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《平面向量的数量积及运算律》


《平面向量的数量积及运算律》教案
沈阳市第二十四中学 刘洋 1.教学目标 根据教学大纲的要求,教材的具体内容和学生的认识心理,确定教学目标如下: 知识目标:使学生掌握平面向量的数量积及其几何意义;使学生掌握平面向量的数量积的重要性质; 能力目标:培养学生观察、比较、分析、概括的能力;加强数形结合等数学思想的培养,促进学生逐步形成 和发展数学应用意识,提高实践能力 情感目

标:增强学生在实际操作、思考、交流等过程中与人合作的态度和探索的精神;鼓励学生积极主动 的参与教学的整个过程,激发其求知的欲望; 2.教学重点、难点 重点:平面向量数量积的定义及性质。 难点:对平面向量数量积定义的理解和平面向量数量积的应用。 3.教学方法 采用诱思探究教学法 通过引导学生观察和对比分析、启发学生思考和概括问题等教学互动活动,突出体现以学生为主体的探究性 学习和因材施教的原则。同时使用多媒体辅助教学,增强动感和直观性,提高学生的学习兴趣,加大一节课 的信息容量,提高教学效果和教学质量。 4.教具准备:多媒体电脑、实物投影仪 5.教学过程 教 学 环 节

教学程序及设计

设计意图



1.创设情境、引发兴趣 在一个与水平方向成 30°的光滑斜面上,一个重 5N 的物体,在大小 为 5N,方向与斜面平行的拉力 F 的作用下,沿着斜面移动了 10m,问: 拉力 F 作了多少功?重力 G 作了多少功? 从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念. 2.探索研究,掌握新知

通过熟知的例子,吸引 学生的注意力,提高参 与程度,为后续学习做 好准备。



(1)向量的夹角:已知非零向量 a、b,作 OA =a, OB =b,则?AOB=? (0?≤?≤180?)叫做向量 a 与 b 的夹角. 显然,当θ =0°时,a 与 b 同向;当θ =180°时,a 与 b 反向.如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.

?

?

让学生尝试通过自学阅 读课本从数学角度解释 物理中功的概念进而引 出夹角的定义。





(2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ ,我们把数量 小组合作交流,经学生 |a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ .
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并且规定,零向量与任一向量的数量积为 0. (3) 根据向量数量积的定义,得到性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹 角,则①e·a=a·e=|a|cosθ ②a⊥b<=>a·b=0 ③当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|. ④
?

的不断完善后给出平面 向量数量积的定义。 将任务交给学生,分组 讨论, 得到向量数量积 的重要性质, 培养学生 观察、比较、分析、概

co s? ?

a? b a b

?

⑤a·b≤|a||b|.

? ?

括的能力

? (4)数量积的几何意义:已知非零向量 a、b,作

OA =a, OB

? =b,过点 B 作 B

使学生明确两个向量数 量积的几何意义, 加强 数形结合数学思想的培 养 强调两个向量的数量积 是个数量,其符号由夹 角的余弦值决定。

B1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|cosθ .|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向 上的投影.因此,我们得到 a·b 的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 3.例题: 已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角θ =120°,求 a·b. (2) a ⊥b

变式练习:(1) a ∥b

4.练习: 已知: 1、 |a|=6,b|=4, 与 b 的夹角为 120 °,则 a · b=____________ | a 教 2、若|a|=5,|b|=8, a · b=-20,则 a 与 b 的夹角为____________ 3、若|a|=2,|b|=5, a · b=10,则 a 在 b 方向上的投影为____________ 学 4、在三角形 ABC 中,若 AB· BC>0,则三角形 ABC 的形状为____________ 5.课后小结: 过 通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质,并能运用 它们解决相关的问题 程 6.布置作业: 类比实数中的等式或公式,写出其向量式,并判断是否正确?

利用练习,及时反馈, 强化知识点的学习。

学生总结,教师补充, 使学生理清这节课的重 难点,深化基本概念。

培养学生宏观掌握知识 的能力,为进一步学习 打下坚实的基础。

7.板书设计 5.6 平面向量的数量积及运算律 1.定义 2.几何意义 3.性质 4.应用

体现分层教学的思想, 提高学生的学习积极

屏幕投影

性,使各层次的学生都 找到各自的学习区,进 一步完善教学目标。

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