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平面向量复习综合练习题及答案

时间:2013-06-13


平面向量复习综合练习题
一、选择题 1 .已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ?

A. AO ? OD ( )

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

?

? ?

? ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2 .已知两个非零向量 a 与 b ,定义

a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.
( )

12、 (福建理 4 文 8)对于向量,a 、b、c 和实数错误!未找到引用源。 ,下列命题中真命题是 A 若错误!未找到引用源。 ,则 a=0 或 b=0 B 若错误!未找到引用源。 ,则 λ=0 或 a=0 C 若错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,则 a=b 或 a=-b D 若错误!未找到 引用源。 ,则 b=c 13、 (湖南理 4)设 a, b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b )?(a ? xb ) 的图象是一条直线,则必有 ( ) B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |

若 a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? ,则 a ? b 的值为 B. ?6 C.8 D.6 ? ? 3 .已知向量 a, b 满足 | a |? 1,b ? (1, ? 3) ,且 a ? a ? b ,则 a 与 b 的夹角为 A. ?8

? ?

A. a ⊥ b

14、 (湖南文 2)若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A. EF ? OF ? OE

A . 60 ?

B . 90 ?

C . 120 ?

D . 150?

??? ?

??? ??? ? ?

B. EF ? OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?

C. EF ? ?OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?

D. EF ? ?OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?

4. 已知向量 a ? (1, 2), b ? (1, 0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (b ? ? a ) ? c ,则 ?

?





15、 (湖北文 9)设 a=(4,3),a 在 b 上的投影为

A. ? 6.

3 11

B. ?

11 3

C.

1 2

D.

3 5

5 2 ,b 在 x 轴上的投影为 2,且|b|<1,则 b 为 2
C.(-2,

A.(2,14)

B.(2,-

设 x ? R ,向量 a= (2,x) ,b= (3, -2),且 a 丄 b,则 |a-b| =

2 ) 7

2 ) 7

D.(2,8)

(A)5

(B)

26

(C)2 26

(D) 6

2 7、已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) ,且 a ? b ,则 cos x 的值为

?

3 ? 2

? ?

答案:选 B 16 . 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b= mq-np,下面说 法错误的是 ( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b =0 B.a⊙b =b⊙a C.对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙b = ? (a⊙b) D.(a⊙b) +(a·b) = |a| |b|
2 2 2 2

[来源:Z+xx+k.Com]

A、

1 13

B、

4 13

C、

8 13

D、

20 13

17. (难) 称 d ( a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a, b 间的距离.若 a 、 满足:① |b|=1; ② a ? b ; ③对任意的 b

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

8.已知向量 a=( tanθ ,-1) ,b=(1,-2) ,若(a+b)⊥(a-b) ,则 tanθ = A.2 B.-2 C.2 或-2 D.0

? ? ? ? t ? R, 恒有 d (a, tb) ? d (a, b) ,则
) A. (a ? b) ? (a ? b) B. b ? (a ? b) C. a ? b
二、填空题





, , 9、 (山东文 5)已知向量 a ? (1 n),b ? (?1 n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? (
A. 1 B. 2 C. 2 D.4

? ?

? ?

?

? ?

?

?

D. a ? (a ? b)

?

? ?

10、 (全国 2 理 5)在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则?= (A)

1 3

18. △ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ?

??? ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 的值是 ? ?

______.3
19.以下命题:①若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ∥ b ;② a =(-1,1)在 b =(3,4)方向上的投影为

2 3

(B)

1 3

(C) -

1 3

(D) -

2 3

11、 (北京理 4)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么

??? ??? ??? ? ? ?

1 ;③若△ABC 5 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中,a=5,b =8,c =7,则 BC · CA =20;④若非零向量 a 、 b 满足 | a ? b |?| b | ,则 | 2b |?| a ? 2b | .其
中所有真命题的标号是______________(124)

? ?

?

?

?

?

20. 是圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 上的一个动点,A( P
2 2

??? ??? ? ? OA 3 ,1),则 OP? 的最小值为______2( 3 -1)

29、已知 A(2,0),B(0,2),C(cosα ,sinα ),(0<α <π )。 (1)若 | OA ? OC |? 7 (O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC ? BC ,求 tanα 的值。

21.已知 a =(3,2), b =(-1,0),向量 ?a + b 与 a -2 b 垂直,则实数 ? 的值为_________1 22 . 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?ACB ? 90
?

, AC ? BC ? 2 , 点 P 是 斜 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 , 则

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? CP ? CB ? CP ? CA ? _______________.4
23、 (江西理 15)如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的 直线分别交直线 AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? m AM ,

A

30、设向量 OA =(3,1) OB =(-1,2) , ,向量 OC ? OB , BC ∥ OA ,又 OD + OA = OC , 求 OD 。

??? ?

???? ?

??? ? ???? AC ? nAN ,则 m ? n 的值为

N


? ? ? ? ? ? 24、 (广东文 4 理 10)若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a, b 的夹角为 60° ,则
? ? ? ? a ? a ? a ?b =______;

B

O

C

31、已知 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cos ? ,sin ? ) ,且 0< ? < ? (1)若|OA+OC|= 7 ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC⊥BC,求 tan ? 的值。

M

3 答案: ; 2

25.(难)向量 a=(2,0) ,b=(x,y) ,若 b 与 b 一 a 的夹角等于 三、解答题:

? ,则|b|的最大值为 6

.4

①如果 AB ? e1 ? e 2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3?e1 ? e 2 ?, 1 32、 设两个非零向量e 与e2不共线,
求证: (1)A、B、D 三点共线.

?? ?

?? ?

?? ?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? 、 OC 26.平面上三个向量 OA OB、 ,满足 | OA |? 1 | OB | , ?
值.3

? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ??? CB OB 3, |OC ? 1OA? ? 0 ,求 CA? 的最大 | ,

②试确定实数k的值, 使ke1 ? e2和e1 ? ke2 共线.

?? 27. 在 ?ABC 中 , 设 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 向 量 m ? (cos A, sin A ) , 向 量

33、已知 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?cos ? , sin ? ?, a与b 之间有关系 k a ? b ? (1)k 表示 a ? b ; (2)求 a ? b 的最小值,并求此时 a与b 夹角的大小。

3 a ? k b ,其中 k>0,

?? ? ? n ? ( 2 ? sin A, cos A ) ,若 m ? n ? 2
(1)求角 A 的大小;

? 4
2a ,求 ?ABC 的面积. 16

(2)若 b ? 4 2 ,且 c ? 28、已知向量 a ? (cos

?

? 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] ,求: 2 2 2 2 2

(1) a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值为 ?

? ?

? ?

? ?

? ?

3 ,求实数 ? 的值。 2


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