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江西省临川区第一中学2016届高三数学最后一卷试题 理


江西省临川一中 2016 届高考模拟考试 数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 命题:临川一中高三数学组 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,在答题卷相应题目的答题区域内作答. 1.已知集合 A ? ?0,1 ? , B ? z z ? x ? y, x ? A, y ? A

,则 B 的子集个数为(

?

?



A.8 B.3 C.4 D.7 2.“平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点 P 的轨迹为椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.各项都是正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a 2 ,



a ? a5 1 的值为( a3 , a1 成等差数列,则 4 a3 ? a 4 2
D.



A.

1? 5 2

B.

1? 5 2

C. )

5 ?1 2

1? 5 1? 5 或 2 2
D.有无穷多个零点

4. 函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( A.没有零点 B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点

?cos 2 x ? sin 2 x ? a1 a2 ? 5.定义 2 ? 2 矩阵 ? =a1a4 ? a2 a3 ,若 f ( x) ? ? ? ? cos( ? ? 2 x) ? a3 a4 ? ? ? 2
A.图象关于 ?? , 0 ? 中心对称 C.在区间 [? B.图象关于直线 x ? D.周期为 ? 的奇函数

3? ? ,则 f ( x) ( 1? ? ?
2
对称



?

?
6

, 0] 上单调递增

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) ( A. 6 B. 9 C. 10 D. 13 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(





4 A. 3

5 B. 2

7 C. 3
)

5 D. 3

8.下列判断错误 的是( ..

A. 若随机变量 ? 服从正态分布 N 1, ? 2 , P?? ? 4? ? 0.79, 则 P?? ? ?2? ? 0.21 B. am2 ? bm2 ”是“ a ? b ”的必要不充分条件 C.若随机变 量 ? 服从二项分布: ? ~ B(5, ) ,则 E? ? 1 D.“若 n 组数据 ?x1 , y1 ?? ? ? ?xn , yn ? 的散点都在 y ? ?2 x ? 1 上,则相关系数 r ? ?1
1

?

?

1 5

?y ? 1 ???? ??? ? ???? ? 9. 动点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 2 y ? 5 , 点 Q 为 (1,?1) ,O 为原点,? OQ ? OP ? OQ , 则 ? 的最大值是 ( ?x ? y ? 3 ?
A. ? 1 B. 1 C. 2 D. 2



10.已知集合 D ? ?( x, y )

? ? ? ?

? x2 y 2 ? ? ? 1? ,有下面四个命题: 4 3 ? ?

p1 : ?( x, y) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3
p3 : ?( x, y ) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4
其中的真命题是( A. p1 , p3 ) B. p1 , p4

p2 : ?( x, y) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1
p4 : ?( x, y ) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

C. p2 , p3

D. p2 , p4

11.如题图,已知点 D 为 ?ABC 的边 BC 上一点, BD ? 3DC , En (n ? N? ) 为边 AC 上的列点,满足 En A ?

1 an ?1 En B ? (3an ? 2) En D ,其中实数列 ?an ? 4

n C. 3 ? 2

中 an ? 0, a1 ? 1,则 ?an ? 的通项公式为( A. 3 ? 2
n ?1

?2

B. 2 ? 1
n

D. 2 ? 3

n ?1

?1

12.对于向量 a , b ,定义 a ? b 为向量 a , b 的向量积,其运算结果为一个向量,且规定 a ? b 的模 且使得 a , a ? b ? a ? b ? sin? (其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角),a ? b 的方向与向量 a ,b 的方向都垂直,

b , a ? b 依次构成右手系.如图所示,在平行六面体 ABCD-EFGH 中,∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°,
AB=AD=AE=2,则( AB × AD )· AE =(
A.4 B.8 C.2 2

??? ?

????

??? ?

) D.4 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在答题卷相应题目的答题区域内作答. 13.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者中男女 生均不少于 1 名的概率是______________(结果用最简分数表示).

n? N ) 14. 设 an( n ? 2 , 是3 ( ? )x
*

n

的展开式中 x 的一次项系数, 则

32 33 318 ? ??? ? a2 a3 a18



15.如图, ?OFB ?

?
6

, ?ABF 的面积为 2 ? 3 ,则以 OA 为长半轴, OB 为

短半轴, F 为一个焦点的椭圆方程为________.
2

第 15 题图

16. 若函数 f ( x ) 在定义域内满足: (1)对于任意不相等的 x1 , x2 ,有 (2)存在正数 M ,使得 f ( x) ? M , x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ; 则称函数 f ( x ) 为“单通道函数”,给出以下 4 个函数: ① f ( x) ? sin( x ?

?

) ? cos( x ? ) , x ? (0, ? ) ;② g ( x) ? ln x ? e x , x ??1, 2? ; 4 4

?

? ?2 x , ? 1 ? x ? 0 ? ③ h( x) ? x ? 3x , x ??1,2? ;④ ? ( x ) ? ?log ( x ? 1) ? 1 , 0 ? x ? 1 ,其中,“单通道函数”有 1 ? ? 2
3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.在答题卷相应题 目的答题区域内作答. 17. 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? (Ⅰ)求

a sin C . 2

1 1 ? 的值; tan A tan C

(Ⅱ)求 tan B 的最大值.

18. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按 分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20 ) ,给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择 一道题进行解答.统计发现选做代数题的男同学和选做几何题的女同学均为 8 人. (1)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 ? 7 分钟,乙每次解答一道几何题所用的时 间在 6 ? 8 分钟,现甲、乙各解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率; (2)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被 抽到的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? X ? .

19. ?ABC 为等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , ?ACB ? 90 , D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点,现 将 ?ADE 沿 DE 折起,使面 ADE ? 面 DEBC , H 、 F 分别是边 AD 和 BE 的中点,平面 BCH 与 AE 、 AF 分别交于 I 、 G 两点. (Ⅰ)求证: IH // BC ; (Ⅱ)求二面角 A ? GI ? C 的余弦值;
?

2 y2 20 . 已 知 椭 圆 E : x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 不 经 过 原 点 O 的 直 线 a b

l : y ? kx ? m( k ? 0) 与 椭 圆 E 相 交 于 不 同 的 两 点 A 、 B , 直 线
3

OA, AB, OB 的斜率依次构成等比数列.
(Ⅰ)求 a, b, k 的关系式; (Ⅱ)若离心率 e ?

1 1 ,求椭圆焦距的最小值. 且 AB ? 7 m ? m 2

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ( m 为常数). (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)当 m ?

3 2 时,设 g ( x) ? 2 f ( x) ? x 2 的两个极值点 x1 , x2 , ( x1 ? x2 )恰为 h( x) ? ln x ? cx2 ? bx 2 ? x1 ? x2 ? ? 的最小值. ? 2 ?

的零点,求 y ? ( x1 ? x2 )h' ?

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲:

如图,在?ABC和?ACD中,?ACB ? ?ADC ? 900 , ?BAC ? ?CAD,
圆 O 是以 AB 为直径的圆,延长 AB 与 DC 交于 E 点. (Ⅰ)求证: DC 是圆 O 的切线; (Ⅱ) 若EB ? 6, EC ? 6 2 ,求 BC 的长. 23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程:

D

C

E

B

O

A

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 已知直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? 3? 1t ? 2 ?
标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ?? ? (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P?x, y ?是直线 l 与圆面 ? ? 4 sin ?? ?

? ?

??

?. 6?

? ?

??

? 的公共点,求 3x ? y 的取值范围. 6?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2
x ? a ? x ?b



(Ⅰ)当 a ? 0, b ? ? (Ⅱ)若 f ( x ) ?

1 时,求使 f ( x ) ? 2 的 x 取值范围; 2

1 恒成立,求 a ? b 的取值范围. 16

4

江西省临川一中 2016 届高考模拟考试 数学(理科)试卷参考答案 一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B 9 D 10 A 11 D 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

5 7

14.17

15.

x2 y 2 ? ?1 8 2

1○ 3○ 4 16. ○

三、解答题(共 70 分)

a b a sin B ? ,? b ? , (写出上述两个等式中的任何一个即给 1 分) sin A sin B sin A a 2a sin B ? b ? sin C ,? ? a sin C.? 2sin B ? sin A sin C 2 sin A
17. (Ⅰ)?

? A ? B ? C ? ? ,sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C,
? 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C ,?
? 1 1 1 ? ? . tan A tan C 2
??6 分

2 2 ? ? 1, tan A tan C

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

2 2 1 ? ? 1 ,即 tan A ? tan C ? tan A tan C tan A tan C 2

? ?ABC 为锐角三角形,? tan A, tan C 均为正数,

? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ,当且仅当 tan A ? tan C ?

1 时等号成立 4

1 ? tan A tan C ? 2 tan A tan C ,? tan A tan C ? 16 , 2 1 当且仅当 tan A ? tan C ? 时等号成立 (有基本不等式的式子出现即给 2 分) 4

1 tan A tan C tan A ? tan C 1? 1 ? ? tan B ? ? 2 ? ? ? 1? 1 ? tan A tan C tan A tan C ? 1 2 ? tan A tan C ? 1 ?
? tan B ? 8 8 ,即 tan B 的最大值为 15 15

18. (1)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x 、 y 分钟, 则基本事件满足的区域为 ?

?5 ? x ? 7 (如图所示) , ?6 ? y ? 8

设事件 ? 为“乙比甲先做完此道题” ,则满足的区域为 x ? y ,

1 ? 1? 1 1 1 ? ,即乙比甲先解答完的概率为 . ?由几何概型,得 ? ? ? ? ? 2 8 2? 2 8

??6 分
5

2 (2)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 ? 28 种,其中甲、乙两人没有 2 1 2 一个人被抽到有 C6 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C1 2 ? C6 ? 12 种;两人都被抽到有 C2 ? 1 种.

? ? 可能取值为 0 ,1 , 2 , ? ? ? ? 0 ? ?
? 的分布列为:

15 12 3 1 ? , ? ? ? ? 2? ? , ? ? ? ? 1? ? . 28 28 7 28

? ? ??? ? 0?

15 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? . 28 7 28 2

??12 分

19. (Ⅰ)因为 D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点,所以 ED // BC ,因为 BC ? 平面 BCH , ED ? 平 面 BCH ,所以 ED // 平面 BCH 因为 ED ? 平面 BCH , ED ? 平面 AED ,平面 BCH ? 平 面 AED ? HI 所以 ED // HI 又因为 ED // BC ,所以 IH // BC . (Ⅱ) 如图,建立空间右手直角坐标系,由题意得,

D(0,0,0) ,E (2,0,0) ,A(0,0,2) ,F (3,1,0) ,E (0,2,0) ,H (0,0,1) ,
EA ? (?2,0,2) , EF ? (1,1,0) , CH ? (0,?2,1) , HI ?
1 DE ? (1,0,0) , 2

? EA ? n1 ? 0 , 设 平 面 AGI 的 一 个 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ? ? ? EB ? n1 ? 0

? ?? x1 ? z1 ? 0 ,令 z1 ? ? ? x1 ? y1 ? 0

? 1 ,解得 x1 ? 1 , y1 ? ?1 ,则 n1 ? (1,?1,1) 设

平面 CHI 的一个 法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

? ?CH ? n2 ? 0 ? ?? 2 y1 ? z 2 ? 0 ,? ,令 z 2 ? ?2 ,解得 y1 ? ?1 ,则 n2 ? (0,?1,?2) ? ? ? ?HI ? n2 ? 0 ? x2 ? 0
cos ? n1 , n2 ??
20. (Ⅰ)设

1? 2 3? 5

?

15 15 ,所以二面角 A ? GI ? C 的余弦值为 15 15

2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意得 k ? kOA ? kOB ?

y1 y2 x1 x2

??????1 分

? x2 y 2 2 ?1 ? ? 由 ? a 2 b2 可得 (b ? y ? kx ? m ?

? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0

??3 分

? x2 y 2 ?1 ? ? (联立 ? a 2 b 2 方程就给 1 分) ? y ? kx ? m ?
6

故?

? (2a 2 km) 2 ? 4(b 2 ? a 2 k 2 )(a 2 m 2 ? a 2b 2 ) ? 0

,即 b

2

? m2 ? a 2 k 2 ? 0

? x ? x ? ? 2a 2 km 2 ? 1 (b 2 ? a 2 k 2 ) ? ? 2 2 2 2 ? x ? x2 ? a m ? a b 1 ? (b 2 ? a 2 k 2 ) ?
2



k2 ?

y1 y2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? x1 x2 x1 x2

2a 2 k 2 m 2 ? m 2 ? 0 ? 即 km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 , (b 2 ? a 2 k 2 )
所以 b
2

又直线不经过原点,所以 m

?0

? a2k 2

即 b ? ak

????6 分

(Ⅱ)若 e ?

1 3 3 2 ,则 a ? 2c, b ? 3c , k ? ,又 k ? 0 ,得 k ? ??7 分 2 4 2

? 2a 2 km ? ? 2 3m x ? x ? ? 2 ? 1 3 (b 2 ? a 2 k 2 ) ? ? 2 2 2 2 ? x ? x ? a m ? a b ? 2 m 2 ? 2c 2 2 1 ? (b 2 ? a 2 k 2 ) 3 ?

??9 分

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

7 7 2 3m 2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? (? ) ? 4( m 2 ? 2c 2 ) 2 2 3 3
2 4m 2 ? 1 ? 2 ? 4 3 ? 2 2 c ? 化简得 ( ? ? 0 恒成立) 3 3 m2

2 ? 7 ? 4m ? 8c 2 ? 7 m ? 1 2 3 m

故 当m??

4

12 2

时,焦距最小为 4 3 ? 2

3

??12 分

1 1 ? mx ?m ? ,x ? 0, x x 1 1 当 m ? 0 时,由 1 ? m ? 0 解得 x ? ,即当 0 ? x ? 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, m m 1 1 由 1 ? mx ? 0 解得 x ? ,即当 x ? 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. m m 1 ' 当 m ? 0 时, f ( x) ? ? 0 ,即 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; x
' 21(Ⅰ) f ( x) ?

当 m ? 0 时, 1 ? mx ? 0 ,故 f ( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.
'

所以,当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 1 ) ,单调递减区间为 ( , ?? ) ; m m

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) .

7

2( x 2 ? mx ? 1) (Ⅱ) g ( x) ? 2 f ( x) ? x ? 2ln x ? 2mx ? x ,则 g ( x) ? , x
2 2
'

所以 g ' ( x) 的两根 x1 , x2 即为方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两根. 因为 m ?

3 2 ,所以 ? ? m2 ? 4 ? 0 , x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? 1 . 2

2 2 又因为 x1 , x2 为 h( x) ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,所以 ln x1 ? cx1 ? bx1 ? 0 , ln x2 ? cx2 ? bx2 ? 0 ,

x1 x2 x 两式相减得 ln 1 ? c( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? 0 ,得 b ? ? c( x1 ? x2 ) , x1 ? x2 x2 ln
而 h ( x) ?
'

1 2 ? 2cx ? b ,所以 y ? ( x1 ? x2 )[ ? c( x1 ? x2 ) ? b] x x1 ? x2

x1 x1 ?1 2 ? x1 ? x2 ? x1 x2 x x2 2 ? ln ? 2 ? ? ln 1 , ? ( x1 ? x2 )[ ? c( x1 ? x2 ) ? ? c( x1 ? x2 )] ? x x1 ? x2 x2 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 1 ?1 x2

ln



x1 2 ? t (0 ? t ? 1) ,由 ( x1 ? x2 )2 ? m2 得 x12 ? x2 ? 2x1x2 ? m2 , x2
1 t

2 因为 x1 x2 ? 1 ,两边同时除以 x1 x2 ,得 t ? ? 2 ? m ,

因为 m ?

1 5 1 1 3 2 ,故 t ? ? ,解得 t ? 或 t ? 2 ,所以 0 ? t ? . t 2 2 2 2

设 G ? x? ? 2 ?

?(t ? 1)2 1 t ?1 ? ln t ,所以 G ' (t ) ? ? 0 ,则 y ? G (t ) 在 (0, ] 上是减函数, 2 t ?1 t (t ? 1)

x ?x 1 2 2 ? ln 2 即 y ? ( x1 ? x2 )h ' ( 1 2 ) 的最小值为 ? ? ln 2 . 2 3 2 3 ? 22、 (Ⅰ)? AB是 ? O的直径, ?ACB ? 90 ,?点C在 ? O上 连接OC, 可得?OCA ? ?OAC ? ?DAC ,? OC∥AD , 又? AD ? DC,? DC ? OC ?OC为半径,? DC是 ? O 的切线;?????????????????5 分
所以 G (t ) min ? G ( ) ? ? (Ⅱ)? DC是 ? O的切线,? EC ? EB? EA
2

又 ? EB ? 6, EC ? 6 2,? EA ? 12, AB ? 6 又 ? ?ECB ? ?EAC , ?CEB ? ?AEC ,??ECB∽?EAC ? BC EC 2 ? ? ,即AC ? 2 BC, AC EA 2 又? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ? 36,? BC ? 2 3. ?????? ???????10 分
8

23. (本题满分 10 分) 23、 解: (1) 因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) , 所以 ? 2 ? 4 ? sin(? ? ) ? 4 ? ( sin ? ? cos ? ) , 6 6 2 2 又

?

?

3

1

? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所 以 x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 2 x , 所 以 圆 C 的 普 通 方 程

x 2 ? y 2 ?2 x ? 2 3 y ? 0
(2)直线 l 的参数方程化成普通方程为: x ? 3 y ? 2 . 由?

? ?x ? 3 y ? 2 ,解得 P 1 (?1 ? 3, 3 ? 1) , P 2 (?1 ? 3, 3 ? 1) ∵ P( x, y ) 是直线 l 与圆面 2 2 ? ( x ? 1 ) ? ( y ? 3 ) ? 4 ?
?
6 )的公共点,∴点 P 在线段 P 1 P2 上,∴ 3x ? y 的最大值是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? 2 ,

? ? 4sin(? ?

最小值是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? ?2 ,∴ 3x ? y 的取值范围是 [?2,2] . 24. (本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由于 y ? 2x 是增函数, f ( x ) ? 当x?

2 等价于 x ? x ?

1 1 ? 2 2



1 1 1 时, x ? x ? ? ,则①式恒成立, 2 2 2 1 1 1 当 0 ? x ? 时, x ? x ? ? 2 x ? ,①式化为 2 x ? 1 ,此时①式无解, 2 2 2 1 1 当 x ? 0 时, x ? x ? ? ? ,①式无解 . 2 2 ?1 ? 综上, x 取值范围是 ? , ?? ? ?????????????????? 5 分 ?2 ? 1 ?| x ? a | ? | x ? b |? ?4 (Ⅱ) f ( x) ? ② 16 而由 | x ? a | ? | x ? b | ?| x ? a ? x ? b |?| a ? b | ? ? | a ? b |?| x ? a | ? | x ? b |?| a ? b | ∴要②恒成立,只需 ? | a ? b |? ?4 ,即 | a ? b |? 4 ,
可得 a ? b 的取值范围是 ? ?4, 4? . ????????????????10 分

9


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