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高考数学试卷中填空题的特点及复习对策


高考数学试卷中填空题的特点及复习对策

填空题又叫填充题,是将一个数学真命题,写成其中缺少 一些语句的不完整形式,要求学生在指定的 空位上,将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完 整的陈述句形式,填写的可以是一 个词语、数字、 符号、数学语句等.填空题不要求学生书写推理或者演算的过程,只要求直接填写结果,它和选择题一样, 能够在短时间内作答,因而可加大高考试

卷卷面的知识容量,同时也可以考查学生对数学概念的理解、数 量问题的计算解决能力和推理论证能力.在解答填空题时,基本 要求就是: 正确、迅速、合理、简捷.一般 来讲, 每道题都应力争在 1~3 分钟内完成.填空题只要求填写结果, 每道 题填对了得满分, 填错了得零分, 所以,考生在填空题上失分一般比解答题严重.根据填空时所填写的内容形式,可以将填空 题分成两种类 型:一是定量型,要求学生填写数值、数集或数量关系,如 :方程的解、不等式的解集、函数的定义域、 值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比,缺少选择支的信息,所以 高考题中多数是以定量型问 题出现.二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学 对象的某种性质,如:给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.从历年高考成绩看,填空题失 分率一直很高,因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有毛病,便是零分.因此, 解填空题要求在“快速、准确”上下工夫.由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想“快 速” 解答填空题, 则千万不可 “小题大做” , 而要达到 “准确” , 则必须合理灵活地运用恰当的方法, 在 “巧” 字上下工夫.解填空题的基本原则是“小题不能大做” ,解题的基本策略是“巧做”.填空题的解法常见的 有直接推演法、特殊元素法、图象解析法、待定系数法、等价转化法、分类讨论法、探索规律法七种. 一、直接推演法:直接推演法,又称综合法,由因导果法,是解填空题的一种常用方法,也是一种基 本方法.它的解题方法是根据填空题的题设条件,通过应用定义、公理、定理、公式等经过计算、变形、 推理或判断,得出正确的结论.直接推演法解题自然,运用数学知识,通过综合法,直接得出正确答案.使 用直接法解填空题,要善于通过现象看本质,自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 典型例题: 例 1: (2012 年上海市理 4 分)计算: 【答案】 1 ? 2i . 【考点】复数的运算. 【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化即可: 3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 3 ? 1 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i . 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 例 2: (2012 年四川省理 4 分)设全集 U ? {a, b, c, d },集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,则

3?i ? 1? i



( i 为虚数单位).

(CU A) ? (CU B) ?
▲ . 【答案】 {a, c, d} 【考点】集合的运算. 【解析】∵ U ? {a, b, c, d },集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,

(CU A) ? {c, d} , ∴ (CU B) ? {a} .∴ (CU A) ? (CU B) ? {a, c, d} .
例 3: (2012 年北京市理 5 分)已知 f ? x ? ? m(x ? 2m) (x ? m ? 3 ) ,g ?x ? ? 2 x ?2 ,若同时满足条件:

①?x ? R,f ? x ?<0或g ? x ?<0,②?x ? (- ?, - 4), f ? x ? ? g ? x ?<0 ,
则 m 的取值范围是 【答案】 ? ?4, ? 2 ? . 【考点】简易逻辑,函数的性质. 【解析】由 g ? x ? ? 2x ? 2 < 0 得 x <1. ∵条件 ①?x ? R,f ? x ?<0或g ? x ?<0 ,∴当 x ? 1 时, f ? x ?<0 . 当 m=0 时, f ? x ? =0 ,不能做到 f ? x ? 在 x ? 1 时, f ? x ?<0 ,所以舍去. ∵ f ? x ? 作为二次函数开口只能向下,∴ m < 0 ,且此时两个根为 x1 =2m,x 2 = ? m ? 3 . ▲

?m < 0 ?m < 0 ? 1 ? ? ? ?m < ? ?4 < m < 0 . 为保证条件①成立,必须 ? x1 =2m < 1 2 ?x = ? m ? 3 < 1 ? ? 2 m > ? 4 ? ?
又由条件 ②?x ? (- ?, - 4), f ? x ? ? g ? x ?<0 的限制,可分析得出 x ? (- ?, - 4) 时, f ? x ? 恒负. ∴就需要在这个范围内有得正数的可能,即-4 应该比 x1,x 2 两根中小的那个大. 由 2m= ? m ? 3 得 m= ?1, ∴当 m ? ? ?1, 0? 时, ? m ? 3 < ?4 ,解得交集为空集,舍去. 当 m= ?1时,两根同为-2>-4,舍去. 当 m ? ? ?4, ? 1? 时, 2m < ?4 ? m < ?2 . 综上所述, m ? ? ?4, ? 2? .
2 例 4: (2012 年上海市理 4 分)已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则

g (?1) ?
▲ . 【答案】 ? 1 【考点】函数的奇偶性.
2 【解析】∵函数 y ? f ( x) ? x 为奇函数,∴ f ? ? x ? ? ? ? x ? = ? f ? x ? ? x 2 ,即 f ? ?x ? = ? f ? x ? ? 2x2

2

?

?

又∵ f ?1? =1 ,∴ f ? ?1? = ? 1 ? 2= ? 3 .∴ g ? ?1? =f ? ?1? ? 2= ? 3 ? 2= ? 1 . 例 5: (2012 年辽宁省理 5 分)已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,
2

过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为 【答案】 ? 4.



.

【考点】利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法. 【解析】∵点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,∴代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2. 由 x2 ? 2 y 得 y ?

1 2 x ,∴ y? ? x .∴过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2. 2

∴过点 P,Q 的抛物线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2 . 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4 .∴点 A 的纵坐标为 ? 4. 例 6: (2012 年江苏省 5 分)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 ▲ . 【答案】 0, 6 ? ?. 【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? 0< x ? 6 . 1 ? ? 1 ? 2 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ?x ? 6 = 6 2 ? ?
? ?) ,若关于 x 的不等 例 7: (2012 年江苏省 5 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 [0 ,


f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ .
【答案】9. 【考点】函数的值域,不等式的解集.

? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? 【解析】由值域为 [0 ,

a2 , 4

a2 ? a? ??x? ? . ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? 4 ? 2?
2 2

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? . 2? 2 2 2 ?
m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 . ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
例 8: (2012 年天津市理 5 分)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方 法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取 ▲ 所学校,中学中抽取 ▲ 所学校. 【答案】18,9. 【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【分析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所, ∴应从小学中抽取

2

a 2

a 2

150 75 ? 30=18 ,中学中抽取 ? 30=9 . 250 250

例 9: (2012 年江苏省 5 分)现有 10 个数 ,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若

从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的 概率是 ▲ . 【答案】

3 . 5

【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有 5 个负数, 1 个正数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的 概率是

6 3 = . 10 5

二、特殊元素法:特殊元素法的解题方法是在有些填空题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关, 在解决这类解答题,可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值,代入原命题进行验证,从而确定答案. 典型例题: 例 1( :2012 年四川省理 4 分) 记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数, 例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 , [?0.3] ? ?1.

xn ? [
设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] . 其中的真命题有 【答案】①③④. ▲ _.(写出所有真命题的编号)

【考点】真命题的判定,对高斯函数 [ x ] 的理解,数列的性质,特殊值法的应用,基本不等式的应用.

xn ? [
【解析】对于①,若 a ? 5 ,根据 xn ?1 ? [

a ] xn

2 5 ?1 3 ?1 ] ? 2 . 故①正确. 当 n=1 时,x2=[ ]=3, 同理 x3= [ 2 2

](n ? N ? )

对于②,可以采用特殊值列举法: 当 a=3 时,x1=3, x2=2, x3=1, x4=2??x2k=1, x2k+1=1,?? 此时数列 {xn } 从第二项开始为 2,1,2,1??, xn ? xk 不成立.故②错误. 对于③,由 [ x ] 的定义知, [ x] > x ? 1 ,而 a 为正整数,故 xn ? 0 ,且 xn 是整数.

? a +b ? a +b ? a +b ? a +b 1 ;当 a +b 为奇数时 ? = = ? , ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 ? a +b ? a +b 1 ∴不论 a +b 是偶数还是奇数,有 ? ? ? . 2 2 ? 2 ? ? a ∵ xn 和 [ ] 都是整数, xn
∵对于两个正整数 a 、 b ,当 a +b 为偶数时 ?

xn ? [
∴ xn ?1 ? [

]? 2 又当 n =1 时, x1 ? a ,

a ] xn

xn ? [

a a a a 2 xn ? ] xn ? ? 1 xn ? xn xn xn xn 1 1 ? > ? = ?1 ? ? 1= a ? 1 . 2 2 2 2 2 2

1? 3 3 ? a ? 1 = ? a ? ? + ? > 0 ,∴ x1 ? a ? a ? 1 成立. 2? 4 4 ? ∴当 n ? 1 时, xn ? a ?1 .故③正确. a a xk ? [ ] xk ? [ ] xk xk a ] ? xk , ∴ ? xk ? 0 ,即 [ ] ? xk ? 0 . 对于④,当 xk ?1 ? xk 时, [ 2 2 xk a a a ∴ ? xk ? [ ] ? xk ? 0 ,即 ? xk ? 0 ,解得 xk ? a . xk xk xk
∵a? 由③ xn ? a ?1 ,∴ a ?1 < xk ? a .∴ xn ? [ a ] .故④正确. 综上所述,真命题有 ①③④ .
2 例 2: (2012 年浙江省理 4 分)设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ? ?? a ? 1? x ? 1? ? x ? ax ? 1 ? 0 ,则 a ?

?

?

2

?

?



. 【答案】

3 . 2

【考点】特殊元素法,偶次幂的非负数性质.
2 【解析】∵ x ? 0 时均有 ? ?? a ? 1? x ? 1? ? x ? ax ? 1 ? 0 ,

?

?

∴应用特殊元素法,取 x ? 2 ,得 ? ? 2 ? a ? 1? ? 1? ? 2 ? 2a ? 1 ? 0 ? ? ? 2a ? 3 ? ? 0 .
2 2

?

?

∴ 2a ? 3 ? 0 ? a ?

3 . 2

例 3: (2012 年浙江省理 4 分)在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 ,则 AB ? BC ? ▲ . 【答案】 ?16 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【解析】此题最适合的方法是特殊元素法: 如图,假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,

AM=3,BC=10,由勾股定理得 AB=AC= 34 .
则 cos∠BAC=
34 ? 34 ? 100 16 ?? , 2 ? 34 34

∴ AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? ?16 .

PA C 例 4: (2012 年湖南省文 5 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, 且 AP ? 3 , 则A
▲ .

=

【答案】18 【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算.

【解析】 此题最适合的方法是特殊元素法: 假设平行四边形 ABCD 是特殊的平行四边形――菱形, 则 AP 与 AC 共线, AC ? 2 AP ? 6 . ∴ AP AC =3×6=18. 三、图象解析法:图象解析法的解题方法是解填空题的一种常用方法,它是根据数形结合的原理,先 画出示意图,再观察图象的特征作出选择的方法.对于一些具有几何背景的数学题,如能构造出与之相应 的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中获得形象直观的解法. 典型例题:

?x ? y ? 1 ? 0 ? 例 1: (2012 年全国大纲卷理 5 分)若 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z =3x ? y 的最小值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
▲ . 【答案】 ?1 . 【考点】线性规划. 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点(3,0)时,目标

函数最大 ,当目标函数过点(0,1)时最小 zmin =3 ? 0 ? 1= ? 1 .

例 2: (2012 年天津市理 5 分)已知函数 y = 实数 k 的取值范围是 【答案】 (0,1) ▲ .

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点,则 x ?1

(1,4) .

【考点】函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点. 【分析】函数 y ?

x2 ?1 x ?1 x2 ?1 x ?1

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1



当 x ? 1 时, y ?

? x ?1 ? x ?1,

当 x ? 1 时, y ?

x2 ?1

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? , x ?1 ? x ? 1, x ? ?1

? x ? 1,x ? 1 ? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 . 综上函数 y ? x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
作出函数的图象,要使函数 y 与 y ? kx 有两个不同的交点,则直线 y ? kx 必须在蓝色或黄色区域内, 如图,此时当直线经过黄色区域时 B(1,2) , k 满足 1 ? k ? 2 ,当经过蓝色区域时, k 满足 0 ? k ? 1 ,综 上实数 k 的取值范围是 (0,1)

(1,4) .
2

? ?a -ab,a≤b, 例 3: (2012 年福建省理 4 分)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=? 2 ?b -ab,a>b. ?



f ? x ? ? (2x ? 1) *( x ? 1) ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 ▲ . ?1- 3 ? 【答案】? ,0?. ? 16 ? 【考点】新定义,分段函数的图象和性质,分类讨论和数形结合思想的应用. 【解析】根据新运算符号得到函数为
2 ? ?(2x ? 1) ? (2x ? 1) ? ( x ? 1), (2x ? 1) ? ( x ? 1) , f ? x ? ? (2x ? 1) *( x ? 1)= ? 2 ? ?( x ? 1) ? (2x ? 1) ? ( x ? 1), (2x ? 1) > ( x ? 1)

2 ? ?2x ? x, x ? 0 化简得: f ? x ? = ? 2 . ? ?? x +x, x > 0 ?2x2 ? x, x ? 0 ? 如图,作出函数 f ? x ? = ? 2 和 y ? m 的图 ? ?? x +x, x > 0 象, 如果 f ? x ? ? m 有三个不同的实数解, 即直线 y ? m 与函 数 f(x)的图象有三个交点,如图, ?1 1? (1) 当直线 y ? m 过抛物线 y ? ? x2 +x 的顶点 ? , ? 或 ?2 4? y ? m=0 时,有两个交点;

1? ? (2)当直线 y ? m 中 ? m > ? 4? ?

? m < 0 ? 时,有一个交点;

(3)当直线 y ? m 中 0 < m < 时,有三个交点. 1 2 设三个交点分别为:x1,x2,x3,且依次是从小到大的顺序排列,所以 x1 即为方程 2x -x= 小于 0 的 4 1- 3 1 1- 3 1 1 1- 3 解,解得 x1= ,此时 x2=x3= ,所以 x1·x2·x3= × × = . 4 2 4 2 2 16 y ? m 与函数 f(x)有 2 个交点的最低位置是当 y=m 与 x 轴重合时,此时 x1·x2·x3=0.

1 4

所以当方程 f ? x ? ? m(m ? R) 有三个不等实根时,x1·x2·x3∈?

? 1- 3 ? ,0?. ? 16 ?
b 的取值 a

b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则 例 4: (2012 年江苏省 5 分)已知正数 a ,
范围是 ▲ . 【答案】 ? e, 7? . 【考点】可行域.

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b c ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 . 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ?c c a ?b ? ? ec ?c a b 设 =x,y = ,则题目转化为: c c ?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x ,求 的取值范围. ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ? 作出( x ,y )所在平面区域(如图).求出 y =e x 的
切 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为

y =ex ? m ? m ? 0? ,
则 ∴

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 . x0 x0 x0

y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e .此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间. x ? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时, ? x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x y ∴ 的最大值在 C 处,为 7. x y b ∴ 的取值范围为 ? e, 7? ,即 的取值范围是 ? e, 7? . a x
四、待定系数法:待定系数法是一种常用的数学方法,对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某 种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之 间的恒等式,得到以待定系数为元的方程(组)或不等式(组),解之即得待定的系数. 典型例题: 例 1: (2012 年北京市理 5 分)已知 ?a n ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 = , S2 ? a 3 ,则 a 2 = ▲ ; Sn = ▲

1 2

【答案】1; n 2 ? n .

1 4

1 4

【考点】等差数列 【解析】设等差数列的公差为 d ,根据等差数列通项公式和已知 a1 = , S2 ? a 3 得

1 2

1 ? a2 = ? d ?a 2 =1 ? ? ? 2 ?? 1 . ? d= ? 1 ? a =a ? d ? ? 2 2 2 ? ?2 a ? a ? ? n ? 1? d 1 1 ? n= n 2 ? n . ∴ Sn = 1 1 2 4 4
例 2: (2012 年广东省理 5 分).已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a22 ? 4 ,则 an ? ▲ . 【答案】 2n - 1 . 【考点】等差数列. 【解析】设递增的等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d > 0 ) ,由 a3 ? a22 ? 4 得 1+ 2d = (1+ d )2 - 4 , 解得 d = ∴ an = 2n - 1 . 例 3: (2012 年浙江省理 4 分)设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若 S2 ? 3a2 ? 2 ,

2 ,舍去负值, d = 2 .

S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ?
【答案】
3 . 2





【考点】等比数列的性质,待定系数法. 【解析】用待定系数法将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子:
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , ? 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?

3 或 q ? ?1 (舍去). 2

2 例 4: (2012 年辽宁省理 5 分)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则

数列{an}的通项公式 an = 【答案】 2 .
n



.

【考点】等比数列的通项公式. 【解析】设等比数列{an}的公比为 q . ∵ a5 ? a10 ,∴ (a1q ) ? a1q .∴ a1 ? q , an ? q .
2 4 2 9 n

又∵ 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,∴ 2an (1 ? q ) ? 5an q .∴ 2(1 ? q ) ? 5q .
2
2

解得 q ? 2 或 q ?

1 . 2
1 . 2

又∵等比数列{an}为递增数列,∴舍去 q ? ∴ an ? 2n .

例 5: (2012 年福建省理 4 分)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为 ▲ .

2 . 4 【考点】等比数列的性质,余弦定理的应用.
【答案】 ? 【解析】∵△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,∴设三角形的三边分别是: ∵最大角所对的边是 2a,
2

2 a、a、 2a. 2

? 2 ? a +? a ? ? 2a 2 ? ? ∴根据三角形中大边对大角的性质,结合余弦定理得: cos? = 2 2? a?a 2 2 ∴最大角的余弦值为 ? . 4
2

?

?

2

=?

2 . 4

例 6: (2012 年重庆市理 5 分)过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若

AB ?

25 , AF ? BF , 则 AF = 12
5 . 6



.

【答案】

【考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质,方程思想的应用. 【分析】设直线的方程为 y ? k ( x ?
2 2 2

1 ) (由题意知直线的斜率存在且不为 0) , 2

代入抛物线方程,整理得 k x ? (k ? 2) x ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1 ? 又∵ AB ?
2 2

k2 ? 0. 4

2 . k2

25 13 2 25 ? 1 ? 2 ,解得 k 2 ? 24 . ,∴ x1 ? x2 ? 1 ? .∴ x1 ? x2 ? 12 12 k 12
2

代入 k x ? (k ? 2) x ? ∵ | AF |?| BF | ,∴ x ?

k2 1 4 ? 0 得 x1 ? , x2 ? . 3 3 4

1 5 .∴ | AF |? . 3 6

例 7: (2012 年陕西省理 5 分)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米, 水位下降 1 米后,水面宽 ▲ 米.

【答案】 2 6 . 【考点】抛物线的应用. 【解析】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 x 2 = my , ∴∵当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米, ∴抛物线过点(2,-2, ). 代入 x 2 = my 得, 22 = m(- 2) ,即 m = - 2 . ∴抛物线方程为 x2 = - 2 y . ∴当 y = - 3 时, x =

6 ,∴水位下降 1 米后,水面宽 2 6 米.

五、等价转化法:通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从 而得出正确的结果.总之,能够多角度思考问题,灵活选择方法,是快速准确地解数学填空题的关键. 典型例题: 例 1: (2012 年江西省理 5 分) 设数列 {an },{bn } 都是等差数列, 若 a1 ? b1 ? 7 , 则 a5 ? b5 ? a3 ? b3 ? 21 , ▲ . 【答案】35. 【考点】等差中项的性质,整体代换的数学思想. 【解析】∵数列 {an },{bn } 都是等差数列,∴数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. ∴由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 , 解得 a5 ? b5 ? 35 . 例 2: (2012 年全国大纲卷理 5 分) 当函数 y=sin x ? 3cos x ? 0 ? x < 2? ? 取得最大值时, x= 【答案】 ? . 【考点】三角函数性质的运用. 【解析】求解值 域的问题,首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函 数图像得到最值点. ▲ .

5 6

?1 ? ? 3 ? ? ?? ? ? y =sin x ? 3 cos x=2 ? sin x ? cos x =2 cos sin x ? sin cos x =2sin x ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? 2 3 3 3? ? ? ? ?
∵ 0 ? x < 2? ,∴ ?

?
3

? x?

?
3

<

5? . 3

?? ? ∵ ?2 ? 2sin ? x ? ? ? 2 , 3? ?
∴当且仅当 x ?

? ?
3 = 2

即 x=

5? 时,函数取得最大值. 6

例 3: (2012 年湖北省理 5 分) 设△ABC 的内角 A, B, C, 所对的边分别是 a, b, c.若 ? a+b-c ?? a+b+c ? =ab , 则角 C= ▲ . 【答案】 120? . 【考点】余弦定理的运用 【解析】由

? a+b-c ?? a+b+c ? =ab 得 ? a +b ?

2

? c 2 =ab ? a 2 +b 2 ? c 2 = ? ab ,

∴根据余弦定理得 cos C =

a 2 +b 2 ? c 2 ?2ab 1 = = ? .∴ C =120? . 2ab 2ab 2

例 4: (2012 年重庆市理 5 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13 14 【答案】 . 5
【分析】∵ cos A ?



【考点】同角三角函数的基本关系式,两角和的三角公式,正弦定理的应用.

3 4 5 12 ,∴ sin A ? 1 ? cos2 A = .∵ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B = . 5 5 13 13 56 ∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos Asin B ? . 65 b sin C 14 由正弦定理得, c ? ? . sin B 5

例 5: (2012 年上海市理 4 分)在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且满足 【答案】 ? 2, 5? .

?

3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1, ▲ .

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是

【考点】平面向量的基本运算. 【解析】如图所示,以 A 为原点,向量 AB 所在直线为 x 轴,过 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系. ∵平行四边形 ABCD 中, ?A ? ∴ A? 0,0?,B ? 2,0 ?,C ? ,

?
3

, AB ? 2, AD ? 1,

?5 3? ?1 3? . ?2 2 ? ?,D ? ? 2, 2 ? ? ? ? ? ?

设 N ? x,

? ? ?

3 ?? 1 5? 5 , CN ? - x,CD ? 2 . ? ? ? x ? ? ,则 BC ? 1 ? 2 ?? 2 2? 2

∴由

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

得, BM ? -

5 1 x. 4 2

? 21 1 3 ?5 1 ? ?5 1 ? ? 5 3 ? x. ∴ M 的横坐标为 2 ? ? - x ? cos = ? x , M 的纵坐标为 ? - x ? sin = 3 8 4 3 8 4 ?4 2 ? ?4 2 ?
∴ AN ? ? x, ?

? ?

? 21 1 5 3 3? 3 ? , AM ? ? x , ? x? ? ? ?8 4 2 ? 8 4 ? ? ? ?

2 3?5 3 3 ? 1 2 9 15 1? 9? ? 21 1 ? ? x ? ? x ? x ? = ? x ? ∴ AN ? AM ? x ? ? x ? ? ? ? ? ? +6 . 4 ? 4 4 16 4? 2? ? 8 4 ? 2 ? ? 8 ?

1? 9? 9 ∵函数 y = ? ? x ? ? +6 在 x= 有最大值, 4? 2? 2

2

1 5 ? x ? 时,函数单调增加. 2 2 9 5 ∴ AN ? AM 在 x= 时有最小值 2;在 x= 时有最大值 5. 2 2
∴在 ∴ AN ? AM 的取值范围是 ? 2, 5? . 六、分类讨论法:在解答某些问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解, 然后综合得解,这就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重 要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具 有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性.解答分类讨论问题时,我们的基本 方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分 类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性 结果;最后进行归纳,综合得出结论.对于分类讨论法方法的使用,笔者将另文详细解析. 典型例题: 例 1: (2012 年广东省理 5 分)不等式 x ? 2 ? x ? 1的解集为 【答案】 x ? ▲ .

1 . 2

【考点】分类讨论的思想,解绝对值不等式. 【解析】分类讨论:由不等式 x ? 2 ? x ? 1 得, 当x?

2 时,不等式为 ? ? x ? 2? ? ? ? x ? ? 1,即 - 2 0 时,不等式为 2 x + 2

1 恒成立;

当- 2 < x

1 ,解得, - 2 < x ?

1 ; 2

当 x > 0 时,不等式为 ? x ? 2? ? x ? 1 ,即 2 ? 1 不成立.

综上所述,不等式 x ? 2 ? x ? 1的解集为 x ?

1 . 2

另解:用图象法求解:作出图象,由折点——参考点——连线;运用相似三角形性质可得.

例 2: (2012 年江西省理 5 分)在实数范围内,不等式 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? 6 的解集为 【答案】 ? x ? R | ?



.

? ?

3 ?x? 2

3? ?. 2?

【考点】绝对值不等式的解法,转化与划归、分类讨论的数学思想的应用.

1 1 1 ? ? 1 ? ?x ? ? ?? ? x ? ?x ? 【解析】原不等式可化为 ? ①或 ? 2 ②或 ? ③, 2 2 2 ? ? ? ?1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 6 ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6 ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6
由①得 ?

3 1 1 1 1 3 ? x ? ? ;由②得 ? ? x ? ;由③得 ? x ? . 2 2 2 2 2 2

∴原不等式的解集为 ? x ? R | ?

? ?

3 ?x? 2

3? ?. 2?

例 3: (2012 年福建省文 4 分)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表示城 市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用.要求从任一城市 都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小,例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路 的线路图如图①,则最优设计方案如图②,此时铺设道路的最小总费用为 10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图③,则铺设道路的最小总费用为 ▲ . 【答案】16. 【考点】最优设计方案. 【解析】根据题意先选择中间最优线路,中间有三条,分别是 A→F→G→D,E→F→B,E→G→C,费用 最低的是 A→F→G→D 为 3+1+2=6;再选择 A→F→G→D 线路到点 E 的最低费用线路是:A→E 费用为 2;

再选择 A→F→G→D 到 C→B 的最低费用,则选择:G→C→B,费用最低为 3+5=8,所以铺设道路的最小费 用为:6+2+8=16. 例 4: (2012 年山东省文 4 分)若函数 f (x) ? a x (a ? 0,a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m, 且函数 g(x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a= ▲ .

1 . 4 【考点】函数的增减性.
【答案】 【解析】∵ f (x) ? a x (a ? 0,a ? 1) ,∴ f' (x) ? a x ln a . 当 a ? 1 时, ∵ f' (x) ? a x ln a > 0 ,函数 f (x) ? a x (a ? 0,a ? 1) 是增函数,

1 ∴在[-1,2]上的最大值为 f (2) ? a 2 =4,a=2 ,最小值为 f (?1) ? 2?1 =m,m= . 2 此时 g(x) ? ? x ,它在 [0, ??) 上是减函数,与题设不符. 当 0 < a < 1 时, ∵ f' (x) ? a x ln a < 0 ,函数 f (x) ? a x (a ? 0,a ? 1) 是减函数,
1 1 ?1? ∴在[-1,2]上的最大值为 f (?1) ? a ?1 =4,a= ,最小值为 f (2) ? ? ? =m,m= . 16 4 ?4? 3 此时 g(x) ? x ,它在 [0, ??) 上是增函数,符合题意. 4 1 综上所述,满足条件的 a= . 4
2

例 5: (2012 年上海市文 4 分) 已知 f ( x ) ? 若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是 ▲

1 , 各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?2 ? f (an ) , 1? x

【答案】

3 ? 13 5 . 26
1 1 ,并且 an? 2 ? f (an ) ,得到 a n ? 2 ? . 1? x 1 ? an
1 2 3 8 , a5 ? , a7 ? , a9 ? . 2 3 5 13

【考点】数列的概念、组成和性质,函数的概念. 【解析】根据题意, f ( x ) ?

当 n 为奇数时, a1 ? 1 , a 3 ?

当 n 为偶数时,由 a2010 ? a2012 ,得到

1 5 ?1 ? a 2010 ,解得 a 2010 ? (负值舍去). 2 1 ? a 2010

由 a2010 ? f (a2008 ) 得

5 ?1 1 5 ?1 ,解得 a2008 ? . ? 2 1 ? a2008 2

∴当 n 为偶数时, an =

5 ?1 . 2

∴ a20 ? a11 =

8 5 ? 1 3 ? 13 5 . ? = 13 2 26

七、探索规律法:探索规律法的解题方法是直接通过对填空题的条件,作详尽的分析、归纳和判断, 从而得出正确的结果.当遇到寻找规律的命题时,常用此法. 典型例题: n * 例 1: (2012 年湖南省理 5 分)设 N=2 (n∈N ,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?, N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入

N N N 和后 个位置, 得到排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN, 将此操作称为 C 变换, 将 P1 分成两段, 每段 2 2 2 N i 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2 段,每段 i 个数,并对每段 C 变换, 2
对应的前 得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第 ▲ 个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第 ▲ 个位置. 【答案】 (1)6; (2) 3 ? 2
n?4

? 11 .

【考点】演绎推理的基本方法,进行简单的演绎推理. 【解析】 (1)当 N=16 时,

P 0 ? x1 x2 x3 x4 x5 x6
P 1 ? x1 x3 x5 x7

x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5,6,
x16 ,即为 (1,3,5,7,9,

,16) , 2, 4,6,8, ,16) , ,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置.

x15 x2 x4 x6

P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6

x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,

(2)考察 C 变换的定义及(1)计算可发现: 第一次 C 变换后,所有的数分为两段,每段的序号组成公差为 2 的等差数列,且第一段序号以 1 为首 项,第二段序号以 2 为首项; 第二次 C 变换后,所有的数据分为四段,每段的数字序号组成以为 4 公差的等差数列,且第一段的序 号以 1 为首项,第二段序号以 3 为首项,第三段序号以 2 为首项,第四段序号以 4 为首项; 依此类推可得出 P4 中所有的数字分为 16 段,每段的数字序号组成以 16 为公差的等差数列,且一到十 六段的首项的序号分别为 1,9,5,13,?,由于 173=16×10+13,故 x173 位于以 13 为首项的那一段的第 11 个数,由于 N=2 (n≥8)故每段的数字有 2n-4 个,以 13 为首项的是第四段,故 x173 位于第 3 ? 2
n

n?4

? 11

个位置. 例 2: (2012 年福建省理 4 分) 数列{an}的通项公式 an =ncos 【答案】3018. 【考点】规律探索题. π 3π 【解析】寻找规律:a1=1cos +1=1,a2=2cosπ +1=-1,a3=3cos +1=1,a4=4cos2π +1 2 2 =5; 5π 7π 8π +1=1,a6=6cos3π +1=-5,a7=7cos +1=1,a8=8cos +1=9; 2 2 2 ······

n? 前 n 项和为 Sn, 则 S2 012= +1 , 2



.

a5=5cos

∴该数列每四项的和 ak +ak +1 +ak +2 +ak +3 =6 k =1,5,, 9 ??,4r,r ? N ? . ∵2012÷4=503,∴S2 012=6×503=3018. 例 3: (2012 年陕西省理 5 分) 观察下列不等式

?

?

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
?? 照此规律,第五个 不等式为 ... 【答案】 1 ? ▲ .

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 22 32 42 52 62 6

【考点】归纳规律. 【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后 一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方;右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式 的序号 n+1,得出第 n 个不等式,即可得到通式: ?
i ?0 n

1

? n ? 1?

2

<

2n ? 1 . n ?1

令 n=5,即可得出第五个不等式 ?
i ?0

5

1

? n ? 1?

2

<

1 1 1 1 1 11 11 ,即 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . 6 2 3 4 5 6 6

例 4: (2012 年江苏省 5 分)下图 是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .

【答案】5. 【考点】程序框图. 【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表: 是否继续循环 k k 2 ? 5k ? 4 循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈 是 是 是 是 是 否 5 0 1 2 3 4 5 输出 0 0 -2 -2 0 4

∴最终输出结果 k=5. 例 5: (2012 年湖北省理 5 分) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的结果 s=



.

【答案】9. 【考点】程序框图. 【解析】用列举法,通过循环过程直接得出 s 与 n 的值,得到 n=3 时退出循环,即可. 循环前,S=1,a=3, 第 1 次判断后循环,n=2,s=4,a=5, 第 2 次判断并循环 n=3,s=9,a=7, 第 3 次判断 n 退出循环,输出 s =9. 例 6: (2012 年全国课标卷理 5 分) 数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , 则 {a n } 的前 60 项和为 ▲ 【答案】 1830 . 【考点】分类归纳(数字的变化类) ,数列. 【解析】求出 {a n } 的通项:由 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 得, 当 n =1 时, a2 ? 1 ? a1 ;当 n =2 时, a3 ? 3 ? a2 =2 ? a1 ;当 n=3 时, a4 ? 5 ? a3 =7 ? a1 ; 当 n =4 时, a5 ? 7 ? a4 =a1 ;当 n =5 时, a6 ? 9 ? a5 =9 ? a1 ;当 n =6 时, a7 ? 11 ? a6 =2 ? a1 ; 当 n =7 时, a7 ? 13 ? a6 =15 ? a1 ;当 n =8 时, a8 ? 15 ? a7 =a1 ;······ 当 n =4m +1 时, a4m?2 ? 8m ? 1 ? a1 ;当 n =4 m+2 时, a4m?2 ? 2 ? a1 ;当 n =4 m+3 时, a4m?4 ? 8m ? 7 ? a1 ;

?????? ). 当 n =4m +4 时, a4m?5 ? a1 ( m=0,1, 2,
∵ a4m ? a4m?5 ? a1 , ∴ {a n } 的四项之和为 a4m?1 ? a4m?2 ? a4m?3 ? a4m?4 =a1 ? ?8m ?1? a1 ? ? ? 2 ? a1 ? ? ?8m ? 7 ? a1 ? =16m ?10

?????? ). ( m=0,1, 2,
?????? ). 设 bm ? a4m?1 ? a4m?2 ? a4m?3 ? a4m?4 =16m ? 10 ( m=0,1, 2,

则 {a n } 的前 60 项和等于 {bm } 的前 15 项和,而 {bm } 是首项为 10,公差为 16 的等差数列, ∴ {a n } 的前 60 项和= {bm } 的前 15 项和=

10 ? ?16 ?14 ? 10 ? ?15 ? 1830 . 2

例 7: (2012 年湖北省理 5 分)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如 22,,11,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33?,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,?, 191,202,?,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有 ▲ 个; (Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有 ▲ 个. 【答案】 (Ⅰ)90; (Ⅱ) 9 10 . 【考点】计数原理的应用. 【解析】 (I)4 位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位 和个位数字,共有 9 种选法;第二步,选中间两位数字,有 10 种选法,故 4 位回文数有 9×10=90 个. (II)第一步,选左边第一个数字,有 9 种选法;第二步,分别选左边第 2、3、4、?、n、n+1 个数 字,共有 10×10×10×?×10=10n 种选法,故 2n+1(n∈N+)位回文数有 9 10 个. 例 8: (2012 年湖北省文 5 分)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子 表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
n n

将三角形数 1,3, 6,10,?记为数列 ?an ? ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新 数列 ?bn ? ,可以推测: (Ⅰ) b2012 是数列 ?an ? 中的第 (Ⅱ) b2k ?1 = ▲ ▲ 项;

.(用 k 表示)

【答案】 (Ⅰ)5030; (Ⅱ) 【考点】归纳规律.

5k ? 5k ? 1? . 2
n(n ? 1) ,写出其若干项有: 2

【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,?,的一个通项公式为 an ?

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,110. 故 b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 .

从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数) , 2 (5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) b2 k ?1 ? a5 k ?1 ? ? . 2 2

故 b2012 ? a2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 高考数学试卷中填空题的特点:1.概念性强.数学填空题的陈述和信息传递,都是借助数学中的术语、 符号、规定及习惯来呈现的.因此,所表现出来的就是概念性强.2.量化突出.数学填空题中绝大多数是定量 型的试题,需要进行推理计算,其中蕴含了对概念、原理、性质、法则的考查.3.数形兼备.数学的研究对象 不仅是数,还有图形.代数填空题常需运用几何知识,而几何填空题常需代数知识来解决.4.探究开放.此 类填空题的特点如下:(1)条件不完备(2)结论不明确(3)答案不惟一(4)方法需设计 5.重视语言表述.数学 语言的表述能力是基本的数学素养.6.多选性.数学中的多项选择题常以填空题的形式给出.7.难度较低. 体现了中学阶段数学教育的基本目标——全体中学生掌握的、适应未来社会需要的、现代公民必备的最基 础的数学知识和技能,以及对它们的直接运用. 高考数学试卷中填空题复习对策:1.小题大“做” :写出简短过程,反映解题思路.2.大题小“做” : 分解综合题,以小思大.3.改“选” 换“填” :强化知识清晰度.4.算题精“做” :提高运算能力.5.难题 巧“做” :找规律、举反例、取特例、作图形.提高解题速度和解题灵活性.6.加强数学语言的叙述能力, 提高文字语言、符号语言、图形语言的转化能力.7.提高思考的严密性,周全性.


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