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刘鸿文版材料力学课件全套2

时间:2012-12-17


§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.

解:

(1)计算外力偶矩 由公式

M e ? 9549P / n

> §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

(2)计算扭矩

(3) 扭矩图

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB

MC

MD

MA

B

C

D

A

T3 ? M A ? ?1432N ? m

T3

MA

Tmax ? 1432N ? m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同,轴所承 受的最大扭矩也 不同。

A

318N.m 795N.m 1432N.m

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆 周线划分;两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩。

观察到:
圆周线大小形状不变,各圆周线间距 离不变;纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行,只是倾斜了一个角度。

结果说明横截面上没有正应力

§3.3 纯剪切
采用截面法将圆筒截开,横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄,可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。

二、切应力互等定理

由平衡方程

Me ? 2? r? ?? ? r

,得 ?M ? 0
z

Me ?? 2? r 2 ?

? ??'

§3.3 纯剪切
切应力互等定理:

纯剪切

在相互垂直 的两个平面上, 切应力必然成对 存在,且数值相 等;两者都垂直 于两个平面的交 线,方向则共同 指向或共同背离 这一交线。

各个截面上只有切应 力没有正应力的情况称为 纯剪切

§3.3 纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律
?

在切应力的作用下, τ 单元体的直角将发生微小 的改变,这个改变量? 称 G — 剪切弹性模量(GN/m2) 为切应变。 各向同性材料, 当切应力不超过材料 三个弹性常数之间的 的剪切比例极限时,切应 关系: 变?与切应力τ成正比, E 这个关系称为剪切胡克定 G? 律。

? ? G?

2(1 ? ? )

§3.4 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系
观察变形: 圆周线长度形状不变,各圆周线间 距离不变,只是绕轴线转了一个微小角 度;纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行,只是倾斜了一个微小角度。

Me

p q

Me

x p q

Me

p q

Me

?
圆轴扭转的平面假设:
p q

x

圆轴扭转变形前原为平面的横截面,变形后仍 保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线; 且相邻两截面间的距离不变。

§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
p q

Me

? _扭转角(rad)

?
p p
d
?

x

d? _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离:

q q

aa ? Rd? ? ? dx
'

a

d?
O

边缘上a点的切应变:

c p

a' b
b′

R
q

d? ? ?R dx
? 发生在垂直于半径的平面内。

dx

§3.4 圆轴扭转时的应力
p
d
?

d?

q

R

?

??? ?
?d ?

a e

d?

c p

O a ' e′ b

b′

R
q

dx
距圆心为?的圆周上e点的错动距离: 距圆心为?处的切应变:

dx

d? dx

—扭转角

沿x轴的变化率。 ?

d? ?? ? ? dx

cc ? ? d? ? ? ? dx
'

? ? 也发生在垂直于
半径的平面内。

§3.4 圆轴扭转时的应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律

距圆心为? 处的切应力:

?? ? ?
横截面上任意点的切应力

? ? 垂直于半径
与该点到圆心的距离 ?

d? ? ? ? G? ? ? G ? dx
成正比。

? ? G?

?

?

??

??

§3.4 圆轴扭转时的应力
3.静力关系
T ? ? ?? ? dA
A

T ? ? ?? ? dA ?
A

d? G dx

?

A

? 2 dA

Ip ?

?

A

Ip ? dA
2

横截面对形心的极惯性矩

d? T ? GI p dx

d? ? ? ? G? dx

T ?? ? ? Ip

§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于: 1)圆杆 2)

? max ? ? p

横截面上某点的切应力的方向与扭 矩方向相同,并垂直于半径。切应力的 大小与其和圆心的距离成正比。

? max


T ? Wt

Wt ?

Ip R

抗扭截面系数

在圆截面边缘上, 有最大切应力

§3.4 圆轴扭转时的应力 T? I p与 Wt 的计算 ?? ? Ip 实心轴

? max

T ? Wt

Wt ? I p / R
1 ? ? D3 16

§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴

则 令

Wt ? I p /( D / 2)

§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比

Wt ? I p / R ?

1 ? D3 16

Wt ? I p /( D / 2)

§3.4 圆轴扭转时的应力 扭转强度条件:
1.

? max

Tmax ? ? ?? ? Wt
2.

等截面圆轴:

阶梯形圆轴:

? max

Tmax ? Wt

? max

Tmax ?( )max Wt

§3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件的应用
(1)校核强度

? max

? max

Tmax ? ? ?? ? Wt Tmax ? ? ?? ? Wt
Tmax

(2)设计截面

Wt ?

?? ?

(3)确定载荷

Tmax ? Wt ?? ?

§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴,外径 D=89mm、壁厚?=2.5mm,材料为20号钢,使用 时的最大扭矩T=1930N· ,[?]=70MPa.校核此轴 m 的强度。

解:(1)计算抗扭截面模量

d ? 0.945 D Wt ? 0.2 D3 (1 ? ? 4 ) ? 0.2 ? 8.93 (1 ? 0.9454 ) ? 29 cm3

??

(2) 强度校核

? max

T 1930 6 ? ? ? 66.7 ?10 Pa ?6 Wt 29 ?10 ? 66.7MPa ? [? ] ? 70MPa
满足强度要求

§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴,要求 它与原来的空心轴强度相同,试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。

解:当实心轴和空心轴的最大应力同 为[?]时,两轴的许可扭矩分别为

T1 ? Wt [? ] ?
T2 ?

?
?
16

D13 [? ]

?
16

D (1 ? ? )[? ] ?
3 4

16

(90)3 (1 ? 0.9444 )[? ]

若两轴强度相等,则T1=T2 ,于是有

D ? (90) (1 ? 0.944 )
3 1 3 4

D1 ? 53.1mm ? 0.0531m

§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空心轴横截面面积为

A1 ?

? D12
4

?

? (0.0531) 2
4

? 22.2 ?10?4 m2

A2 ?

?
4

(D ? d ) ?
2 2

?
4

[(90 ?10?3 ) 2 ? (85 ?10?3 ) 2 ] ? 6.87 ?10?4 m2

在两轴长度相等,材料相同的情况下,两轴重量之比等于横截面面 积之比。

A2 6.87 ?10?4 ? ? 0.31 ?4 A1 22.2 ?10
可见在载荷相同的条件下,空心轴的重量仅为实心轴的31% 。

§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4 已知:P=7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度相同。

求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2;确 定二轴的重量之比。 解: 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩

P 7.5 M x ? T ? 9549 ? ? 9549 ? ? 716.2N ? m n 100 T 16T 实心轴 ? max1 ? ? 3 ? 40MPa WP1 πd1

16 ? 716.2 d1 ? ? 0.045m=45mm 6 π ? 40 ?10
3

§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴

? max2

T 16T ? ? ? 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1 ? ?

?

?

16 ? 716.2 D2 ? 3 ? 0.046m=46mm 4 6 π 1-? ? 40 ?10

?

?

d2=0.5D2=23 mm

确定实心轴与空心轴的重量之比 实心轴 空心轴

d1=45 mm
2 1

D2=46 mm
?3 2

d2=23 mm

长度相同的情形下,二轴的重量之比即为横截面面积之比:

A1 d 1 ? 45 ? 10 ? ? 2 ?? = .28 1 ? ? 2 ?3 2 A2 D2 ?1 ? ? ? ? 46 ? 10 ? 1 ? 0.5

§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.5 已知:输入功率P1=14kW,P2= P3=P1/2, n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[?]=30MPa。.
3

求:各轴横截面上的最大切应力; 并校核各轴强度。 2、计算各轴的扭矩 解:1、计算各轴的功率与转速

T1=M1=1114 N ?m T2=M2=557 N?m

P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min

T3=M3=185.7 N ?m z1 ? 36 ? n3=n1 ? =?120? ?r/min=360r/min z3 ? 12 ?

§3.4 圆轴扭转时的应力
3

3、计算各轴的横截面上的 最大切应力;校核各轴 强度

T1 ? 16 ?1114 ? ? max ? E ? ? ?? Pa ? 16.54MPa 3 -9 ? Wt1 ? π ? 70 ?10 ? T2 ? 16 ? 557 ? ? max ? H ? ? ?? Pa ? 22.69MPa 3 -9 ? Wt 2 ? π ? 50 ?10 ? T3 ? 16 ?185.7 ? ? max ? C ? ? ?? Pa ? 21.98MPa 3 -9 ? Wt 3 ? π ? 35 ?10 ?
满足强度要求。

§3.5

圆轴扭转时的变形

相对扭转角
n

抗扭刚度

Ti li ? ?? i ?1 GI Pi

§3.5

圆轴扭转时的变形

单位长度扭转角

d? T ? ? ? dx GI p T 180 ' ? ? ? GI p ?
'

rad/m

?/m

扭转刚度条件

? max ? [? ]
' '

[? ]许用单位扭转角
'

§3.5

圆轴扭转时的变形
?已知T 、D 和[τ],校核强度 ?已知T 和[τ],设计截面 ?已知D 和[τ],确定许可载荷

扭转强度条件 T ? max ? ? [? ] Wt 1 3 Wt ? ?D 16
扭转刚度条件 T ' ? max ? ? [? ' ] GI p

?已知T 、D 和[φ/],校核刚度 ?已知T 和[φ/],设计截面 ?已知D 和[φ/],确定许可载荷

Ip

1 4 ? ?D 32

§3.5
例题3.6

圆轴扭转时的变形

某传动轴所承受的扭矩T=200Nm,轴的直径d=40mm,材料的[τ]=40MPa, 剪切弹性模量G=80GPa,许可单位长度转角[φ/]=1 ?/m。试校核轴的强度和刚 度。

? max

T ? Wt

§3.5
例题3.7

圆轴扭转时的变形

传动轴的转速为n=500r/min,主动轮A 输入功率P1=400kW,从动轮C,B 分别输出功率P2=160kW,P3=240kW。已知[τ]=70MPa,[φˊ]=1°/m, G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2; (2)若AC 和BC 两段选同一直径,试确定直径d; (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?

d1
A
M e1

C
M e2

d2
B M e3

解:1.外力偶矩

P 400 1 T1 ? M e1 ? 9549 ? 9549 ? ? 7640 N ? m n 500 240 T2 ? M e 3 ? T1 ? 4580N ? m 400

§3.5
2.扭矩图

圆轴扭转时的变形
d1
A
M e1
?? ?
7640 N ? m 4580 N ? m

C
M e2

d2
B M e3

3.直径d1的选取

按强度条件

? max
3

16T ? ? ?? ? 3 ?d1
3

16T 16? 7640 d1 ? ? ? 82.2 ?10?3 m ? 82.2mm π[? ] π ? 70?106 32T 180? ? ? max ? ? ? ?? ?? 按刚度条件 4 G?d1 ?

32T ? 180 32 ? 7640? 180 d1 ? ? ? 86.4 ? 10?3 m ? 86.4mm Gπ 2 ? [? ?] 80 ? 109 ? π 2 ? 1
4 4

d1 ? 86.4mm

§3.5

圆轴扭转时的变形
d1
A
3

4.直径d2的选取
按强度条件
3

C
M e2
?? ?

d2
B M e3

d2 ?

16T 16? 4580 ? π[? ] π ? 70?106

M e1

? 69.3 ?10?3 m ? 69.3mm
按刚度条件

7640 N ? m

4580 N ? m

d2 ?

4

32T ? 180 32 ? 4580? 180 ? ? 76 ? 10?3 m ? 76mm Gπ 2 ? [? ?] 80 ? 109 ? π 2 ? 1
4

d 2 ? 76mm

5.选同一直径时

d ? d1 ? 86.4mm

§3.5

圆轴扭转时的变形
d1
A

C
M e2
?? ?

d2
B M e3

6.将主动轮安装在 两从动轮之间

M e1
7640 N ? m

4580 N ? m

d1
C
M e2

A
M e1

d2
B M e3

受力合理

?? ?

3060 N ? m

?? ?
4580 N ? m

§3.7 非圆截面杆扭转的概念
平面假设不成立。变形后横截面成为一个 凹凸不平的曲面,这种现象称为翘曲。

自由扭转 (截面翘曲不受约束)

约束扭转 (各截面翘曲不同)

§3.7 非圆截面杆扭转的概念

杆件扭转时,横截面上边缘各点的切应力 都与截面边界相切。

§3.7 非圆截面杆扭转的概念
开口/闭口薄壁杆件扭转比较

小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算,扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T? ?? IP

? max

T ? ? ?? ? Wt

4、圆轴扭转时的变形及刚度计算 T 180 Tl ?? ? ? ? ?? ?? ?? GI P ? GI P

第四章

弯曲内力

目录

第四章
§4-1 ? §4-2 ? §4-3 ? §4-4
?

弯曲内力

§4-5 ? §4-6
?

弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
目录

§4-1
起重机大梁

弯曲的概念和实例

目录

§4-1
车削工件

弯曲的概念和实例

目录

§4-1
火车轮轴

弯曲的概念和实例

目录

§4-1
弯曲特点

弯曲的概念和实例

以弯曲变形为主的杆件通常称为梁

目录

§4-1
平面弯曲

弯曲的概念和实例

对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该

平面曲线仍与外力共面。
目录

§4-1

弯曲的概念和实例

常见弯曲构件截面

目录

§4-2
梁的载荷与支座

受弯杆件的简化
?集中载荷 ?分布载荷 ?集中力偶

固定铰支座

活动铰支座

固定端
目录

§4-2

受弯杆件的简化

目录

§4-2
火车轮轴简化

受弯杆件的简化

目录

§4-2

受弯杆件的简化

目录

§4-2
吊车大梁简化

受弯杆件的简化

均匀分布载荷 简称均布载荷
目录

§4-2
非均匀分布载荷

受弯杆件的简化

目录

§4-2

受弯杆件的简化

静定梁的基本形式
FAx FAy FAx FBy

简支梁

外伸梁
FAy
FBy

FAx MA FAy
目录

悬臂梁

§4-3 剪力和弯矩

M FN FAy M FN

?F

x

?0

? FN ? 0

?F ? 0 ?M ? 0
y c

? FS ? FAy ? F1
? M ? FAy x ? F1 ( x ? a)

FS

FS剪力,平行于
横截面的内力合力

M 弯矩,垂直于
FBy 横截面的内力系的 合力偶矩
目录

FS

§4-3 剪力和弯矩
M FN FN FS FBy M

FAy

FS

截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时,剪力为正;反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正; 反之为负。

+

_

左上右下为正;反之为负

+
目录

_

左顺右逆为正;反之为负

§4-3 剪力和弯矩
例题4-1 解: 确定支反力 1. ? Fy ? 0 FAy ? FBy ? 2F FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy

FBy ? 3a ? Fa ? 2F ? a F 5F FBy ? FAy ? 3 3 F 5F ? Fy ? 0 2 F ? FSE ? 3 FSE ? ? 3 M O ? 0 2 F ? a ? M E ? 5F ? 3a ? 2 3 2 3Fa ME ? 2
FBy
目录

?M

A

?0

§4-3 剪力和弯矩
FSE O FAy ME 分析右段得到:
FBy ? F 5F FAy ? 3 3

FBy
O

ME FSE

?F
FBy

y

?0

FSE ? FBy ? 0

F FSE ? ? FBy ? ? 3 3a ? M o ? 0 M E ? FBy ? 2 ? Fa 3Fa ME ? 2
目录

§4-3 剪力和弯矩

F FBy ? 3

5F FAy ? 3

FAy FSE FAy 2F FSE

FBy 截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE ? ? 2F ? ? 3 3
目录

§4-3 剪力和弯矩

F FBy ? 3

5F FAy ? 3

FAy

FBy

ME
FAy 2F ME

截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
a 5 F 3a 3 ? 2F ? ME ? ? ? Fa 2 2 3 2
目录

§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
x q x
FS l

例题4-2

M ?x ?

悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程,并 画出剪力图和弯矩图。 解:任选一截面 x ,写出 剪力和弯矩方程
ql
FS ?x?=qx M ?x?=qx2 / 2
2

FS ?x ?

?? ?
x

?0 ? x ? l ? ?0 ? x ? l ?

M

ql2 / 8

?? ?

依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x

FS max=ql
目录

M max=ql2 / 2

§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F

a

b

A
FAY

x1

C x2
l

B
FBY

例题4-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力

? M =0, ? M =0
A B

FS

Fb / l

FAy=Fb/l

FBy=Fa/l

?? ? Fa / l
Fab / l

?? ?
?? ?

M

2.写出剪力和弯矩方程 = x AC FS ?x1 ? Fb / l ?0 ? x1 ? a? M ?x1 ?=Fbx1 / l ?0 ? x1 ? a ? FS ?x2 ?=? Fa / l ?a ? x2 ? l ? CB M ?x2 ?=Fa?l ? x2 ? / l ?a ? x2 ? l ?
x

3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
目录

§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
a
M

b

A
FAY

x1
M /l

C
l

x2

B
FBY

例题4-4 图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力

? M =0, ? M =0
A B

?? ?
Ma / l

FAy=M / l FBy= -M / l

AC

2.写出剪力和弯矩方程 FS ?x1 ? M / l ?0 ? x1 ? a ? =

?? ? ?? ?
Mb / l
CB

?0 ? x1 ? a? FS ?x2 ? M / l ?0 ? x2 ? b? = M ?x2 ? ? Mx2 / l ?0 ? x2 ? b? =
目录

M ?x1 ? Mx1 / l =

3. 依方程画出剪力图和弯矩图。

§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
y
q

例题4-5 简支梁受均布载荷作用
B
x

A x
FAY

C
l

试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力

FBY

? M =0, ? M =0
A B

FS ql / 2

?? ? ?? ?
M 3ql2 / 32 x

FAy= FBy= ql/2

2.写出剪力和弯矩方程

ql / 2

ql / 8

2

?? ?

3ql2 / 32
x

M ?x?=qlx / 2 ? qx2 / 2
目录

FS ?x?=ql / 2 ? qx ?0 ? x ? l ?

?0 ? x ? l ?

3.依方程画出剪力图和弯矩图。

平面刚架的内力
B
ql 2 2

例题4-6

y

ql
B FN(y) M(y) FS(y)
ql 2 2

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试:画出刚架的内力图。 解:1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 竖杆AB:A点向上为y

?F

FS ? y ? ? ql ? qy

q
ql 2
2

y

?0 ? y ? l ? ? Fy ? 0 FN ? y ? ? ql / 2 ? 0 FN ? y ? ? ql / 2 ?0 ? y ? l ?

x

?0

FS ? y ? ? qy ? ql ? 0

ql

? M ?y? ? 0

M ? y ? ? qy ? y / 2 ? qly ? 0

M ? y ? ? qly ? qy2 / 2

?0 ? y ? l ?
目录

平面刚架的内力
B

横杆CB:C点向左为x
x
y

ql 2 2

?F
?F

FN ?x ? ? 0
y

x

?0

?0 ? x ? l ?
FS ?x ? ? ql / 2 ? 0

ql
ql 2 2

?0

M(x) B FN(x) FS(x)

FS ?x ? ? ?ql / 2

?0 ? x ? l ?

x

ql 2 2

? M ?x ? ? 0

M ?x ? ? qlx / 2 ? 0

M ?x ? ? qlx / 2

?0 ? x ? l ?
目录

平面刚架的内力
B
ql 2 2

根据各段的内力方程画内力图 竖杆AB:
FN ? y ? ? ql / 2
ql

横杆CB:
FN ?x ? ? 0
FS ?x ? ? ?ql / 2

y

ql 2
ql 2

2

FS ? y ? ? ql ? qy M ? y ? ? qly ? qy2 / 2
ql 2 ql 2

M ?x ? ? qlx / 2
ql 2 2

- +

FN


ql

FS

M

ql 2

目录

§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

d 2 M ( x) dFs ( x) ? ? q( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系: 2 dx dx
目录

§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

d 2 M ( x) dFs ( x) ? ? q( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系: 2 dx dx

1. q=0,Fs=常数, 剪力图为水平直线; M(x) 为 x 的一次函数,弯矩图为斜直线。 2.q=常数,Fs(x) 为 x 的一次函数,剪力图为斜直线; M(x) 为 x 的二次函数,弯矩图为抛物线。 分布载荷向上(q > 0),抛物线呈凹形; 分布载荷向上(q < 0),抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs=0处,弯矩取极值。 4. 集中力作用处,剪力图突变;
集中力偶作用处,弯矩图突变
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§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

从左到右,向上(下)集中力作用处,剪力图向上(下) 突变,突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右,顺(逆)时针集中力偶作用处,弯矩图向上 (下)突变,突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没 有变化。 5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。 dFS dM ?q ? FS dM ? FSdx dFS ? qdx dx dx

? dF ? ?
a S

b

b

a

qdx
b a

? dM ? ?
a

b

b

a

FSdx
b a

FS ?b ? ? FS ?a ? ? A?q ?

M ?b ? ? M ?a ? ? A?FS ?
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§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法:
? 根据载荷及约束力的作用位置,确定控 制面。

? 应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。 ? 建立 F S 一x 和 M一x 坐标系,并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
? 应用平衡微分方程确定各段控制面之间 的剪力图和弯矩图的形状,进而画出剪力图 与弯矩图。
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§4-5
A
FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C

D

E

F
2kN

B
FBY

例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。

1.5m

1.5m

解:1.确定约束力 根据力矩平衡方程

? M =0, ? M =0
A B

求得A、B 二处的约束力 FAy=0.89 kN , FBy=1.11 kN 2.确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
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§4-5
A
0.89 kN= FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C

D

E

F
2kN

B

1.5m

1.5m

FS (kN)
O
0.89

1.11

3.建立坐标系 建立 F S -x 和 M-x F 坐标系 =1.11 kN
BY

(+) (-) x

M (kN.m)
O

4.应用截面法确定控 制面上的剪力和弯矩 值,并将其标在 F S - x 和 M-x 坐标 系中。 5.根据微分关系连图 线
目录

0.335 1.335

(-)

(-)
1.67

x

§4-5
A
FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C
1.5m

D
2kN
1.5m

B
FBY

解法2:1.确定约束力

FAy=0.89 kN FFy=1.11 kN
2.确定控制面为 A、C 、D、B两侧截面。 3.从 A 截面左测开始画 剪力图。

1.11

(+)
Fs( kN)
0.89

(-)

目录

§4-5
A
FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C
1.5m

D
2kN
1.5m

B
FBY

4.从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右

1.11

(+)
Fs( kN) 0.89 M( kN.m)

(-)
0.330

(-)
1.330

(-)
1.665

从D右到B左
从B左到B右
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§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C B
D

例题4-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。
解:1.确定约束力

4a
FAy FBy

a

qa

根据梁的整体平衡,由 求得A、B 二处的约束力 2.确定控制面

? M =0, ? M =0
A B

9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4

由于AB段上作用有连续分布载荷,故A、B两个截 面为控制面,约束力FBy右侧的截面,以及集中力qa 左侧的截面,也都是控制面。
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§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C
D

B

9 qa ? FAy 4 FS 9qa / 4
(+) O
9a / 4

4a FBy

a

qa

3 = qa 4
x

3.建立坐标系 建立 F S -x 和 M-x 坐标系 4.确定控制面上的 剪力值,并将其标 在FS-x中。

(-)

qa
2

M

81qa / 32

7qa / 4
qa2

(+) O

5.确定控制面上的 x 弯矩值,并将其标在 M-x中。
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§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
D

解法2:1.确定约束力
9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4

B

4a
FAy FBy

a

qa

9qa/4 Fs (+)

(-)
qa

2.确定控制面,即A 、B、D两侧截面。 3.从 A 截面左测开始画 剪力图。

7qa/4

目录

§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
D

B

4.求出剪力为零的点 到A的距离。 5.从A截面左测开始画弯 矩图

4a
FAy FBy

a

qa

9qa/4 Fs (+)
9a / 4

AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为
(-)
qa

7qa/4
81qa2/32 M
( +)

1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32
B点的弯矩为

qa2

-1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
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§4-5
MA
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
D
B

q
C

FAy a

a FBy

a

例题4-8 试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力
从铰处将梁截开
qa

qa qa/2 Fs
( +) ( +) MA FAy

FDy

q

qa/2
( -) ( -)

M

qa2/2

( -)

FDy
FBy

FDy ? qa / 2 FAy ? qa / 2
目录

FBy ? 3qa / 2
M A ? qa2 / 2

qa2/2

§4-6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 某些构件(吊钩等)其轴线为平面曲线称为 平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时, 曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。

目录

§4-6 平面曲杆的弯曲内力
F F
FS ?? ? FN ?? ?

例题4-10 画出该曲杆的内力图 解:写出曲杆的内力方程

m m
R
?

M ?? ? ?

FN ?? ? ? ?F sin ?
M ?? ? ? FR sin ?

FS ?? ? ? F cos?

?? ? ?? ?
F

F FR

FN

FS
目录

M

小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念,理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程, 正确绘制剪力图和弯矩图
目录

第五章 弯曲应力

目录

第五章

弯曲应力

§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施

目录

§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力

FN ? ? A

T? ? ? IP
M

FS
目录

? ?? ? ??

§5-1 纯弯曲
纯弯曲

梁段CD上,只有弯矩,没有剪力--纯弯曲

梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力--横力弯曲
目录

§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
??

a
b

m? n?

a?
b? m? 平面假设:

m ?x n

a? b?
n?

横截面变形后保持为平面,且仍 然垂直于变形后的梁轴线,只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。

§5-2 纯弯曲时的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长

中间一层纤维长度不变- -中性层

中间层与横截面的交线- -中性轴

目录

§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标

m a o b m

n a o by

dx

n

二、物理关系

胡克定理

? ? E?

? ?E
目录

y

?

§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系

FN、My、Mz

M ? ? EI Z
目录

1

§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系

物理关系

? ? ? E?
M ? ? EI Z 1

??

y

? ?E

y

?

静力学关系

?
正应力公式

为曲率半径,

1

?

为梁弯曲变形后的曲率

My ?? IZ
目录

§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
M

My ? ? IZ
? 正应力大小与其到中性轴距离 成正比; ? 与中性轴距离相等的点, 正应 力相等; ? 中性轴上,正应力等于零

M

Mymax ? max ? IZ
? max
M ? WZ
目录

IZ WZ ? ymax

? min

M ?? WZ

§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z ? ? y 2 dA
A

IZ Wz ? y max

圆截面

矩形截面
4

空心圆截面

空心矩形截面

IZ ? Wz ?

?d

64

bh IZ ? 12
3

3

IZ ?

?D
3

4

64

(1 ? ? 4 )

b0 h0 bh3 IZ ? ? 12 12

3

?d

32

Wz ?

bh 6

2

b0 h03 bh3 ?D ? ) /(h0 / 2) Wz ? (1 ? ? 4 ) Wz ? ( 12 12 32
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§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲

弹性力学精确分析表明, 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 (细长梁)时, 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式

My ?? IZ

公式适用范围

?细长梁的纯弯曲或横力弯曲 ?横截面惯性积 IYZ =0 ?弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力

? max

M max ymax M max ? ? IZ WZ
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件

σmax ?

M

max

y max

Iz

?

M

max

WZ

?? ? σ

1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同,两方面都要考虑

? t ,max ? ?? t ?

? c,max ? ?? c ?
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B

例题5-1

120
30

1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 z

x l = 3m
FBY

K
y

1m
FAY

4.已知E=200GPa, C 截面的曲率半径ρ

FS

90kN

解:1. 求支反力
?? ?

FAy ? 90kN FBy ? 90kN

?? ?
ql2 / 8 ? 67.5kN? m

M C ? 90?1 ? 60?1? 0.5 ? 60kN? m

M

?? ?

bh3 0.12? 0.183 x IZ ? ? ? 5.832?10?5 m 4 12 12 90kN 180 60?103 ? ( ? 30) ?10?3 M ?y 2 ?K ? C K ? IZ 5.832?10?5
x
(压应力) ? 61.7 ?106 P a ? 61.7MP a
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力

120

x l = 3m
FBY

K
y

30 z

C 截面弯矩

M C ? 60kN? m
C 截面惯性矩

1m
FAY

FS 90kN

I Z ? 5.832?10?5 m4

?? ? ?? ?
M x 90kN

? Cmax ?

M C ? ymax IZ 180 ? 10?3 2 5.832? 10?5

ql2 / 8 ? 67.5kN? m

?
x

60? 103 ?

?? ?

? 92.55? 106 P a ? 92.55MP a
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 120 3. 全梁最大正应力 30 z y

最大弯矩

x l = 3m
FBY

K

M max ? 67.5kN? m
截面惯性矩

1m
FAY

FS 90kN

I z ? 5.832?10?5 m4

?? ? ?? ?
M x 90kN

? max ?

M max ymax IZ 180 ? 10?3 2 5.832? 10?5

ql2 / 8 ? 67.5kN? m

?
x

67.5 ? 103 ?

?? ?

? 104.17 ? 106 P a ? 104.17MP a
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C

4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩

A

x l = 3m
FBY

K
y

1m
FAY

M C ? 60kN? m
C 截面惯性矩

FS 90kN

?? ? ?? ?
M x 90kN

I Z ? 5.832?10?5 m4 1 M ? ? EI
EIZ 200?109 ? 5.832?10?5 ?C ? ? MC 60?103 ? 194.4m

ql2 / 8 ? 67.5kN? m

?? ?
x

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