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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:4.3 和、差、倍角的三角函数

时间:


§4.3

和、差、倍角的三角函数

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.两角和与差

的三角函数公式 sin(α±β)=_______________________; cos(α±β)=cos αcossin β?sin sin ββ ; αα cos ±cos tan(α±β)=_______________. 2.二倍角公式

αsin β

tan α± tan β sin 2α=_______________________; 1? tan α tan β 2
tan 2α=__________________. 2sin αcos α

cos 2α=______________=2cos α-1=_____________;

cos2α-sin2α
2tan α 1-tan2α
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1-2sin2α

3.辅助角公式 设辅助角 φ,asin θ+bcos θ a b 2 2 = a +b ( 2 sin θ+ 2 cos θ) 2 2 a +b a +b = a2+b2sin(θ+ φ). a
2 2

b

2 2 a + b 其中 cos φ= _________ a +b ,sin φ=__________.

b 即 tan φ= . a

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思考探究 1.sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立吗? 提示:不是的.α或β其中之一为2kπ(k∈Z)时,可以成立,即sin(2kπ+β)=sin β.

tan α-tan β 2.在公式 tan(α-β)= 中,α=45° , 1+tan αtan β β=135° 可以吗?

提示:不可以,等式左右两边都没意义.

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课前热身

sin 2α 1. (2011· 高考福建卷 )若 tan α= 3,则 2 的值等于( cos α A. 2 C. 4 B. 3 D .6

)

sin 2α 2sin αcos α 解析:选 D. 2 = =2tan α=2×3=6. 2 cos α cos α

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3 2. (2012· 高考大纲全国卷 )已知 α 为第二象限角, sin α= ,则 5 sin 2α= ( ) 24 12 A. - B. - 25 25 12 24 C. D. 25 25
3 解析:选 A.∵ α 为第二象限角且 sin α= , 5 4 2 ∴ cos α=- 1- sin α=- , 5 3 ? 4? 24 - ∴ sin 2α= 2sin α· cos α= 2× × 5 =- . 5 ? ? 25

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3.(2012· 高考重庆卷)设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为( A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

解析:选 A.∵tan α,tan β 是方程 x2- 3x+2=0 的两根, ∴tan α+tan β=3,tan αtan β=2, tan α+tan β 3 ∴tan(α+β)= = =-3. 1-tan αtan β 1-2

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4.化简: cos(20°+x)cos(25°-x)-cos(70°-x)sin(25°-x)=__________.

2 答案: 2
6 π 5.已知 3cos x-sin x=- ,则 sin( -x)=__________. 5 3 3 答案:- 5

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及应用

两角和差的形式是相对而言的.如 α- β= α+(- β), α= (α+β)-β 等.要注意公式的正用、逆用、变形用.

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例1

4 已知 α, β 均为锐角, cos αcos 2α+ sin 2αsin α= , 5

1 tan(α-β)=- ,求 tan β 和 tan(α+ β)的值. 3

4 3 3 【思路分析】 已知可化简为 cos α= →sin α= →tan α= , 5 5 4 而 β 用 α-(α-β)表示.

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4 【解】 ∵ cos αcos 2α+ sin 2αsin α= cos(2α- α)= cos α= , 5 3 3 α 为锐角,∴ sin α= ,∴tan α= . 5 4 3 1 + tan α- tan? α- β? 4 3 13 ∴ tan β= tan[α- (α- β)]= = = . 3 1 9 1+ tan αtan? α- β? 1- × 4 3 3 13 + tan α+ tan β 4 9 79 ∴ tan(α+ β)= = =- . 3 13 3 1- tan αtan β 1- × 4 9

【领悟归纳】

把所求角巧妙地转化为其它角的和、差形式,是解题的关键.

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考点 2

二倍角的正弦、余弦、正切公式

在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于 2α 是 α 的二 倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,如:4α 是 2α 的二 α π π 倍,α 是 的二倍, ± 2α 是 ± α 的二倍,所有这些都可以用二 2 2 4 倍角公式,另外二倍角公式进行变形,还有更多的应用技巧.

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例2

π π 3 若 0<x< ,sin( -x)= ,求 sin 2x 的值和 cos x 的值. 4 4 5
利 用 角 度 变 换 , 寻 找 函 数 关 系 : sin 2x =

【思路分析】

π ? cos 2?4- x? ?, 进而可求 cos 2x, 而 cos 2x= 2cos2x- 1, 求 cos x. ? ?

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π 2 π ? ? 【解】 ∵ sin 2x= cos 2? 4- x? = 1- 2sin ( - x) ? ? 4 32 7 = 1- 2× ( ) = . 5 25 π 又∵0< x< , cos 2x> 0, 4 ∴ cos 2x= 1- sin 2x= 1+ cos 2x = 2
2

7 2 24 1-? ? = , 25 25 24 1+ 25 7 2 = . 2 10

∴ cos x=

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【思维总结】

π π 2α, + α, - α 三角之间有必然的内在联系, 4 4

本题的变形就用了这种关系. π π π 如:cos 2α= sin( ± 2α)=2sin( ± α)cos( ± α)等. 2 4 4

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跟踪训练

π 3π π 3 1.若 <x< ,sin( +x)= . 求 sin 2x 及 cos x 的值. 2 4 4 5 π 2 π ? ? 解: sin 2x=- cos 2?4+ x? = 2sin ( + x)-1 ? ? 4 32 7 = 2× ( ) -1=- . 5 25 π 3 3 又∵ <x< π,∴ π<2x< π.∴ cos 2x<0. 2 4 2 7 2 24 2 ∴ cos 2x=- 1- sin 2x=- 1-?- ? =- . 25 25 ∵ cos x<0,

∴ cos x=-

1+ cos 2x =- 2
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24 1- 25 2 =- . 2 10

考点3

给值求角

已知某个角的三角函数值,根据三角函数的定义,可以把这个角求出来,要注意终边相同的 角及角的范围.

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例3 设函数 f(x)=4cos xsin2(π+x)+ 3cos 2x-2cos x, 4 2
若 f(x)=1 且 0<x<π.求角 x 的值.
【思路分析】 首先使用降幂公式,再用辅助角公式,化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.

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π 1- cos? + x? 2 【解】 f(x)= 4cos x· + 3cos 2x- 2cos x 2 = 2cos x(1+ sin x)+ 3cos 2x- 2cos x π = sin 2x+ 3cos 2x= 2sin(2x+ ), 3 π π 1 ∴当 f(x)= 1 时,即 2sin(2x+ )= 1,∴ sin(2x+ )= . 3 3 2 π π π 5 ∴ 2x+ = 2kπ+ 或 2x+ = 2kπ+ π(k∈ Z). 3 6 3 6 π π ∴ x= kπ- 或 x= kπ+ , k∈ Z. 12 4 π 11 又∵x∈ (0, π).∴ k= 0 时,x= , k=1 时, x= π. 4 12

【思维误区】

本题易丢解、多解,不注意x的范围.
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跟踪训练

x π? ? 2. (2012· 高考广东卷)已知函数 f(x)= Acos?4+6 ?, x∈ R, π? ? 且 f 3 = 2. ? ? (1)求 A 的值; π? ? 4 ? 2 ? 8 30 ? ? (2)设 α, β∈ 0,2 , f 4α+3π =- , f 4β-3π = , ? ? ? ? 17 ? ? 5 求 cos(α+ β)的值.

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π? π π? ? ? 解:(1)由 f 3 = 2得 Acos 12+ 6 = 2.故 A= 2. ? ? ? ? 4π ? π ? 4 ? 1? 30 ? ? (2)∵- = f 4α+3π =2cos 4?4α+ 3 ?+ 6 17 ? ? ? ? π? ? = 2cos α+2 =- 2sin α, ? ? 2π ? π ? 2π ? 1? 8 ? ? = f 4β- 3 = 2cos 4?4β- 3 ?+ 6 = 2cos β, 5 ? ? ? ? 15 4 ∴ sin α= , cos β= . 17 5 π? ? ∵ α, β∈ 0,2 , ? ?

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∴ cos α= 1- sin α= sin β= 1- cos β=
2

2

15?2 8 ? 1- 17 = , ? ? 17 4 ?2 3 ? 1- 5 = . ? ? 5

∴ cos(α+ β)= cos αcos β- sin αsin β 8 4 15 3 13 = × - × =- . 17 5 17 5 85

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方法感悟
方法技巧 1.三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成

同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、
整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或 所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.本节例题都有 所涉及.

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2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已 知条件的和角进行加减或 2 倍角后再加减, 观察是不是常数角, 只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数 值,可使所求的复杂问题简单化! 3.变化多端的三角公式 (1)二倍角公式的逆向变换及有关变形: 1± sin 2α= (sin α± cos α) ; 1+ cos α= 2cos ; 2 1+ cos 2α 1- cos α= 2sin ; cos α= ; 2 2 1- cos 2α 2 sin α= . 2
2α 2
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2



1+ cos 2α 1- cos 2α 2 其中,cos α= ,sin α= 称为降幂公式,而 2 2
2

把 1- cos 2α= 2sin2α, 1+ cos 2α= 2cos2α 称为升幂公式. tan α+ tan β (2)公式 tan(α+β)= , 应注意两种变形: tan α+ tan 1- tan αtan β tan α+ tan β β= tan(α+ β)· (1- tan α · tan β)和 1-tan α · tan β= . tan? α+ β? 1- cos α α sin α (3)tan = = . 2 1+ cos α sin α

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失误防范

1.辅助角公式中,系数“ a2+b2”易被漏掉,正、余弦形式 易写反. 2.在三角函数求值时,往往要判定角的范围后再求值,特别有 关求角的问题,判断角的范围不可少. 1 3.在(0,π)内,sin α= 所对应的角不唯一,注意周期的使用. 2

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考向瞭望把脉高考
命题预测
近几年的高考,应用两角和、差公式、倍角公式求值,化简以及与三角函数知识的综合仍为 高考的热点,题型有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏低.客观题常以公式的直接应 用形式出现,主要考查学生对公式的熟练应用,主观题常以三角函数的性质、向量等知识综

合,所需要的性质和公式为多数考生所熟悉的,绝大多数考生都能入手解题.
如2012年大纲全国卷、江西卷、重庆卷、四川卷及江苏卷都考查了倍角及和角公式的化简与 求值. 预测2014年高考仍将以公式的应用为主,考查学生对公式的理解、准确应用、逆用和变形应用. 以化简求值为主要内容.

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规范解答



(本题满分 12 分 )(2011· 高考广东卷)已知函数

1 π? ? f(x)= 2sin 3x- 6 , x∈ R. ? ? (1)求 f(0)的值; π? ? π ? 10 6 ? (2)设 α, β∈ 0,2 , f 3α+ 2 = , f(3β+ 2π)= , ? ? ? ? 13 5 求 sin (α+ β)的值.

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π? π ? 【解】 (1)f(0)= 2sin -6 =-2sin =- 1.(2 分) ? ? 6 π? ? π? 10 ? 0 , 3 α + (2)由题意知, α, β∈ 2? =13, ? 2 ?,f? 6 10 6 f(3β+ 2π)= ,即 2sin α= ,2cos β= , (6 分 ) 5 13 5 5 12 3 4 ∴ sin α= , cos α= ; cos β= , sin β= .(10 分 ) 13 13 5 5 ∴ sin(α+ β)= sin αcos β+ cos αsin β 5 3 12 4 63 = × + × = .(12 分 ) 13 5 13 5 65
【名师点评】 本题考查了三角函数求值、同角三角函数关系及两角和的三角公式,考查运算 求解能力,难度中等偏下.

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知能演练轻松闯关

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