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2016年高二理科数学第二学期期末复习训练题

时间:2016-08-03


高二理科数学第二学期期末训练题
姓名
一、选择题: 1、 命题“若 a ? b ,则 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) ”的逆否命题是( A.若“ a ? b ,则 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) C.若 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) ,则 a ? b A. ?x0 ? ?RQ , x ? Q C. ?x0 ? ?RQ , x ? Q
3 0 3 0

分数


B.若 a ? b ,则 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) D.若 a(m2 ? 1) ? b(m2 ? 1) ,则 a ? b )
3 B. ?x0 ? ?RQ , x0 ?Q
3 D. ?x0 ? ?RQ , x0 ?Q

3 2、命题“ ?x0 ? ?RQ , x0 ? Q ”的否定是(

3、一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子弹,命中 后的剩余子弹数目ξ 的期望为( ) A、2.44 B、3.376 C、2.376 D、2.4 4、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案:( )

则第五个图案中有白色地面砖( )块. A、21 B、22 C、20 5、已知复数 z ?

D、23

3?i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数 z 所对应的点在( ) 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第

(A)第一象限 四象限

6、设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推 出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 2 成立” . 那么,下列命题总成立的是( A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立 C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立
1 2 2 n n 7、若 Cn x ? Cn x ? ?? Cn x 能被 7 整除,则 x , n 的值可能为(



) D、 x ? 6, n ? 5

A、 x ? 4, n ? 3

B、 x ? 4, n ? 4

C、 x ? 5, n ? 4

1

8、把正整数按右图所示的规律排序,则从 2015 到 2017 的 1→2 5→6 9→10?? 箭头方向依次为 ( ) ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↑ 3→4 7→8 11 A、2016→ B、→2016 C、2016→ D、 、→2016 ↑ ↓ 9、锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特 征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) A、

8 91

B、

25 91

C、

48 91

D、

60 91

2 10 、 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 3, ?

?

?

, 且 P ? X ? 4? ? 0.84 , 则

P ? 2 ? X ? 4? ? (
(A) 0.84

) (B)
*

0.68
x x

(C) 0.32

(D) 0.16

?1? ?1? * x 1? x 11、已知命题 p : ?x ? N , ? ? ? ? ? ,命题 q : ?x ? N , 2 ? 2 ? 2 2 , ? 2? ? 3?
则下列命题中为真命题的是( (A) p ? q (C) p ? ? ?q ? (B) (D) )

? ?p ? ? q ? ?p ? ? ? ?q ?

12、 如果 P ?, 它们的横坐标依次为 x1 ,x2 , ?, P2 , Pn 是抛物线 C :y 2 ? 4x 上的点, 1,

xn , F 是抛物线 C 的焦点,若 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 10 ,则

PF ?P 1 2 F ? ?? P nF ?(
(A) n ? 10 二、填空题: 13、由图(4)有面积关系: _______.

)
(C) 2 n ? 10 (D) 2n ? 20

(B) n ? 20

V S?PA?B? PA? ? PB? ,则由图(5)有体积关系: P ? A?B?C ? = ? S?PAB PA ? PB VP ? ABC
B B P B’ A C’ A’ 图5 A
2

B’ P 图4

C

A’

14、曲线 f ? x ? ?

2 ? 3x 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 x

.

15、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分 布如下:

?
p

0 0.1

1 0.3

2 2a

3

a

则 a =_________ 16、根据下表计算:
男 女 不看电视 37 35 看电视 85 143

计算随机变量的观测值 k=
2 6


8

17、 已知 (1 ? kx ) (k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于 120,则 k=_____. 18、已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,点 F 关于直线 y ? 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的方程为
2 2

1 x 的对称点 2

.

19、 已知双曲线 C :

且 BA?BF ? 0 ,则双曲线 C 的离心率为 三、解答题: 20、已知函数 f ( x) ? x ?12 x
3

??? ? ??? ?

x y ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的左顶点为 A , 右焦点为 F , 点 B ? 0, b? , 2 a b


(1)求函数的单调区间及极值; (2)若 x ?? ?3,3? ,求 f ( x ) 在此区间上的最值。

3

21、已知圆 C 方程: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,垂直于 x 轴的直线 l 与圆 C 相切于 N 点( N 在 圆心 C 的右侧) ,平面上有一动点 P ,若 PQ ? l ,垂足为 Q ,且 轨迹方程;

PC PQ

?

1 .求点 P 的 2

22、从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果 得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内 的频率之比为 4:2:1 . (Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间 ?75,85? 内的频率; (Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的 这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产品中 0.030 质量指标值位于区间 ? 45,75? 内的产品件数为 X , 求 X 的分布列与数学期望.
0.019 0.012 频率 组距

0.004 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值

4

ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AO 23、如图,四棱柱 ABCD ? A ?底 1B 1C1D 1 的底面 1
面 ABCD , AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ)证明:平面 ACO ? 平面 BB1D1D ; 1 (Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值.
?

D1 A1 B1

C1

D O A B

C

5

24、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F , 0? , 1? ?2 点 B 2, 2 在椭圆 C 上, 直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 C 交于 E ,F 两点, 直线 AE ,AF 分别与 y 轴交于点 M , N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请 说明理由.

?

?

25、设函数 f ( x) ? xe (k ? 0)
kx

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

6

高二理科数学第二学期期末训练题参考答案
一、选择题: 1、C 2、D 3、C 解析:ξ =0,1,2,3,此时 P(ξ =0)=0.43,P(ξ =1)=0.6×0.42, P(ξ =2)=0.6×0.4,P(ξ =3)=0.6,Eξ =2.376. 4、B 5、D 6、D 解析:当 f ( 4) ≥ 25 时, f ( 4) ≥ 42 ,从而 f (5) ≥ 52, ?,f ( k ) ≥ k 2 ( k ≥ 4 )成立.
1 2 2 n n 7、C 解析: Cn x ? Cn x ? ?? Cn x ? (1 ? x)n ?1,

当 x ? 5, n ? 4 时, (1 ? x)n ?1 ? 64 ?1 ? 35 ? 37 能被 7 整除 8、B
4 9、 C 解析: 因为总的滔法 C15 即芝麻馅汤圆、 花生馅汤圆, , 而所求事件的取法分为三类,

豆沙馅汤圆取得个数分别按 1,1,2;1,2,1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91 10、B 11、C 12、A

二、填空题 13、

PA? ? PB ? ? PC ? . PA ? PB ? PC

解析:设三棱锥 C ? ? PA?B ? 的高为 h ? ,三棱锥 C-PAB 的高为 h,则

h ? PC ? ? , h PC



VP ? A?B?C? S? PA?B? ? h? PA? ? PB? ? PC ? . ? ? VP? ABC S?PAB ? h PA ? PB ? PC

14、 x ? y ? 4 ? 0 15、 a =0.2 解析:由概率分布的性质有 0.1+0.3+2 a + a =1,解得 a =0.2 16、4.51 解析:把表格补充完整
男 女 总计 不看电视 37 35 72 看电视 85 143 228 总计 122 178 300

k?

300(37 ? 143? 85? 35) 2 ? 4.51 72 ? 228? 122? 178
8

4 4 17、k=1 解析: x 的系数为 C6 k ? 15k 4 ,

由 15k ? 120(k 是正整数),解得 k=1
4

18、

5x2 5 y 2 5 ?1 ? ? 119、 9 4 2
7

三、解答题 20、 (1)增区间: ? ??, ?2? ,(2, ??) 极大值:16 ;极小值:-16 (2)最大值:16;最小值:-16 21、设 P 点坐标为 ( x, y ) 则 PQ ? 4 ? x , 减区间: (-2,2)

y
P

l Q

PC ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,


OC

N x

PC PQ

?

( x ? 1) 2 ? y 2 1 1 ? , ,∴ 4? x 2 2

化简得

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 , ∴点 P 的轨迹方程是 ? ? 1. 4 3 4 3

22、解: (Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x . 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 , 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 . (Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 . 由 (Ⅰ) 得, 区间 ? 45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 , 将频率视为概率得 p ? 0.6 . 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且
0 1 2 P( X ? 0) ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 , P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 , 2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 , P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 .

所以 X 的分布列为:

X P

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 . (或直接根据二项分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 )
8

23、 (Ⅰ)证明:因为 AO ? 平面 ABCD , 1

BD ? 平面 ABCD ,
所以 A1O ? BD . 因为 ABCD 是菱形, 所以 CO ? BD . 因为 AO 1 ? CO ? O , 所以 BD ? 平面 A1CO . 因为 BD ? 平面 BB1D1D , 所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO . 1 (Ⅱ)因为 AO ? 平面 ABCD , CO ? BD ,以 O 为原点, OB , OC , OA1 方向为 1

z
A1

D1 B1

C1

D A O B

C x

y

???

??? ?

??? ?

x , y , z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.????????5 分
因为 AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 , OA1 ?

AA12 ? OA2 ? 1 .则 B ?1,0,0 ? ,

C 0, 3, 0 , A 0, ? 3, 0 , A1 ? 0,0,1? ,
所以 BB1 ? AA1 ? 0, 3,1 , OB1 ? OB + BB1 ? 1, 3,1 .设平面 OBB1 的法向量为

?

?

?

?

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

??? ? ????

?

?

??? ? ??? n ? ? x, y, z ? ,因为 OB ? ?1, 0, 0? , OB1 ? 1, 3,1 ,

?

?

所以 ?

? ? x ? 0, 令 y ? 1 ,得 n ? 0,1, ? 3 . x ? 3 y ? z ? 0. ? ?

?

?

同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? .所以 cos ? n, m ??

3 6 . ? 4 2 2
6 4


因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角, 所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?

9

24、 (Ⅰ)解法一:设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2 因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a2 ? b2 ? 4 .设椭圆的右焦点为 F2 ? 2, 0? , 1? ?2

已知点 B 2, 2 在椭圆 C 上, 由椭圆的定义知 BF 1 ? BF 2 ? 2a ,所以 2a ? 3 2 ? 2 ? 4 2 . 所以 a ? 2 2 ,从而 b ? 2 . 所以椭圆 C 的方程为

?

?

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

解法二:设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
2 2

因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a ? b ? 4 . 1? ?2 因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上,所以 由①②解得, a ? 2 2 , b ? 2 . 所以椭圆 C 的方程为

① ②

?

?

4 2 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(Ⅱ)解:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 . 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

?

?

设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ) ,则点 F ? ? x0 , ? y0 ? .

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4

? y ? kx, 2 2 2 2k 8 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y 得 x2 ? . 所以 x0 ? , 则 y0 ? . 2 2 1 ? 2k ?1 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8

所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 2k 2

?x ? 2 2?.
? ? ? .同理可得点 2 ? 1 ? 1 ? 2 k ? ? 2 2k
10

因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N , 令 x?0 得 y?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

, 即 点 M ? 0, ?

? 2 2k N? 0, ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?
所以 MN ?

? ? ?. ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2
? ? ?

?

2 2 ?1 ? 2k 2 ? k
2? ?. k ? ?



设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?1 ? 2k ? ? 2 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? , ? ?? ? ? k ? k ? ? ? ? ? ?

2

即x ?y ?
2 2

2 2 y ?4. k
2

令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 . 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? . 解法二:因为椭圆 C 的左端点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 . 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

?

?

x y ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4 设点 E( x0 , y0 ) ,则点 F (? x0 , ? y0 ) .
所以直线 AE 的方程为 y ?

2

2

y0 x0 ? 2 2

? x ? 2 2 ? .因为直线 AE 与 y 轴交于点 M ,

令x ? 0得 y ?

? ? 2 2 y0 ? 2 2 y0 2 2 y0 ? ,即点 M ? 0, 同理可得点 N ? 0, ? ? x ?2 2 ? ? x ?2 2 ? ?. x0 ? 2 2 0 0 ? ? ? ?

所以 MN ?

2 2 y0 2 2 y0 16 y ? ? 2 0 . x0 ? 8 x0 ? 2 2 x0 ? 2 2

因为点 E( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

x0 2 y0 2 ? ?1 . 8 4

11

所以 MN ?

? 2 x0 ? 8 .设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ? ? ? ?. y y0 0 ? ?
2 2

? 2 x0 ? 16 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? . ? ? 2 ? ? y y 0 0 ? ?
即 x2 ? y 2 +

2 2 x0 y?4. y0
2

令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 . 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? . 20、解析: (Ⅰ) f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx , f ' ? 0? ? 1, f ? 0? ? 0 , 曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ)由 f
'

? x? ? ?1? kx? ekx ? 0 ,得 x ? ? k ? k ? 0 ? ,

1

1? ? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k ? ? ? 1 ? ' 当 x ? ? ? , ??, ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? 1? ? ' 若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k ? ? ? 1 ? ' 当 x ? ? ? , ??, ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ? 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? ? ?1 , k 即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增,
若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

k 的取值范围是 ? ?1,0? ? ? 0,1? . 综上可知, 函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时,

1 ? 1, k 即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增,
若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

12


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