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高中数学第二章§2-2-2对数函数及其性质(一)课件新人教A版必修

时间:


2.2.2
【学习要求】

对数函数及其性质(一)

1.理解对数函数的概念; 2.掌握对数函数的性质; 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 【学法指导】 通过画函数y=log2x和y= log 1 x的图象,观察其图象特征及由
2

图象归纳函数的性质,体会到类比、由特殊到一般等方法的 广泛性,进一步培养数形结合思想,养成善于观察、归纳的 好习惯.

1.对数函数的定义:一般地,我们把 函数y=logax(a>0,

且a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是 (0,+∞) .
2.对数函数的图象与性质
定义 底数 图象 y=logax (a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1

定义域 值域 单调性 共点性

(0,+∞) R
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 图象过点 (1,0),即 loga1=0 x∈(0,1)时, x∈(0,1)时, y∈ (0,+∞) ; x∈[1,+∞)时, y∈ (-∞,0]
a

函数值 特点

y∈(-∞,0) ; x∈[1,+∞)时, y∈ [0,+∞)

对称性

函数 y=logax 与 y= log 1 x 的图象关于 x轴 对称

问题情境:某种细胞分裂时,得到分裂个数 t 是分裂次数 n 的函数,可以用指数函数表示为 t=2n,反过来,如果知道分 裂后的细胞个数也可求出分裂的次数 n,即 n=log2t,而且对 于每一个细胞个数 t,有唯一的分裂次数 n 与之相对应,因此 n 是关于 t 的函数.习惯上仍用 x 表示自变量,y 表示它的函 数:即 y=log2x.这就是本节我们要研究的对数函数.

探究点一 问题 1

对数函数的概念

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死 log P 亡物体的残留物,利用 t= 5 730 1 (P 为碳 14 含量)估算出
2

土文物或古遗址的年代 t.那么 t 是 P 的函数吗?为什么?



因为对于每一个碳 14 含量 P,通过对应 t 是 P 的函数.
730 1 2

关系 t= log5

P ,都 有唯一确定的年代 t 与它对应,

所以,t 是 P 的函数.
问题 2 在问题 1 中,t= log5
730

你能归纳出这类函数的定义吗?

1 2

P就是一个对数函数,据此,



一般地,我们把函数 y=loga x(a>0,且 a≠1)叫做对数

函数,其中 x 是自变量,定义域为 x∈(0,+∞).

问题 3


判断一个函数是不是对数函数的依据是什么?
对数函数的定义与指数函数类似,只有满足函数解析

式右边的系数为 1, 底数为大于 0 且不等于 1 的常数, 真数 仅有自变量 x 这三个条件,才是对数函数.如:y=logax2; y=loga(4-x) ;y=2logax 都不是对数函数.

例1

求下列函数的定义域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x);(3)y=loga(9-x2); (4)y=log2(16-4x).

解 (1)由 x2>0,得 x≠0,
∴函数 y=logax2 的定义域是{x|x≠0}; (2)由 4-x>0,得 x<4, ∴函数 y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4};
(3)由 9-x2>0,得-3<x<3,

∴函数 y=loga(9-x2)的定义域是{x|-3<x<3}.
(4)由 16-4x>0, 得 4x<16=42, 由指数函数的单调性得 x<2,

∴函数 y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}.
小结 此题主要利用对数函数 y=logax 的定义域为(0,+∞) 来求解.

跟踪训练 1 求下列函数的定义域: 1 1 (1)y=log3(1-x);(2)y= ;(3)y=log7 ; log2x 1-3x (4)y= log3x.
解 (1)由 1-x>0 得 x<1,∴所求函数定义域为{x|x<1};

(2)由 log2x≠0,得 x≠1,又 x>0,

∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1};
? 1 ? ? >0 1? 1 ∴所求函数定义域为?x|x<3?; (3)由?1-3x ,得 x<3; ? ? ? ?1-3x≠0 ? ? ?x>0 ?x>0 (4)由? ,得? ; ? ? ?log3x≥0 ?x≥1
∴x≥1,∴所求函数定义域为{x|x≥1}.

探究点二

对数函数的图象及性质

问题 1 你能根据列表法在同一坐标系画出函数 y=log3x 及 动画展示 y=log1 x 的图象吗?
3

答 函数 y=log3x 及 y=log1x 的图象
3

如右图所示:

问题 2 根据问题 1 中画出的函数 y=log3x 及 y=log1x 的图象的特征,你能抽象出它们的性质吗?
3



两图象都位于 y 轴右方,都经过点(1,0),这说明两函

数的定义域都是(0,+∞),且当 x=1 时,y=0. y = log3x 的图象是上升的曲线,y=log1x 的图象是下降的曲线,这
3

说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞)上是 减函数.

问题 3

你能根据函数 y=log3x 及 y=log1x 的性质,归纳出
3

函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的性质吗?
答 函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0,+∞),值 域为 R,过定点(1,0),当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数, 当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数.

问题 4 你能从函数 y=log3x 及 y=log1x 的解析式的关系上说
3

明其对应的函数图象的关系吗? 答 利用换底公式,可以得到:y=log1x=-log3x,又点(x,
3

y)和点(x,-y)关于 x 轴对称, 所以, y = log3x 和 y = log 1 x
3

的图象关于 x 轴对称.

例2


求函数 y =log2|x|的定义域,并画出它的图象.
函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}.
? ?log2x y=? ? ?log2?-x?

函数解析式可化为

?x>0? , ?x<0?

其图象如图所示(其特征是关于 y 轴对称).

小结 画对数函数 y=logax 的图象时,应抓住三个关键点 ?1 ? (a,1),(1,0),?a,-1?. ? ?

跟踪训练 2 函数

? ?4x-4, f(x)=? 2 ? ?x -4x+3,

x≤1, 的图象和函 x>1 ( C ) D.4

数 g(x)=log2x 的图象的交点个数是 A.1 B.2 C.3

解析 在同一直角坐标系画出 f(x)与 g(x)的图象如图所示,

f(x)与 g(x)的图象有 3 个交点,故选 C.

例3

比较下列各组数中两个值的大小:

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).

解 (1)考查对数函数 y=log2x,因为它的底数 2>1,

所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log23.4<log28.5;
(2)考查对数函数 y=log0.3x,因为它的底数 0<0.3<1,

所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log0.31.8>log0.32.7;

(3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数,

于是 loga5.1<loga5.9;
当 0<a<1 时, y = logax 在 (0 ,+ ∞) 上是减函数,于是 loga5.1>loga5.9.

小结

比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数底数来

判断对数函数的增减性;然后比较真数大小,再利用对数函 数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现 的,需要对底数 a 进行讨论.

跟踪训练 3 设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 ( A ) A.a>b>c C.b>a>c B.a>c>b D.b>c>a 1 1 则2<b<1, 解析 a=log3π>1,b=2log23, 1 1 c=2log32<2,
∴a>b>c.

1.下列不等号连接错误的一组是 A.log0.52.2>log0.52.3 C.log34>log56 B.log34>log65 D.logπe>logeπ

( D )

解析 对 A,根据 y=log0.5x 为单调减函数易知正确.
对 B,由 log34>log33=1=log55>log65 可知正确.
4 6 6 对 C, 由 log34=1+log33>1+log35>1+log55=log56 可知正确. 对 D,由 π>e>1 得,logeπ>1>logπe 可知错误.

(0, 6] . 2.函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________
解析 利用对数的真数是正数,偶次方根非负解题. ? ?x>0, 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,则? ? ?1-2log6x≥0.

解得 0<x≤ 6.

3.求下列函数的定义域: (1)y=loga(ax-1)(a>0,且 a≠1); (2)y=log(x-1)(3-x).
解 (1)ax-1>0,得 ax>1. 若 a>1,则 x>0;
若 0<a<1,则 x<0. 所以当 a>1 时, 函数的定义域

当 0<a<1 时, 函数的定义域为(-∞, 0). 为(0,+∞);
?3-x>0, ? (2)由?x-1>0, ?x-1≠1, ? ?x<3, ? 即?x>1, ?x≠2, ?

所以 1<x<3,且 x≠2.
所以此函数的定义域为{x|1<x<3,且 x≠2}.

1.在对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)中,底数 a 对其图象的 影响.无论 a 取何值,对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的 图象均过点(1,0), 且由定义域的限制, 函数图象穿过点(1,0) 落在第一、四象限,随着 a 的逐渐增大,y=logax(a>1,且 a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且 当 0<a<1 时函数单调递减,当 a>1 时函数单调递增.

2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两 个 对 数 可直 接 利 用对 数 函 数的 单 调 性来 比 较 大小 , 若 “底”的范围不明确,则需分两种情况讨论;二看真数, 底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换 底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值, 底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较.


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