坐标 x, y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程. (6)交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参 数,例如求动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立 这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程.

课堂典例讲练
命题方向
思路方法技巧 直译法求曲线的方程

[例 1]

过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1

交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨 迹方程.

[解析]

解法一:如图所示,设点 A(a,0),B(0,b),M(x,

y),因为 M 为线段 AB 的中点,所以 a=2x,b=2y,即 A(2x,0), 4-0 B(0,2y).因为 l1⊥l2,所以 kAP· kPB=-1.而 kAP= (x≠1), 2-2x 4-2y kPB= , 2-0 2 2-y 所以 · 1 =-1(x≠1). 1-x 整理得,x+2y-5=0(x≠1).

因为当 x=1 时,A、B 的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线 段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.

解法二: 设 M(x, y), 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0), 1 (0,2y) , 连 结 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 , 所 以 |PM| = |AB|. 而 |PM| = 2 ?x-2?2+?y-4?2, |AB|= ?2x?2+?2y?2, 所以 2 ?x-2?2+?y-4?2= 4x2+4y2, 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程.

[点评]

1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法,大多数

题目可以依据文字叙述的条件要求,直接“翻译”列出等式整 理可得.
2.解题过程中,要注意使用某种形式时是否受到某些条 件的限制而丢掉个别点,如使用斜率求解时限制条件是斜率存 在, 因而可能漏掉斜率不存在的点. 必须找一找是否漏掉了. 有 时也可能使范围扩大了,多出了不合要求的点,要通过最后的 检验“防失、去伪”.

建模应用引路

命题方向 代入法求曲线的方程 例3 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定

点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程.
【思路点拨】 设M,P点坐标 → 由中点坐标公式列方程

→ 用P点坐标表示M点坐标 → 把M点坐标代入曲线x2+y2=1 → 得P点的轨迹方程

【解】 设 P(x,y),M(x0,y0), ∵P 为 MB 的中点,
? ?x=x0+3 ? 2 ∴? y0 ? y= ? ? 2



?x0=2x-3 即? , ?y0=2y

又∵M 在曲线 x2+y2=1 上, ∴(2x-3)2+4y2=1, ∴P 点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.

【名师点评】 代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤 为 (1)设点:设所求轨迹上任意点 M(x,y),设动点(已 知轨迹上的动点)P(x0,y0). ?x0=f?x,y?, (2)求关系式: 求出两个动点的关系式? ?y0=g?x,y?. (3)代入:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得 到所求动点的轨迹方程.

探索延拓创新
命题方向 定义法求曲线方程

[例 3]

设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意

弦,求所作弦的中点的轨迹方程.

[解析]

设所作弦的中点为 P(x, y), 连结 CP, 则 CP⊥OP,

1 |OC|=1,OC 的中点 M( ,0),∴动点 P 的轨迹是以点 M 为圆 2 12 2 1 心,以 OC 为直径的圆,∴轨迹方程为(x-2) +y =4.∵点 P 不能与点 O 重合,∴0<x≤1,故所作弦的中点的轨迹方程为(x 12 2 1 - ) +y = (0<x≤1). 2 4 [点评] 在求轨迹方程时, 要注意挖掘题目中的隐含条件,

若轨迹满足已知曲线的定义,选取定义法求轨迹方程较简便.

方法规律总结
求曲线的方程时, 依据题目特点选择方法, 若采用直译法, 要按照一般步骤进行,最后一步可以省略,但必须要考虑所求 的方程是否符合题意,即检查有无多余的点和漏掉的点.

已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(-2,0),B(2,0), → → → → → 1→ | AD | = 2 , AC = AB + AD , AE = 2 AC ,则点 E 的轨迹方程是 __________.

[答案] x2+y2=1(y≠0)

[解析]

如图

设点 E 的坐标为(x,y), → 1→ 1 → → ∵AE= AC= (AB+AD), 2 2 ∴由向量加法的平行四边形法则可知, 点 E 为 BD 的中点, 连结 OE, 1 又 O 为 AB 的中点,∴OE=2AD=1. 即动点 E 到定点 O 的距离为定值 1, 由圆的定义知,点 E 的轨迹方程为 x2+y2=1(y≠0).

名师辨误作答 [例 4] 已知曲线 C: y= x2-2x+2和直线 l: y=kx(k≠0),
若 C 与 l 有两个交点 A 和 B,求线段 AB 中点的轨迹方程. [错解]
2 ? ?y= x -2x+2, 依题意,由? ? ?y=kx,

分别消去 x、y 得,(k2-1)x2+2x-2=0,① (k2-1)y2+2ky-2k2=0.②

设 AB 的中点为 P(x,y),则在①②中分别有 ? ?x=x1+x2= 1 2, 2 1 -k ? ? k ? y1+y2 y= 2 = ④ 2, ? 1 - k ? 故线段 AB 中点的轨迹方程为 x2-y2-x=0. [辨析] 消元过程中,由于两边平方,扩大了变量 y 的允 ③

许值范围,故应对 x,y 加以限制.

[正解]

2 ? ?y= x -2x+2, 依题意,由? ? ?y=kx,

分别消去 x、y 得,(k2-1)x2+2x-2=0,① (k2-1)y2+2ky-2k2=0.② 设 AB 的中点为 P(x,y),则在①②中分别有 ? ?x=x1+x2= 1 2, 2 1-k ? ? k ? y1+y2 y= 2 = ④ 2, ? 1 - k ? ③

又对②应满足: ?k2-1≠0, ? 2 2 2 Δ = 4 k - 4 × ? - 2 k ? × ? k -1?>0, ? ? 2k ?y1+y2= 2>0, 1 - k ? ? 2k2 y2= ?y1· 2>0, 1 - k ? 2 解得 2 <k<1. 结合③④,则有 x>2,y> 2. 所以所求轨迹方程是 x2-y2-x=0(x>2,y> 2).

课堂巩固训练

一、选择题 1.方程 x2-y2=0 表示的图形是( A.两条相交直线 C.两条重合直线
[答案] A

)

B.两条平行直线 D.一个点

[解析] 直线.

方程 x2-y2=0 可化为 y=± x,故它表示两条相交

→ → 2.平面内有两定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA+PB |=4,则点 P 的轨迹是( A.线段 C.圆 )

B.半圆 D.直线

[答案] C

[解析]

以 AB 的中点为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴建

→ → 立直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0).设 P(x,y),则PA+PB= → 2PO=2(-x,-y). → → ∵|PA+PB|=4,∴x2+y2=4.

二、填空题 3.一个动点到直线 x=8 的距离是它到点 A(2,0)距离的 2 倍,则动点的轨迹方程为________.
3x2+4y2=48

[答案]

[解析]

设 M(x,y)为轨迹上任一点,那么

|x-8|=2 ?x-2?2+y2, 整理得,3x2+4y2=48.

4. M 为直线 l: 2x-y+3=0 上的一动点, A(4,2)为一定点, 又点 P 在直线 AM 上运动,且 AP:PM=3,则动点 P 的轨迹 方程为________.

[答案]

8x-4y+3=0

[解析]

设点 M、P 的坐标分别为 M(x0,y0),P(x,y),由

题设及向量共线条件可得 ? ?x=4+3x0 1+3 ? ? ? 2+3y0 y= ? 1+3 ? ? ?x =4x-4 3 ? 0 ∴? 4y-2 ? y0= ? 3 ?





因为点 M(x0,y0)在直线 2x-y+3=0 上,

4x-4 4y-2 所以 2× - +3=0, 3 3 即 8x-4y+3=0 从而点 P 的轨迹方程为 8x-4y+3=0.


2.1求曲线的方程

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