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选修2-2第一章导数导学案

时间:2016-04-12


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"学案导引

合作学习"

总第

课时

第一章

导数及其应用

在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v =_________________=________ 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v =_________________=___________ 思考:计算运动员在 0 ? t ?
65 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 49

1.1 变化率与导数
教学时间:2016.3 教学时数:3 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:姚亦文

第一课时 变化率问题
学习目标 1.了解变化率,理解平均变化率的概念; 2. 会求函数在某点处附近的平均变化率。 学习重点难点:了解平均变化率的概念及其背景,会求函数在某点附近的平均变化率
完成率评价 正确率评价

(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认 为用平均速度描述运动员的运动状态有何不妥? 点拔: ①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员 的运动状态; 二、新知教学 平均变化率概念: 1.上述两问题中的变化率都可以归结为: 对于函数 y = f(x),问题中的变化率可用式子___________________________表示, 称 为函数 y = f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 2. 习惯上设 ?x ? x2 ? x1 , 同样 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 3.则平均变化率可表示为
?y ? ___________. ?x

100%

80%

60%

100%

80%

60%

一、合作预习 问提的提出: 问题 1 气球膨胀率 从数学角度描述吹气球的过程这种现象 : 气球的体积 V ( 单位 : L ) 与半径 r ( 单 位: dm )之间的函数关系是 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 在吹气球问题中, 当空气容量 V 从 0 增加到 1L 时, 气球的半径增加了___________, 气球的平均膨胀率为_____________ 类似的,当空气容量 V 从 1L 增加到 2L 时,气球的半径增加了___________,气球 的平均膨胀率为__________________ 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率_ ___, 思考: 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率为__________________________,并 且随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨胀率__________________。 h 问题 2 高台跳水 ( 阅读课本第 3 页,填写并思考:) 在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的高度 h(单位: m)与起跳 后的时间 t(单位:s )存在函数关系_ ________________ 如果用运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状 态,那么
o

(这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代替 x2),

思考: 观 察 函 数 f(x ) 的 图 象

,平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? 表示什么? ?x x2 ? x1
思考后分析,得结论: (1)__________________________________ (2)计算函数 y = f(x)平均变化率的步骤: ①求自变量的增量Δ x=x2-x1; ②求函数值的增量Δ y=f(x2)-f(x1); ③求平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? ?x x2 ? x1

t

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三.合作运用
例 1. 已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,
2

第二课时
?y ?x 。

导数的概念

求此函数在 A 点处附近的变化率 解:

学习目标 1.了解 瞬时速度的定义,能够区分平均速度和瞬 时速度; 2. 理解导数(瞬时变化率)的概念。 学习重点难点:导数的概念的理解,会利用导数的定义求函数在某点处的导数
完成率评价 正确率评价

100%

80%

60%

100%

80%

60%

例 2.求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率 。 解:

一、合作预习 问题 1 试述什么是瞬时速度和平均速度,它们有何区别?

四、课堂检测
1、函数 f ?x? ? x 在区间 ?? 1,3? 上的平均变化率是(
2

问题 2 ) D、
3 4

A、4

B、2

C、

1 4

2、经过函数 y ? ?2x 2 图象上两点 A、B 的直线的斜率( x A ? 1.5, x B ? 1)为_______;函 数 y ? 2x 2 在区间[1,1.5]上的平均变化率为_________________ 3、 已知一次函数 y ? f ( x) 在区间[-2, 6]上的平均变化率为 2, 且函数图象过点 (0, 2) , 试求此一次函数的表达式。

从物理角度看,我们把物体在 某一时刻的速度称为________。一般地, 若物体的 运动规律为 s =f (t),则物体在时刻 t 的瞬时速度 v ,就是物体在 t 到 t ? ?t 这段时间 ?s 内,当_________时平均速度的极限,即 v ? lim =___________________ ?x ?0 ?t 在上一节高台跳水中,运动员相对水面的高度与时间满足 h?t ? ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 则运动员在 t=2 时的瞬时速度可以表示为:_______________________=__________ 思考: 1、运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?

五、合作指导
1、平均变化率的概念 2、如何求函数在某点附近的平均变化率 学情评价
[来源:学科网 ZXXK]

2、函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示? 二、新知教学 一般地,对于函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: lim
教师评价 优秀 良好 一般

小组评价 优秀 良好 一般

?y ? ___________________ ?x ?0 ?x

课后作业
精讲精练随堂演练

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的________,记 作______或__ 点拔: (1)导数即为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率; (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

__,即_________

【※课后反思】 (二次备课)

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

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三、合作运用 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如 果第 x h 时,原油的温度(单位: ? C )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:

B、

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 叫函数在[ x0 , x0 ? ?x ]上的平均变化率[来源:学科网] ?x ?x

C、 f ( x) 在点 x0 处的导数记为 y ? D、 f ( x) 在点 x0 处的导数记为 f ?( x0 ) 2、若质点 A 按规律 s ? 2t 2 运动,则在 t ? 3 秒的瞬时速度为( A、6 D、81 f (1 ? ?x) ? f (1) 3、设函数 f ( x) 是可以求导的,则 lim =( ) ?x ? 0 3?x 1 A、 f ?(1) B、 f ?(1) C、不存在 D、以上都不对 3 4.求曲线 y ? f ( x) ? x 3 在 x ? 1 时的导数. B、18 C、54 )

例 2、(1)求函数 f ( x) ? ? x 2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出该点处的导数. (2)求函数 y ? 3x 2 在 x ? 1 处的导数 解: (1)

(2)

5、函数 y ? x ?

1 在 x ? 1 处的导数是______________ x

五、合作指导
1、导数的概念 2、如何求函数在某点的导数 学情评价
[来源:学科网 ZXXK]

求导数的步骤: (1)求增量,即: (2)算变化率,即: (3)求极限得导数,即: 四、课堂检测 1、已知函数 y ? f ( x) ,下列说法错误的是( )

小组评价 优秀 良好 一般 优秀

教师评价 良好 一般

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

A、 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数增量[来源:学科网 ZXXK]

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第三课时

导数的几何意义

二、新知教学 (一) 、曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解 .如有极限 ,则在此点有切线,且切线是唯 一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多 . (二) 、导函数 (1)由函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个确定 的数,那么,当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x) 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (2) 函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、 导函数 f ?( x ) 、 导数之间的区别与联系是什么? 区 别: 联系: 三、合作运用 例 1 求曲线 y ? f ( x) ? x 2 ? 1 在点 P(1,2) 处的切线方程.

学习目标 1. 了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2. 理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何 意义解题。 学习重点难点 : 了解导函数的概念,理解导数的几何意义,会求导函数,根据导函 数的几何意义会求曲线上某点的切线方程
完成率评价 正确率评价

100%

80%

60%

100%

80%

60%

一、合作预习 问题 1.曲线的切线及切线的斜率 (1)如图 3.1-2,

例 2 (课本例题)如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ?10 ,根据图像,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、t 2 附近的变化 情况. 当 Pn ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时, 割线 PPn 的变化趋 势是_________________ 即 : ?x ? 0 时 , 割 线 PPn 趋 近 于 确 定 的 位 置 , 这 个 确 定 的 位 置 的 直 线 PT 称 为 .
f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时, kn 无限趋 xn ? x0

(2)割线 PPn 的斜率是 kn ?

近于切线 PT 的斜率 k ,即: k =_______________________ 问题 2.导数的几何意义 由问题 1,自已归纳看看导数的几何意义是: _____________________

解: (先看再写出解答过程)[来源:Zxxk.Com] _____

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四、课堂检测
1.求曲线 f ( x) ? x2 ? x 在点 (1,1) 处的切线.

1.2 导数的计算
教学时间:2016.3 教学时数:3 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:姚亦文 第一课时几个常用函数的导数

[来源:Zxxk.Com]

2.求曲线 f ( x) ?

1 在点 (4, 2) 处的切线. x

学习目标 1. 了解由定义 求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 数公式; 2. 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 学习重点难点:运用这四个 公式正确求函数的导数
1 的导 x

2、如图,试描述函数 f(x)在 x=-5,-4,-2,0,1 附近的变化情况。
完成率评价 正确率评价

100%

80%

60%

100%

80%

60%

一、合作预习 课前复习回顾: 1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是: (1) (2) (3) 2.利用上述步骤:

五、合作指导
1、导数几何意义 2、根据几何意义求曲线在某点处的切线方程 学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

求函数 f ( x) ? x 当 x ? 1 时的导数,并说明其几何意义。 二、新知教学 1.利用导数定义求函数 y ? f ( x) ? c 的导数,并试从几何角度和物理角度解释导数的意 义。

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)
2.利用导数定义求函数 y ? f ( x) ? x 的导数,并试从几何角度和物理角度解释导数的 意义。

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3.利用导数定义求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数,并试从几何角度和物理角度解释导数的 意义。 函数 y?c 4.利用导数定义求函 数 1 y ? f ( x) ? 的导数。 x [来源:学科网 ZXXK] 导数

四、课堂检测 1、同桌之间互相默写基本初等函数的导数公式。 2、画出函数 f ( x) ? ln x 的图像,根据图像描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,0) 处的切线方程。

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

3.根据基本初等函数的导数公式,求下列函数的导数. (1) y ? x2 与 y ? 2x

5.利用导数定义求函数

y ? f ( x) ? a x

y ? x 的导数。

(2) y ? 3x 与 y ? log3 x

y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x [来源:学
科网 ZXXK]
f ( x) ? ln x

4、求出函数 y ? x 在点 x=4 处的切线方程 [来源:学科网 ZXXK] 5、求出函数 f ( x) ? ex 在点 x=1 处的切线方程。

思考:你能从一般角度推广函数 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) 的导数吗?

五、合作指导
三、合作运用 例 1、画 出函数 y ? 切线方程。
1 的图像,根据图像描述它的变化情况,并 求出曲线在点 (1,1) 处的 x
1、基本初等函数导数 2、如何求函数在某点的切线方程 学情评价
源:学科网 ZXXK]

小组评价 优秀 良好 一般 优秀

教师评价 良好 一般

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)
? 1 变式:求出函数 y ? sin x 在点 ( , ) 处的切线方程。 6 2

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第二、三课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则
学习目标 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则及复合函数求导法则; 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 学习重点难点:导数的四则运算法则 复合函数求导法则
完成率评价 正确率评价

二、新知教学 1、导数的运算法则 推论: [cf ( x)]' ? 思考:比较乘积的导数法则 与商的导数法则的相同点与不同点

2、复合函数的求导法则:
60%

100%

80%

60%

100%

80%

思考:如何求函数 y ? ln(3x ? 2) 的导数呢? (1)复合函数的定义: 一般地对于两个函数___ 的复合函数,记作_________________。 ______________ _______________

一、合作预习 课前复习回顾: 填写导数公式:[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 函数
y?c y?x

(2) 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u ) ,u ? g ( x) 的导数间的关系为: ___ ___ 即:__________________________________________. (3)利用复合函数求导法则求函数 y ? ln(3x ? 2) 的导数(写出详细过程)

导数

y ? x2

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y? 1 x

三、合作运用 1、利用导数公式和导数运算法则求下列函数的导数 (1) y ? log2 x (2) y ? 2e x (3) y ? 2x3 ? 3x2 ? 4 (5) y ? x ln x (4) y ? 3cos x ? 4sin x ln x (6) y ? x

y? x
y ? sin x
y ? cos x

2.利用求导公式和运算法则求下列函数的导数: (1) y ? xne x ( 2) y ?
x3 ? 1 sin x

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

3.利用导数运算法则及复合函数求导法则求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 3)2 (2) y ? e?0.05 x?1

(3) y ? sin(? x ? ? ) , (其中 π , ? 均为常数)[来源:Zxxk.Com]

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例 3、已知函数 f ( x) ? 13 ? 8x ? 2x2 ,且 f '( x0 ) ? 4 ,求 x0 教学时间:2016.3 教学时数:5 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:姚亦文

1.3 导数在研究函数中的应用

第一课时 四、课堂检测 1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. x (1)y ? x ? sin x ; (2)y ? (2x2 ? 5x ? 1) ? ex ; (3)y ? x ; (4) y ? x3 ? log2 x 4 源:学|科|网]

函数的单调性与导数(一)

[来

学习目标 1.正确理解导数的正负与函数的单调性的关系; 2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 重点难点 : 导数与函数单调性的关系,利用导数判断函数单调性的步骤
完成率评价 正确率评价

100%

80%

60%

100%

80%

60%

2.已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为: A f ( x) ? 2( x ?1) C f ( x) ? ( x ?1)2 ? 3( x ?1) B f ( x) ? 2( x ?1)2 D f ( x) ? x ? 1 一、合作预习 1. 研究二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象: (1)画出二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,并写出其单调性。

3.函数 y ? ax 2 ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a ? 1 1 1 A B C D 1 8 4 2 4.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为------------------5.在平面直角坐标系中,点 P 在曲线 y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线在 点 P 处的切线的斜率为 2,则 P 点的坐标为_________________________. 6、设函数 f ( x) ? 1 ? e 的图象与 x 轴相交 于点 P,求曲线在点 P 处的切线方程.
x

( 2 )计算二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的导数,并画出 y ? f '( x) 的图像,指出什么时候
f '( x) ? 0 ,什么时候 f '( x) ? 0

(3)通过以上观察得二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象到:

五、合作指导
1、基本初等函数导数 2、导数运算法则,复合函数求导 学情评价
源:学科网 ZXXK]

当 f '( x) ? 0 时,函数是___________函数; 当 f '( x) ? 0 时,函数是____________函数; 二、新知教学
教师评价 一般 优秀 良好 一般

小组评价 优秀 良好

利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间(a,b)内,如果有: (1) f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 (2) f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 ; 。

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

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课时

思考: (1) f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数 f '(x)>0 吗? (2)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 回答:___________________________________________. (3)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数? ________________________________________________. 2.运用: 试确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.

四、课堂检测 1.设 y ? f ?(x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?(x) 的图象如右图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )[来源:Z§xx§k.Com]

思考:通过运用,归纳出利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) __________________________ (2)___________________________ (3) 解不等式_____________,得函数的单调递增区间; 解不等式______________,得函数的单调递减区间. [来源:学科网 ZXXK] 三、合作运用 3 例 1、试求函数 f ( x) ? 的单调区间。 x

2.设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是( )
y y y y

O

x

O

x

O

x

O D .

x

A B. C. . f ( x) ? x ln x ,则( ) 3.已知函数

A.在 (0,??) 上递增 B.在 (0,??) 上递减 ? 1? ? 1? C.在 ? 0, ? 上递增 D.在 ? 0, ? 上递减 ? e? ? e? 3、求下列函数的单调区间: (1) y ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1(2) f ( x) ? ex ? x 4、证明函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在(0,2)内是减函数。

变式:试求函数 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) 的单调区间。

例 2、已知导函数 f '( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? 4 或 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? 4 或 x ? 1 时, f '( x) ? 0 。试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。

五、合作指导
1、利用函数导数研究函数单调性 2、运用导数求函数单调区间 学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀
学科网 ZXXK]

教师评价 良好 一般

课后作业
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【※课后反思】 (二次备课)

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3

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第二课时

函数的单调性与导数(二)

变式:已知函数f (x)=x -ax-1. 是否存在实数a,使f (x)在(-1,1)上单调递减? 若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.

学习目标 1. 正确理解导数的正负与函数的单调性的关系以及求函数单调性的步骤; 2. 能正确分辩导数应用于函数单调性的题型及解法。 学习重点难点: 已知函数单调区间求参数范围
完成率评价 正确率评价

变式2:已知函数f (x)= 为________.
60%

1 2 mx +lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围 2

100%

80%

60%

100%

80%

[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 一、合作预习 课前复习回顾: 1、导数的正负与函数的单调性的关系: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间(a,b)内,如果有: (1) f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 这个区间内的 ; (2) f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 。

三、合作运用
a 2 x -1+cosx(a>0). 2 (1)当a=1 时,证明:函数y=f (x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 y=f (x)在(0,+∞)上是单调增函数,求实数 a 的范围.

1.设函数f (x)=

二、新课导学 题型一、求含参函数单调区间 例1.函数f (x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( ) 1 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(-∞, ) D.(-∞,a) a a a

四、课堂检测
4 的单调减区间是( ) x A.(2,+∞) B.(0,2) C.( 2,+∞) D.(0, 2)[来源:学科网 ZXXK] 2.已知函数 f (x)=4x+3sinx,x∈(-1,1),如果 f (1-a)+f (1-a2)<0 成立, 则实数 a 的取值范围( ) A.(0,1) B.(1, 2) C.(-2,- 2) D.(-∞ ,-2)∪(1,+∞) 3.已知函数 f (x)=lnx-ax+1-ax -1(a∈R). (1)当 a=-1 时 ,求曲线 y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程; (2)当 a≤ 12 时,讨论 f (x)的单调性.

1.当 x>0 时,f (x)=x+

变式 1:求函数 f (x)=lnx-ax 的单调区间。

变式2:对于R 上可导的任意函数f (x) ,若满足(x-a)f ′(x)≥0,则必有( A.f (x)≥f (a) B.f (x)≤f (a) C.f (x)>f (a) D.f (x)<f (a)



五、合作指导
1、利用函数导数研究函数单调性
学科网 ZXXK]

题型二、由函数单调区间求参数范围 例2.已知函数f (x)=x3-ax-1.若f (x) 在实数集R 上单调递增,求实数a 的取值范 围;

2、运用导数求函数单调区间,已知函数单调区间求参数范围 学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

班级:

姓名:

组别:

组长:

学校审核:

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合作学习"

总第

课时

第三课时 函数的极值与导数
学习目标 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 学习重点难点:求可导函数的极值的步骤
完成率评价 正确率评价

极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ,刻画的是函数的 . 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 ,但它 (是或不是)极值点.即:导 数为 0 是点为极值点的 条件. 三、合作运用. 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象. [来源:学*科*网][来源:学科网]

100%

80%

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100%

80%

60%

一、合作预习 复习 1: 设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函 数 y=f(x) 在这个区间内为 函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间 内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解不等式,得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是 递减区间 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有 y ? f ( x) 的导数的符号有 什么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, 什么规律?

四、课堂检测 1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( )[来源:Zxxk.Com] A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函 数是( ) A. y ? x3 ? 6x2 ? 9x B. y ? x3 ? 6x2 ? 9x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x 3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为 4. 函 数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为 5.已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 2 处有极大值,求 c 的值.

五、合作指导
1、能够运用导数判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ;且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 类似地,函 数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?(b) ? ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值.

2.掌握求可导函数的极值的步骤
学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

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合作学习"

总第

课时

第四课时

函数的最值与导数

三、合作运用[ 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值.
1 3

学习目标 ⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌 握 用 导 数 求函数最值的方法 和步骤 学习重点难点:导数求函数最值的方法 和步骤
完成率评价 正确率评价

100%

80%

60%

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[来源:Z+xx+k.Com 2. 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a 在 [?2, 2] 上有最小值 ? 37 .(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

一、合作预习 复习 1:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, ,则 x0 是 f ( x) 的 点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的 点, f ( x0 ) 是极 值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” 值 f ( x0 ) 是极 复习 2:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 , (1)试求常 数 a、b、c 的值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由. 二、新课导学 函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b? 上的函数 f ( x) 的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大 值,最小值呢?
王新敞
奎屯 新疆

四.课堂检测 1.若 函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值 分别为 M、N,则 M ? N 的值为 A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大 值但有最小值 3. 已知函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为 A. ?
3 2 15 ,则 a 等于( 4



B.

1 2

C. ?

1 2

D. 或 ?

1 2

3 2

在图 1 中,在闭区间 ?a, b? 上的最大值是 ,最小值是 ; 在图 2 中,在闭区间 ?a, b? 上的极大值是 ,极小值是 ;最大值是 ,最 小值是 . 新知:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函 数值得出的. 2.函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连 续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的 条件 3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个, 可能一个没有.

图1

图2

4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 5. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a , (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

五、合作指导

设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的 步骤如下:⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函 数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值.
学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

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课时

第五课时 导数在函数中的应用复习
学习目标 1.理解导数与函数的单调性、极值、最值的联系; 2. 理解、明 辩导数与函数的单调性、极值、最值 的题型题。 【重点难点】 导数与含参函数单调性的题型
完成率评价 正确率评价

a 的取值范围.
反思题型与方法 (1)求已知函数的单调区间: (2)已知函数单调性(或单调区间) ,求参数的取值范 围: 原理: (1)若 f ?x?为增函数? f ' ?x? ? 0 ;

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(2)若 f ?x?为减函数? f ' ?x? ? 0 3、如果函数 y ? f ?x ? 的图象如图所示,那么导函数 y ? f ' ?x? 的图象可能是( )

一、复习 知识: 1、理论:导数判断(证明) 函数的单调性:(函数在某个区间上) (1)若 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; (2)若 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数 2、求函数单调 区间的步骤: ⑴求函数的定义域 ⑵求 f ( x) 并变形
'

y O ⑶令 f ( x) ? 0 ,求出函数单调增区间;令
'

y O

y O

O
O x O y O O

O A O y O O D O

f ' ( x) ? 0 ,求出函数单调减区间.
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ,刻画的是函数的 最值: 二、同步练习 1、求函数 f ?x? ? ln?x ? 1? ? 2 x 的单调区间: . 。

x O

B O

x O

x O

x O

2 2、已知函数 f ?x ? ? x ? ? 1 ? a ln x, ?a ? 0?, 讨论函数 f ?x ? 的单调性. x

4、对于 R 上的可导函数 f ( x) ,若满足 ?x ?1? f ' ( x) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ; C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ; B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

C O



已知区间求参数问题: 例:已知函数 f ?x? ? x3 ? ax2 ? x ? 1, a ? R .
? 2 1? ①当 a=1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间;②设函数 f ?x ? 在区间 ? ? ,? ? 内是减函数,求 ? 3 3?

5、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 3x ? 1 , (1)设 a=2,求 f ( x) 的单调区间,(2)设 f ( x) 在 区间 (2,3) 中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

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课时

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]1.4 生活中的优化问题举例 教学时间:2016.3 教学时数:1 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:姚亦文 第一课时 生活中的优化问题举例 学习目标 1. 掌握有关实际问题中的优化问题;[来源:学+科+网] 2. 形成求解优化问题的思路和方法。 重点难点: 理解导数在解决实际问题时的作用
完成率评价 正确率评价

例 3.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格 式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所 成的扇 形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录 数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度 不得小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. ① 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? ② r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

100%

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[来源:学|科|网]

一、新知教学 情景问题:汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的 关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: ① 是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? ② 汽油的使用率最高”的含义是什么? 二、合作探究、运用来源:学&科&网] 例 1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报, 要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各 空 1dm。如何设 计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?

反思:如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么如何计算磁盘的存储量? 此时,是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?

三、合作指导
优化问题

学情评价

例 2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 ①你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? ②是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 : 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是 0.8? r 2 分, 其中 r 是瓶子的半径, 单位是厘米。 已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题:①瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ③ 瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

小组评价 优秀 良好 一般 优秀

教师评价 良好 一般

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

班级:

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总第

课时

1.5
教学时间:2016.3 教学时数:2 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:邓学宾

定积分的概念

如何计算这个曲边梯形的面积? 要计算上述图形的面积,可将区间[a,b]分成许多小区间,进而把________拆分为 一些小__________ __,对每个小_____________“以直线代曲线”即用__________的面 积近似代替____________的面积,得到每个__________面积的近似值,对这些近似值 求和,就得到____________面积的近似值.如图可以想象,随着拆分越来越细,近似程 度就会越来越好. 问题 3:画出由 y ? x 与直线 x ? 1, y ? 0 围成的曲边梯形.
2

第一课时 曲边梯形的面积、汽车的行驶路程 学习目标 1.通过曲边梯形的面积,了解定积分的实际背景;初步掌握求曲边梯形面积的步骤— —四步曲 2.了解“以直代曲” 、 “逼近”的思想方法; 3.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程,感受在其过程中渗透的思想方法:分割、 以不变代变、求和、取极限(逼近) 。 4.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 学习重点难点:求曲边梯形面积、变速运动的路程
完成率评价 正确率评价

探究:求曲边梯形面积的步骤——四步曲 第一步:分割 问题 4:把区间 [0,1] 等间 隔地插入 n ?1 个点,将它等分为____个小区间,则第 i 个小区 间为________,其区间长度为 ?x ? ___ ________,当 n ? ?? 时, ?x ? ___.m] 第 二步 近似代替
2 问题 5:在区间_________上,函数 f ( x) ? x 的值 f ( x) ? _____,曲边梯形在这个小区间的

面积 ?Si ? ?Si ' ? _________,即小矩形的面积 ?S i ' 近似地代替 ?Si ,即以直代曲.
60%

100%

80%

60%

100%

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第三步

求和

一、合作预习 1、自我阅读:我们在小学、初 中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面 图形,但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面 积? 二、新知教学 连续函数与曲边梯形 问题 1: 函数 y ? f ( x) _____________, 那么我们称函数 y ? f ( x) 为在区间 I 上的连续函数. 问题 2 :如图,类似于一个梯形,但有一边是曲边 y ? f ( x) 的一段,我们把由直线
x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称为____________ y ? f ( x)

问题 6:求图 1.5-4 中 阴影部分 面积 S n (写出过程) .
n n n ? i ?1? ? i ?1? 1 S n ? ? ?S i? ? ? f ? ? ? ?x ? ? ? ? ? n ? n ? i ?1 i ?1 i ?1 ? n ? 2

= =

= =

从而得到 S 的近似值 S ? S n =
2 2 2 2 问题 7: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? __________. (用符号“ ? ”表示)

第四步

取极限——逼近的思想

y ? f ( x)

问题 8:从图中,当 n ? ??, Sn ? S ,即 S ? _______=____________=___________. 三、合作运用 例 1:汽车以速度 v 做匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 s ? vt .如果汽车做 2 变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v(t ) ? ?t ? 2 ( t 的单位:h, v 的单位:km/h) ,那 么它在 0 ? t ? 1 这段时间内行驶的路程 s(单位:km)是多少? 分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方 法求解.

a

b

a

b

y ? f ( x)

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总第

课时

四、课堂练习 1、把区间[1,3] n 等分,所得 n 个小区间,每个小区间长度为(
1 A. n 2 B. n 3 C. n 1 D. 2 n

第二课时 定积分的概念 ) 学习目标 1.理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤; 2.了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件; 3.明确定积分的几何意义和物理意义; 4.无限细分和无穷累积的思维方法. 学习重难点:了解定积分的概念,理解定积分的几何意义,掌握定积分的基本性质
完成率评价 正确率评价

2、把区间 [a, b] (a ? b) n 等 分后,第 i 个小区间是
i ?1 i , ] A. n n [ [a ? i ?1 i ,a ? ] n n i ?1 i (b ? a ), (b ? a )] n n B. [

(

)

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C

D

[a ?

i ?1 i (b ? a ), a ? (b ? a )] n n
2

3. 求直线 x ? 0, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? x 所围成的曲边梯形的面积

一、 合作预习 自我阅读:完 成知识点的提炼 复习:回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的步骤. 问题 1:下图的阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线 y ? f ( x) 的一段,我们把直 线 x ? a , x ? b (a ? b) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个 曲边梯形的面积呢?

2 4. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 v(t ) ? ?t ? 5 ( t 的单

位:h,v 的单位:km/h) ,试计算这辆汽车在 0 ? t ? 2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单 位:km) 研究特例:对于
x ? 1 , y ? 0 , y ? x2 围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?

五、合作指导
会用分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边梯形面积和汽车行驶路程问题
学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

二、新知教学 1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限 2.定积分的定义: ?a f ( x)dx ? lim ? n ??
b

b?a f (?i ) n i ?1
n

3.定积分的几何意义: 4. 定积分的性质: (1) ?
b a

课后作业
精讲精练随堂演练

kf ( x)dx ?
b

( k 为常数);(2) ? [ f ( x) ? f ( x)]dx ?
b a 1 2 a

【※课后反思】 (二次备课)

; (3) ?

f ( x)dx ?

(其中 a ? c ? b ) .[源:Z.xx.k.Com]

问题2:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示上图中阴影部分的面积S吗?

班级:

姓名:
1

组别:

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合作学习"

总第

课时

三、合作运用 1 利用定积分的定义,计算 ?0 x dx 的值
3

1.6 微积分基本定理
教学时间:2016.3 教学时数:1 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:邓学宾 第一课时 微积分基本定理 学习目标 1.理解定积分的概念和定积分的性质,理解微积分基本原理;[来源:学科网 ZXXK] 2.掌握微积分基本定理,并会求简单的定积分; 3.能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出,满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 学习重点难点 :掌握微积分基本定理,会利用微积分基本定理求定积分
完成率评价 正确率评价

变式:计算 ?0 x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?

2

2 2 2 试用定积分的几何意义说明 ?0 1 ? x dx 的大小.计算定积分 ?1 (1 ? x)dx

1

四、课堂检测
F ( x ? ?x) ? F ( x) 1. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,且 ( F ( x) ? C )? ? f ( x) , ( C 为常数) ,则 lim ? ?x ?0 ?x

100%

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) )

A. F ( x) B. f ( x) C.0 D. f ?( x) 2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [a, b] 上的平均 值为(
f (a) ? f (b) 2 1 b C. ? f ( x)dx 2 a

一、合作预习 自我阅读完成知识点的提炼

A.

B. ?a f ( x)dx D.
1

b

1 【探究】 :试尝试利用定积分的定义计算 ? dx 。 x 1
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,有些几乎不肯能用。 那有没有更简捷、更有效的方法呢? 二、新知教学 【情境】导数与定积分的联系 问题 1:一个作变速直线运动的物体的运动规律是 s ? s(t ) .由导数的概念可知,它在任 意时刻 t 的速度 v(t ) ? s?(t ) .设这个物体在时间段 [a, b] 内的位移为 S, 你能分别用 s(t ), v(t ) 表 示 S 吗?

2

1 b f ( x)dx b ? a ?a
3 (3) ??1 x dx ; 2

3.计算下列定积分,并从几何上解释这些值分别表示什么.
3 (1) ??1 x dx ; 0

3 (2) ??1 x dx ;

4.利用定积分的定义,证明

? 1dx ? b ? a ,其中 a, b 均为常数且 a ? b .
a

b

五、合作指导
定积分的概念及几何意义
学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

新知:如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,并且 F ?( x) ? f ( x) ,那么 ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 这个结论叫做微积分基本定理,也叫牛顿—莱布尼兹公式
f ( x)dx ? F ( x) |b 为了方便起见,还常用 F ( x) |b a ? F (b) ? F ( a ) a 表示 F (b) ? F (a ) ,即 ?a
b

b

课后作业
精讲精练随堂演练

【※课后反思】 (二次备课)

反思:计算定积分 ?a f ( x)dx 的关键是找到满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 通常我们可以运 用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出 F ( x) .

b

班级:

姓名:

组别:

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学校审核:

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合作学习"
b

总第

课时

三、合作运用 1 计算下列定积分:[来源:Z|xx|k.Com] (1) ?
2 1

四、课堂检测 1. 设连续函数 f ( x) ? 0 ,则当 a ? b 时,定积分 ?a f ( x)dx 的符号( A.正 C.负 A. cos x
3?



1 dx ; x

1 (2) ? (2 x ? 2 )dx 1 x
3

B.当 0 ? a ? b 时为正,当 a ? b ? 0 时为负 D.以上结论都不对
x

2. 函数 y ? ?0 cos xdx 的一阶导数是( B. ? sin x
3? 2 0

) D. sin x ) C. ?0 sin xdx ? ?? 2 sin xdx
?
3?

C. cos x ? 1
3?

3. 与定积分 ? | sin x | dx 相等的是( A. | ?0 2 sin xdx | 4. 小结:计算定积分 ?a f ( x)dx 的关键是找到满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 例 2.计算下列定积分: ? sin xdx, ? sin xdx, ? sin xdx 。
0
b

B. ?0 2 sin xdx

D. ?02 sin xdx ? ?? 2 sin xdx
2

?

3?

?

2

1

( x ? 1)dx =

?

2?

2?

5.

?

2

1

1 dx = x2
2

?

0

6.计算定积分: (1) ?0 (4 ? 2 x)(4 ? x 2 )dx ; (2) ?
2 1

由计算结果你能发现什么结论 ?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。

x2 ? 2 x ? 3 dx . x

五、合作指导
掌握微积分基本定理,利用微积分定理求定积分
学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

小结: 定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: (1) 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时, 定 积分的值取正值, 且等于曲边梯形的面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方 的曲边梯形的面积时,定积分 的值为 0,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.

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精讲精练随堂演练

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1.7 定积分的简单应用
教学时间:2016.3 教学时数:1 课时 编写整理:姜智敏 审核修订:邓学宾 第一课时 定积分在几何、物理中的应用 学习目标 1.理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法; 2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积,会解决简 单的物理问题. 学习重点难点:计算简单的平面曲线围成图形的面积,会解决简单的物理问题
完成率评价 正确率评价

变式:计算由 直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2x 以及 x 轴所围图形的面积 S.

100%

80%

60%

100%

80%

60%

小结:在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形 直观 确定出被积函数以及积分的上 、下 限. 2.一辆汽车的速度一时间曲线如图 1.7 一 3 所示.求汽车在这 1 min 行驶的 路程. [来源:学科网]

一、合作预习 自我阅读完成知识点的提炼,精讲精练基础知识整合 二、新知教学 探究任务一:定积分在几何中的应用 问题: 如何求曲边图形的面积? 1.当 f ( x) 在 [a, b] 上有正有负时,则 A ? ?a | f ( x) | dx 2.平面图形是由两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 及直线 x ? a, x ? b 所围成且
f ( x) ? g ( x) .其面积都可以用公式 A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx 求之.
a b b

[来源:学科网] [来源:学 科网]

3.当介于两条曲线 y1 ? f ( x) ,y2 ? g ( x) ,x ? [a, b] 和两条直线 y ? a, y ? b 之间的平面图形的 面积公式为: A ? ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx 探究任务二:定积分在物理中应用 (1) 求变速直线运动的路程 (2) 变力作功 (3) 三、合作运用 1. 计算由曲线 y2 ? x , y ? x 2 所围图形的面积 S.
b

3.在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 lm 处,求克服弹力所作的功.

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课时

四、课堂检测 1. 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上 的 两 条光 滑 曲 线 的 方 程 则 由这 两 条 曲 线 及 直 线 x ? a, x? b所围成的平面区域的面积为( ) A. ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx C. ?a | f ( x) ? g ( x) | dx
1 A. gt0 2 3
b b

8. 计 算 曲 线 x ? y 2 和 x ? 4 ? y 2 所 围 的 图 形 面 积
y x=4- y 2 2 O 1 4 x

B. ?a [ g ( x) ? f ( x)]dx D. | ?a f ( x) ? g ( x)dx | )
1 C. gt0 2 2 1 D. gt0 2 4
b

b

2. 已知自由下落物体的速度为 v ? gt ,则物体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为( B. gt0
2

- 2 x=y 2

[来 源 :

3? ) ) 与坐标轴所围图形的面积是( 2 5 A.2 B.3 C. D.4 2 4.一物 体在力 F ( x) ? 3x ? 4 (单位: N )的作用下,沿着与力相同的方向从 x ? 0 处运动

3. 曲线 y ? cos x(0 ? x ?

学 科 网 ZXXK] [来源:Z|.Com]

五、合作指导
在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积,解决简单的物理 问题
学情评价
小组评价 优秀 良好 一般 优秀 教师评价 良好 一般

到 x ? 4 处(单位: )则力 F ( x) 所作的功为 5. 弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F ? kl 计算. 如果 10N 的力能使弹簧 压缩 1 cm ,那么把弹簧从平衡位置压缩 10 cm (在弹性限度内)做功为 2? 2? 6 求曲线 y ? sin x  x ?[0, ] 与直线 x ? 0, x ? 3 3 y x 轴所围成的图形面积。
o
2? 3

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