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1.4.1


第一章

三角函数

1.4 三角函数的图象和性质

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第一章

三角函数

温故
三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y P ?
-1
T

r />三角函数线
正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT

O

M

A(1,0)

x

注意:三角 函数线是有 向线段!
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第一章

三角函数

一、正弦函数y=sinx的图象 途径:利用单位圆中正弦线来解决。
5? 6 2? 3

? 2

? 3 ? 6

y
1
● ●

描点:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
7? 4? 3? 5? 11? 6 6 3 2 3


● ● ●

?
7? 6

2?


O1
4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0 ?
6

? 3

? 2

2? 3

5? 6

?




● ● ●



x

-1
终边相同角的三角函数值相等
即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z 利用图象平移

y ? sin x ( x ?[0, 2? ])

y ? sin x, x ? R
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第一章

三角函数

y 1
? 2
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y
1

正弦曲 线
? 2?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

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第一章

三角函数

1.4.1 正弦函数、余弦函数 的图象

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第一章

三角函数

新知初探思维启动
1.(1)利用正弦线可以画出y=sinx,x∈[0,
2π]的图象,要想得到y=sinx(x∈R)的图象, 只需将y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、 向右平行移动(每次2π个单位长度)即可,此 正弦曲线 时的图象叫做____________. 左 (2)要得到余弦曲线,只需把正弦曲线向____ 平移
π 2 个单位长度.

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第一章

三角函数

二、余弦函数y=cosx的图象
y

余弦曲线
1

???

? ?? ?

???

? ?? ?

??

? ? ?
-1

? ?

?

?? ?

??

?? ?

??

x

y ? cos x ? sin( ? x) 2

?

? 个单位长度而得到. 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
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第一章

三角函数

正弦曲线:y ? sin x
?? ??? ? ?? ??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?

x?R
??
? ?

y
1

正弦曲 线
? ?

?

?

?

-1

?? ?? ?? ? ?

??

?? ?

?? ?? ?

?? x

y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

形状完全一样 只是位置不同

余弦曲线:y ? cos x
?
?? ??? ?? ??? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ?

x?R
??
?
? ?

y
1

-1

? ?

?

?? ?? ?? ? ?

??

?? ?

?? ?? ?

?? x

余弦曲 线
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三、正、余弦函数的简图
y
1-

第一章

三角函数

y ? sin x

x ?[0, 2? ]

五点画图法
2?

-

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: 最低点: 与x轴的交点:
(

?
2

,1)

(0,0) (? ,0)

? ( 32 ,?1)

在精度要求不 高的情况下, 我们可以利用 这5个点画出 (2? ,0) 函数的简图。
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y

第一章

三角函数

y ? cos x
-

x ?[0, 2? ]

1-

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

在函数

y ? cos x, x ?[0,2? ]
(0,1)

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

的图象上, 起关键作用的点有:

最高点: 最低点:

(2? ,1)

(? , ?1)
?
2 , 0)
3? ( , 0) 2
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与x轴的交点: (

第一章

三角函数

用五点法画出正弦函数、余弦函数在[0, 2?]的简图
y 1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

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第一章

三角函数

想一想
π 将 y=sinx 的图象向右平移 个单位, 能得到 y 2 =cosx 的图象吗?
π 提示:不能.因 sin(x- )=-cosx. 2

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第一章

三角函数

做一做
用五点法画 y=sinx,x∈[0,2π]的图象时,下 列哪个点不是关键点( )

?π,1? A.? 6 2?
C.(π,0)

?π,1? B.? ? 2
D.(2π,0)

答案:A

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第一章

三角函数

典题例证技法归纳
题型探究 五点作图法
例1 用“五点法”作出下列函数的简图.

y=sinx-1,x∈[0,2π].

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第一章

三角函数

x
sinx 1+sinx
y
2 1
? ? 2

0 0 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1

1 2

-1 0

y=1+sinx,x?[0, 2?] x

步骤: 1.列表 2.描点 3.连线
2?

o

-1

? 2

?

3? 2

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第一章

三角函数

变式训练 画出函数y= cos2x,x?[0, 2?]的简图:

x
2x cos2x
y 1
? 2

0

? 4

0 1

?
2

? 2

? -1

3? 2

3? 4

?
2? 1

0

0

y= cos2x,x?[0, 2?]

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

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第一章

三角函数

用图象变换法作函数的图象
例2
作出函数 y= 1-cos2x的图象.

【解】 y= 1-cos2x=|sinx|. 先作出 y=sinx 的图象,如图 1;再把 x 轴下 方部分沿 x 轴翻折上来, 即可得到 y=|sinx|的图象,如图 2.

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第一章

三角函数

变式训练

?sin?x+3π??在 x∈[-2π,2π] 1.作出函数 y=? ? 2 ??
上的图象.

?sin?x+3π? ?=|cosx|,因此只需 解:由于 y=? ? 2 ??
作出函数 y=|cosx|,x∈[-2π,2π]的图象即 可.

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第一章

三角函数

而函数y=|cosx|,x∈[-2π,2π]的图象可采
用将函数y=cosx,x∈[-2π,2π]的图 象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得 到,所得图象如图所示.

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第一章

三角函数

函数图象的应用
例3 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象, 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围. 2 1 【解】 在同一坐标系内画出 y=sinx 和 y= 2
的图象,如图所示:

3分
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第一章

三角函数

由图看到在 x∈[0,2π]内, 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分

再由诱导公式一知: 终边相同的角的三角函数 值相同, 1 所以在 x∈R 时,满足 sinx≥ 的 x 的范围为 2 π 5π 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 6 6 名师微博 10 分

正确作出函数图象是解本题的关键.
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第一章

三角函数

互动探究
1 2.利用本题图象求 0<sinx< 的 x 的范围. 2

1 解:由题图可知,在[0,2π]内,满足 0<sinx< 2 π 5 的 x 的范围为(0, )∪( π,π). 6 6 1 ∴在 R 上,满足 0<sinx< 的 x 的范围为(2kπ, 2 π 5 2kπ+ )∪( π+2kπ,π+2kπ),k∈Z. 6 6
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第一章

三角函数

备选例题
1.用“五点法”画 y=sinx,x∈[-2π,0]的简图 时,正确的五个点应为( ) π 3π A.(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π, 2 2 0) π 3π B.(0,0),(- ,-1),(-π,0),(- ,1), 2 2 (-2π,0)

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第一章

三角函数

π 3π C.(0,1),( ,0),(π,1),( ,0),(2π, 2 2 -1) π 3π D.(0,-1),(- ,0),(-π,1),(- , 2 2 0),(-2π,-1)

答案:B

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第一章

三角函数

2.sinx>0,x∈[-2π,2π]的解集为____.

解析:作出y=sinx,x∈[-2π,2π]的图
象(图略),位于x轴上方的部分对应x的范围:

(-2π,-π)∪(0,π).
答案:(-2π,-π)∪(0,π)

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第一章

三角函数

3.用“五点法”画出函数y=1+cosx(0≤x≤2π)
的简图. 解:列表:
x cosx 1+cosx 0 1 2 π 2 0 1 π -1 0 3π 2 0 1 2π 1 2

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第一章

三角函数

描点、连线、作图,如图所示.

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第一章

三角函数

归纳总结
1. 正弦曲线、余弦曲线 几何画法

五点法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

思考:观察正弦曲线、余弦曲线,你能从图像上发现它们的性质吗? (如定义域、值域、单调性?)
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第一章

三角函数

正弦、余弦函数的图象
课后作业:用“五点法”作下面函数的图象。
1、y=sin(x+1), x∈ [ 0,2π] 2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]

3、y=cos2x, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准,并想一想 找 “五点”有什么规律?

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第一章

三角函数

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