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福建省宁德市2009年普通高中毕业班质量检查文科数学试题2009.5


福建省宁德市 2009 年普通高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时,将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试

题卷上答题无效。 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳酸笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面的清楚,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式:

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 球的表面积、体积公式: S ? 4? r 2 , V ? ? r ,其中 r 为球的半径。 3
锥体的体积公式: V ?

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知集合 A ? x x ? 2 , B ? x x ? x ? 2 ? ? 0 ,则 A ? B ? A.

?

?

?

?

? x 0 ? x ? 2?

B.

? x x ? 0?

C.

? x x ? 0?

D. R

2. 为 i 虚数单位,则复数 z ? i ?1 ? i ? 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知命题 P :?x ? 1,lg x ? 0 ,则下列命题正确的是 A. ?P : ?x ? 1, lg x ? 0 B. C. D.

?P : ?x ? 1,lg x ? 0 ?P : ?x ? 1, lg x ? 0 ?P : ?x ? 1,lg x ? 0
时 , D. 1 或-2

4. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 输入的 x 的值为 A. 1 B. -2 C. 1 或-1 5. 函数 f ? x ? ? log2 x ?1 的图像大致是

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6. 在平面直角坐标系中有四个点; A ? 0, 0 ?、B ? 2, 0 ?、C ?1, ?、D ? 3, 2? ,若向 ?ABD 内随机投 掷一质点,则它落在 ?ACB 内的概率为 A.

? 1? ? 2?

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 7. 不等式组 ? x ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?0 ? y ? 1, ?
A.

3 4
2

B. 1

C.

3 2

D. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 8. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 6 3
A. 3 B. 6 C.

3

D.

2 3

9. 已知 ?、? 是不重合的平面, m、n 是不重合的直线,则下列命题正确的是 A. 若 m // ? , n // ? , 则 m // n C. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? 10. 设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? 图所示,则函数 f ? x ? 的解析式为 B. 若 m ? n, n ? ? , 则 m // ?

D. 若? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n

? ?

??

? 的部分图像如 2?

A.

? ? ? f ? x ? ? sin ? x ? ? 12 ? ?
?? ? f ? x ? ? sin ? 4 x ? ? 3? ?
x

B.

?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 6? ? ?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 6? ?

C.

D.

11. 函数 f ? x ? ? e ? ex 的零点个数为 A. 4 B. 3 C.2
第 2 页 共 10 页

D. 1

12. 已知函数 f ? x ? ? ?x ? 2x ,对于正实数 a , b ,有下列四个不等式:
2

① f?

? a?b ? ?? f ? 2 ? ? ?

?

? a 2 ? b2 ? ab ;② f ? ? ? f ? 2 ? ;③ ? ab ?

?

? ab ? ?1? f? ?? f ? ?; ? a?b? ?2? ? ?

④ f ? ?a ?

1? ? ? f ? ?2 ? 。其中一定成立的不等式是 a?
B. ①④ C. ②③ D. ②④

A. ①③

第 II 卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填写在答题卡的相应位置。
2 13. 直线 3x ? y ? 0 被圆 ? x ? 1? ? y ? 1 截得的弦长为 2

14. 某校为了解教师使用多媒体进行教学的情况,随机抽取 20 名 授课教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果 如茎叶图所示。据此可估计该校上学期教师使用多媒体进行教学 的次数在 15,25? 内的概率为

?

15. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , 且 cos B ?

3 , b sin A ? 4 ,则边长 a ? 5

? 16. 定 义在 N 上 的 函 数 f ? x ? 表 示

x 的 个 位 数, 例 如 f ?5? ? 5, f ? ? 28? ? 8 。 数 列 ?an ? 中 ,

a1 ? 2, a2 ? 3 ,当 n ? 1 时, an?2 ? f ? an ? an?1 ? 则 a2009 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? cos x,sin x ? , b ? (cos x,cos) ,函数 f ? x ? ? 2a ? b ?1 (I) (II) 求函数 f ? x ? 的解析式; 求函数 f ? x ? 的最小正周期和最大值,并写出使函数取最大值时 x 的集合。

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18. (本小题满分 12 分) 一个多面体的直观图与三视图如图所示, P、G 分别是 AF、CB 中点 (I) 求此多面体的体积; (II) 求证: PG // 平面ACE

19. (本大题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 2,点 ? an , an?1 ? 在函数 y ? x ? 2 的图像上 (I) 求数列 ?an ? 的通项公式; 设数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ,求

(II)

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值。 S1 S2 S3 Sn

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20.

(本大题满分 12 分)

为了解某校学生数学竞赛的成绩分布,从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘成频率分布直方图,从左到右各小组的小长方形的 高之比为 1:2:2:20:5,最右边一组的频数是 20,请结 合直方图的信息,解答下列问题; (I) (II) 样本容量是多少? 现用分层抽样的方程在该样本中抽取 30 个学 生的成绩作进一步调查, 问成绩在 120 分到 150 分的学生有几个? (III) 已知成绩在 120 分到 150 分的学生中,至少有 5 个是男生,求成绩在 120 分到 150 分的学生 中,男生比女生多的概率。

21.

(本大题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? (I) (II)

1 2 ax ? Inx 2

若函数 f ? x ? 的图像在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? y ? 5 ? 0 平行,求实数 a 的值; 求函数 f ? x ? 的单调递增区间。

?

?

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22.

(本大题满分 14 分)

已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 1,离心率 e ? 直线 l : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q (I) (II) (III) 求椭圆 E 的方程; 求线段 PQ 的垂直平分线在 y 轴上的截距的取值范围;

1 , 2

试问: x 轴上是否存在一个定点 M , M M 为定值?若存在, 在 使 P ?Q 求出这个定点 M 的 坐标;若不存在,请说明理由。

?? ?? ? ? ? ?

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2009 年宁德市高三质检查 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细 则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分。 1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分。 13.1 14.

3 10

15.5

16.8

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.本题主要考查平面向量的数量积,两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,三角函数的图象 与性质等基础知识;考查运算求解能力,满分 12 分。 解: (I) f ( x) ? 2a ? b ? 1

? 2(cos x,sin x) ? (cos x, cos x) ? 1 ? 2(cos 2 x ? sin x cos x) ? 1 ? 2 cos 2 x ? 1 ? 2sin x cos x
………………………………………2 分

? cos 2 x ? sin 2 x 即函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2x · · · · · · · · · · ·· · · · · 4 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · ·········· ····· ? (Ⅱ) f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) · · · · · · · · · · ·· · · · · ·6 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · ·········· ····· 4 2? ? ? ································· 分 所以函数 f ( x ) 最小正周期 T ? ················ 8 ················ 2 ? ? ? 当 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ), 即 x ? k? ? (k ? Z ) 时 4 2 8 ······················· ······················· f ( x) 取最大值 2 , ··············································10 分 ? ·········· ·········· ?使函数取最大值的 x 的集合为 {x | x ? k? ? , k ? Z } ····················12 分 8
18.本题主要考查空间几何体的直观图、三视图,空间线面的位置关系等基础知识;考察空间想象 能力及推理论证能力,满分 12 分。 解(I)由三视图知这个多面体是一个水平放置的柱体,它的底面是边长为 a 的正三角形,侧棱垂直 于底面且长为 a · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· ·2 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · ·········· ·········· ·········· ·

3 2 a ·················································· 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 ························ 4 3 3 ?V ? S?AED ? AB ? a ··········································· 分 ····················· 5 ····················· 4 ? S?AED ?
(Ⅱ)连结 BE ? 四边形 ABFE 是平行四边形,
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? BE 过点 P 。 ? P 为 BE 的中点,………………………………………8 分 又 G 是 BC 的中点, ? PG // EC , ? PG ? 平面 AEC, EC ? 平面 AEC ? PG // 平面 AEC …………………………………………12 分
19.本题主要考等差数列、数列求和等基础知识:考查推理论证与运算求解能力;考查化归与转化 思想,满分 12 分。 解(I)? 点 (an , an ?1 ) 在函数 y ? x ? 2 的图象上,

? an?1 ? an ? 2 ············· ············ ?数列 {an } 是以首项为 2 公差为 2 的等差数列, ·························2 分 ······················ ······················ ? an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ············································4 分 (2 ? 2)n (Ⅱ) Sn ? ··················· ··················· ? n(n ? 1) ······································6 分 2 1 1 1 1 ,· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · 8 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · ·········· ·········· ······ ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ········ ······· ? ? ? ?…? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) ···············10 分 S1 S2 S3 Sn 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·12 ·········· ·········· ·········· n ?1 n ?1
20.本题主要考查概率与统计的基础知识,考查运算求解能力及应用意识。 满分 12 分。 解: (I)设样本容量为 n ,则

n 20 ? ,所以 n ? 120 1 ? 2 ? 2 ? 20 ? 5 5

所以样本的容量为 120· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · 3 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·········· ·········· ········· (Ⅱ)设成绩在 120 分到 150 分的学生有 x 个, 则

x 30 ? ,所以 x ? 5 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · 3 ·········· ·········· ······· 20 120

(Ⅲ)设成绩在 120 分到 150 分的学生中,男生比女生多的事件记为 A,男生数与女生书记为数对 ( x, y ) ,则基本事件有: (5,15)(6,14)(7,13)(8,12)(9,11) , , , , , (10,10)(11,9)(12,8)(13,7)(14,6)(15,5)(16,4)(17,3) , , , , , , , , (18,2)(19,1)(20,0) , , ,共 16 对· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·9 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · ·········· ·········· 而事件 A 包含的事件有: (11,9)(12,8)(13,7)(14,6)(15,5)(16,4) , , , , , , (17,3)(18,2)(19,1)(20,0)共 10 对。 , , , 所以 P ( A) ?

10 5 ? ···············································12 分 ························ ······················· 16 8 1 2 ax ? ln x( x ? 0) 2

21.本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查运算求解能力及数形结合思想。满分 12 分。 解: (I) f ( x) ?

f '( x) ? ax ?

1 ························· 2 ························· x ··················································· 分

f '(1) ? a ? 1 依题意得 a ? 1 ? ?1, a ? ?2 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · 4 ·········· ·········· ······

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1 ax 2 ? 1 ? x x ················ 6 ················ ? x ? 0,? f '( x) ? 0 等价于 ax 2 ? 1 ? 0 ································· 分 2 ①当 a ? 0 时 ax ? 1 ? 0 恒成立, ·················· 8 ·················· ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ····································· 分
(Ⅱ) f '( x) ? ax ? ②当 a ? 0 时,由 ax 2 ? 1 ? 0 得

?a ?a ?x?? a a

? x ? 0,? 0 ? x ? ?

?a a

?a · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 ················ ] ·································· 分 a 综上所述:当 a ? 0 时 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;
? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ?
当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?

?a ············· ············ ] ·························12 分 a

22.本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力及化归与转化思想。满分 14 分。 解: (I)设椭圆 E 的方程为 由已知得:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b) a 2 b2

?a ? c ? 1 ? ··························· 2 ··························· ? c 1 ······················································· 分 ?a ? 2 ? ?a ? 2 ?? ?c ? 1 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 x2 y 2 ? 1 ······································· 分 ··················· 4 ··················· ?椭圆 E 的方程为 ? 4 3 (Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,线段 PQ 中点 T 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则: ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 得 3x2 ? 4k 2 ( x ?1)2 ? 12 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
化简得:

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ?12) ? 0 ……5 分 ? 直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 过点 (1, 0) 而点 (1, 0) 在椭圆 E 内,?? ? 0
8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · ·6 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · ·········· ·········· ·· 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ?3k ? x0 ? 2 , y0 ? 2 4k ? 3 4k ? 3 1 4k 2 3k )? 2 所以 PQ 中垂直 l ' 的方程为: y ? ? ( x ? 2 k 4k ? 3 4k ? 3 x1 ? x2 ?
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所以直线 l ' 在 y 轴上的截距 b ?

k 4k ? 3
2

?

1 3 4k ? k

· · · · · · · · · · ·· · · · · · 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · 8 ·········· ·····

3 3 ? 4 3, 4k ? ? ?4 3 k k · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · 9 ·········· ·········· ··· 3 3 ?0 ? b ? 或? ?b?0 12 12 (Ⅲ)假设存在符号条件的点 M (m, 0) ,则由(Ⅱ)得: ???? ???? ? MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x2 ? m, y2 ) ???? ???? ? MP ? MQ ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? y1 y2 ? 4k ?
· · · · · · · · · · · · · · · 10 ··············· ? x1x 2 ? m( x 1 x )2? m2 ? y y1 ······························· 分 ? 2

9k 2 ··········· 分 · · · · · · · · · · 11 ·········· y1 y2 ? k ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k [ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ? ? 2 4k ? 3 ???? ???? 4k 2 ? 12 ? 8k 2 9k 2 所以 MP ? MQ ? ? m? 2 ? m2 ? 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 2 2 2 ( 4 ? 8 ? 5 ) ? m 3? m m k ( 12) · · · · · · · · · · ·· · · · · · ·12 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · ·········· ······ ? 2 4k ? 3 ???? ???? ? 设 MP ? MQ ? ?
2 2

(4m2 ? 8m ? 5)k 2 ? (3m2 ? 12) ?? 4k 2 ? 3 (4m2 ? 8m ? 5)k 2 ? (3m2 ?12) ? 4?k 2 ? 3? 对于任意实数 k (k ? 0) ,上式恒成立,
即 所以 ?

? 4m 2 ? 8m ? 5 ? 4? ? · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · 13 ·········· ·········· ······· 2 ?3m ? 12 ? 3? ?

11 ? ?m ? 8 ? 得? ?? ? ? 135 ? 64 ?
所以符合条件的点 M 存在,其坐标为 (

11 , 0) ···························· 分 · · · · · · · · · · · · · ·14 ············· 8

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