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2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)


2014 年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)
1 (2014 年东城一模理科)

答案:C 2 (2014 年 西 城 一 模 理 科 ) 若 抛 物 线 C: y ? 2 px 的 焦 点 在 直 线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上 , 则
2

p ? ___8__; C 的准线方程为__ x ? ?

4 ___.
3 (2014 年西城一模理科) “ m ? 8 ”是“方程 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的(A ) m ? 10 m ? 8
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4 (2014 年海淀一模理科)已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上,若线段 AB 与曲线 则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点. 记 M : y ? 相交且交点恰为线段 AB 的中点, 曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 a ,则( B ) . A. a ? 0 B. a ? 1
2 2

1 x

C. a ? 2

D. a ? 2

5 (2014 年海淀一模理科)已知圆 x ? y ? mx ?

1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线相切,则 4

4 2 2 6 (2014 年朝阳一模理科 ) 直线 y ? x ? m 与圆 x ? y ? 16 交于不同的两点 M , N ,且 uuur uuur uuu r MN ? 3 OM ? ON ,其中 O 是坐标原点,则实数 m 的取值范围是(D)
? A. ?2 2, ? 2 ? ? U ? 2, 2 2

m ? ____ 3 ___.

?

?

? B. ?4 2, ?2 2 ? ? U ? 2 2, 4 2

?

?

C. [?2, 2]
2 7 (2014 年朝阳一模理科)双曲线 x ?

D. [?2 2, 2 2]

y2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点到其渐近线的距离是 2 , b2

则 b ? 2 此双曲线的离心率为 5

1 北京市昌平区华清学校—李老师

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 8 (2014 年丰台一模理科)已知点 F,B 分别为双曲线 C: a 的焦点和虚轴
端点,若线段 FB 的中点在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率是_______ 5 ____.
2 9 (2014 年石景山一模理科)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为1

的点到焦点的距离为 3 ,则焦点到准线的距离为(D) A. 2 B. 8 C. 3 D. 4

x2 y 2 ? ? 1 上, F 为椭圆 C 的 25 16 ???? ? ???? ???? ???? 右焦点,若点 M 满足 | MF |? 1 且 MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为(A)
y ) 在椭圆 C : 10 (2014 年石景山一模理科) 已知动点 P( x ,
A. 3 B. 3
2

C.

12 5

D. 1

11 (2014 年顺义一模理科)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛 物线上一点, PA ? l ,垂足为 A .如果 ? APF 是边长为 4 的正三角形,则此抛物线的焦点坐 标为____(1,0)_,点 P 的横坐标 xP ? __3_.

y 2 x2 ? ?1 9 12 (2014 年延庆一模理科)设 m 是常数,若点 F (0,5) 是双曲线 m 的一个焦点,则

m =___16___
13 (2014 年东城一模理科)

2 北京市昌平区华清学校—李老师

3 北京市昌平区华清学校—李老师

14 (2014 年西城一模理科)(本小题满分 14 分)已知椭圆 W: ? y ? 1 ,直线 l 与 W 相交
2

x2 2

于 M , N 两点, l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 C 、 D 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,求 ?OCD 外接圆的方程; (Ⅱ)判断是否存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 所以与 x 轴的交点 C (1,0) ,与 y 轴的交点 D (0, ) . 则线段 CD 的中点 ( , ) , | CD |? 1 ? ( ) ?
2

1 2

????? 1 分

1 1 2 4

1 2

5 , 2

???? 3 分

即 ?OCD 外接圆的圆心为 ( , ) ,半径为

1 1 2 4

1 5 | CD |? , 2 4

所以 ?OCD 外接圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 4

5 . 16

????? 5 分

(Ⅱ)解:结论:存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点. 理由如下: 由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(km ? 0) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 C (?

m , 0) , D(0, m) , k

??? 6 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
所以 ? ? 16k ? 8m ? 8 ? 0 ,
2 2

???? 7 分

(*)

?? 8 分

由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

2m 2 ? 2 ?4km x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???? 9 分

由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合. 所以 x1 ? x2 ?

?4km m ? 0? , 2 1 ? 2k k
4

????10 分

北京市昌平区华清学校—李老师

解得 k ? ?

2 . 2

????? 11 分

由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得 | MN |? 3 | CD | . 所以 1 ? k | x1 ? x2 |? 3 (
2

m 2 ) ? m2 , k

???? 12 分

即 | x1 ? x2 |?

?4km 2 2m 2 ? 2 m 5 ( ) ? 4 ? ? 3 | | , 解得 m ? ? .??? 13 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k k 5

验证知(*)成立. 所 以 存 在 直 线 l , 使 得 C , D 是 线 段 MN 的 两 个 三 等 分 点 , 此 时 直 线 l 的 方 程 为

y?

2 5 2 5 x? x? ,或 y ? ? . 2 5 2 5

?????? 14 分

2 2 15 (2014 年海淀一模理科)(本小题满分 14 分)已知 A, B 是椭圆 C : 2 x ? 3 y ? 9 上两点,

点 M 的坐标为 (1, 0) . (Ⅰ)当 A, B 两点关于 x 轴对称,且 ?MAB 为等边三角形时,求 AB 的长; (Ⅱ)当 A, B 两点不关于 x 轴对称时,证明: ?MAB 不可能为等边三角形. 解: (Ⅰ)设 A( x0 , y0 ) , B ( x0 , ? y0 ) ,————————————————1 分 因为 ?ABM 为等边三角形,所以 | y0 |? 又点 A( x0 , y0 ) 在椭圆上,

3 | x0 ? 1| .————————2 分 3

? 3 | x0 ? 1|, ?| y0 |? 所以 ? 消去 y0 ,———————————3 分 3 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 9, 0 0 ?
2 得到 3 x0 ? 2 x0 ? 8 ? 0 ,解得 x0 ? 2 或 x0 ? ?

4 ,—————————4 分 3

当 x0 ? 2 时, | AB |?

2 3 ; 3

当 x0 ? ?

4 14 3 时, | AB |? .———————————————————5 分 3 9

{说明:若少一种情况扣 2 分}
5 北京市昌平区华清学校—李老师

(Ⅱ)法 1:根据题意可知,直线 AB 斜率存在. 设直线 AB : y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, 联立 ? 消去 y 得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 9 ? 0 ,————6 分 ? y ? kx ? m
由 ? ? 0 得到 2m2 ? 9k 2 ? 6 ? 0 ①————————————7 分 所以 x1 ? x2 ? ?

6km 4m , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ,——————8 分 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2

所以 N (?

3km 2m , ) ,又 M (1, 0) 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2

如果 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB ,————————————9 分

2m 2 ? 3k 2 ? k ? ?1 ,—————————————10 分 所以 kMN ? k ? ?1 ,即 3km ? ?1 2 ? 3k 2
化简 3k 2 ? 2 ? km ? 0 ,②—————————————11 分 由②得 m ? ?

3k 2 ? 2 (3k 2 ? 2)2 ,代入①得 2 ? 3(3k 2 ? 2) ? 0 , k2 k

化简得 3k 2 ? 4 ? 0 ,不成立,————————————————13 分 {此步化简成

9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 (3k 2 ? 2)(3k 2 ? 4) ? 0 都给分} 2 k
——————————14 分

故 ?ABM 不能为等边三角形. 法 2:设 A( x1 , y1 ) ,则 2 x12 ? 3 y12 ? 9 ,且 x1 ? [?3,3] , 所以 | MA |? ( x1 ? 1)2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? 3 ?

2 2 1 x1 ? ( x1 ? 3) 2 ? 1 ,———8 分 3 3

设 B( x2 , y2 ) ,同理可得 | MB |?

1 ( x2 ? 3)2 ? 1 ,且 x2 ?[?3,3] ———————9 分 3

因为 y ?

1 ( x ? 3)2 ? 1 在 [?3,3] 上单调 3

所以,有 x1 ? x2 ? | MA |?| MB | ,————————————11 分
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因为 A, B 不关于 x 轴对称,所以 x1 ? x2 . 所以 | MA |?| MB | ,————————————————13 分 所以 ?ABM 不可能为等边三角形.———————————————14 分 16 (2014 年朝阳一模理科)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,离心率为 . 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 M 是椭圆 C 的右顶点.直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 P, Q ,试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点?若 是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
? c 3 = ? ? a 2 解: (Ⅰ)由题意得 ? ,解得 a=2 , b ? 1 . ? 1 ? 3 ?1 ? ? a 2 4b2

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1 .………………………… 4 分 4

? y ? k ( x ? 1) ? ( Ⅱ ) 以 线 段 PQ 为 直 径 的 圆 过 x 轴 上 的 定 点 . 由 ? x 2 得 2 ? ? y ?1 ? 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .

8k 2 4k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M (2,0) . y1 2 y1 ( x ? 2) ,故点 P(0, ? ). 由题意可知直线 AM 的方程为 y ? x1 ? 2 x1 ? 2
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? 直线 BM 的方程为 y ?
y2 2 y2 ( x ? 2) ,故点 Q(0, ? ). x2 ? 2 x2 ? 2

uuu r uuu r 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N ( x0 , 0) ,则等价于 PN ? QN ? 0 恒成立.

uuu r uuu r 2 y1 2 y2 ), ) , QN ? ( x0 , 又因为 PN ? ( x0 , x2 ? 2 x1 ? 2 uuu r uuu r 2 y1 2 y2 4 y1 y2 2 ? ? x02 ? ?0 所 以 PN ? QN ? x0 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
( x1 ? 2 x )2 ? ( ?2 x1 ) x2 ?

恒 成 立 . 又 因 为

4k 2 ? 4 8k 2 4k 2 x1 2 ??( x2 ? 2 ? )2 4 2 ? 4 ? , 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 4k 2 ? 4 8k 2 ?3k 2 ? ? 1) ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? k 2 (

?12k 2 4 y1 y2 2 k2 ? x 2 ? 3 ? 0 ? x0 2 ? 1 ? 42 所以 x0 ? .解得 x0 ? ? 3 . 0 4k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 ? 4k 2
7 北京市昌平区华清学校—李老师

故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 (? 3, 0) .………………………… 14 分 17 (2014 年 丰 台 一 模 理 科 ) 已 知 椭 圆 E:

x2 y2 3 ,过左焦点 + 2 = 1(a > b > 0) 的 离 心 率 为 2 a b 2
线段 AB 的 F ( ? 3,0) 且斜率为 k 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点, 中点为 M,直线 l : x ? 4ky ? 0 交椭圆 E 于 C,D 两点.(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证: 点 M 在直线 l 上; (Ⅲ)是否存在实数 k,使得三角形 BDM 的面积是三角形 ACM 的 3 倍?若 存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)由题意可知 e ?

c 3 , c ? 3 ,于是 a ? 2, b ? 1 . ? a 2

所以,椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 程.------ ---------3 分 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y 1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y 0 ) ,

? y ? k( x ? 3) ? 2 即 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 . ? x 2 ? y ?1 ? ? 4
所以, x1 ? x2 ?

?8 3k 2 3k x ? x2 ?4 3k 2 , x0 ? 1 , y0 ? k ( x0 ? 3) ? , ? 2 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1

于是? M (

?4 3k 2 3k ?4 3k 2 3k . 因为 所以 M 在直线 l 上----8 分 , 2 ) ? 4k ? 2 ?0, 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等, 若?BDM 的面积是?ACM 面积的 3 倍,则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是 M 为 OC 中

? x ? ?4ky 1 ? y3 y ? ? .因为 ? x 2 . 点, ;设点 C 的坐标为 ( x3 , y3 ) ,则 y0 ? ,解得 3 2 ? y2 ? 1 4k 2 ? 1 ? ?4
于是

1 2 4k 2 ? 1

?

3 |k | 1 2 2 .----------------14 分 ,解得 k ? ,所以 k ? ? 2 4k ? 1 8 4

8 北京市昌平区华清学校—李老师

18 (2014 年石景山一模理科) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半 a 2 b2

径为 a 2 ? b 2 的圆是椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0) ,其短轴上的一 个端点到 F 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,

y

l2

P
M
O

l1

l2 交“准圆”于点 M ,N . 过点 P 作椭圆的切线 l1 ,
(ⅰ)当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,

l2 的方程并证明 l1 ? l2 ; 求直线 l1 ,
(ⅱ)求证:线段 MN 的长为定值. 解: (Ⅰ)? c ?

N

x

2, a ? 3, ?b ? 1 ,

?椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,………………………………2 分 3

准圆方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .………………………………3 分

2) , (Ⅱ) (ⅰ)因为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,

2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P(0,

? y ? kx ? 2, ? 所以由 ? x 2 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?3
因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切, 所以 ? ? 144k 2 ? 4 ? 9(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,解得 k ? ?1 ,………………………………6 分

y ? ? x ? 2 .………………………………7 分 l2 方程为 y ? x ? 2, 所以 l1 ,
? kl1 ? kl2 ? ?1 ,? l1 ? l2 .………………………………8 分

l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在, (ⅱ)①当直线 l1 ,
则 l1 : x ? ? 3 ,当 l1 : x ? 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3 ,, 1) ( 3 , ? 1) ,

l2 垂直; 此时 l 2 为 y ? 1(或 y ? ?1 ) ,显然直线 l1 ,
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l2 垂直.………………………………10 分 同理可证当 l1 : x ? ? 3 时,直线 l1 ,
2 2 y0 ) ,其中 x0 l2 斜率存在时,设点 P( x0 , ? y0 ? 4. ②当 l1 ,

y0 ) 与椭圆相切的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , 设经过点 P( x0 ,
? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 2 2 2 所以由 ? x 2 得 (1 ? 3t ) x ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 ) ? 3 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?3
2 2 2 由 ? ? 0 化简整理得 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0 ,

2 2 2 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切, 设 l1 ,
2 2 2 t 2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 , 所以 t1 ,

l2 垂直.………………………………12 分 所以 t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 ,
N ,且 l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 垂直. 综合①②知:因为 l1 ,
所以线段 MN 为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 的直径, | MN | =4 , 所以线段 MN 的长为定值.………………………………14 分 19 (2014 年顺义一模理科) 已知椭圆 C 的离心率 e ?

2 ,长轴的左右端点分别为 A1 (? 2, 0) , A2 ( 2, 0) . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? b 与曲线 C 有且只有一个公共点 P ,且 与直线 x ? 2 相交于点 Q .问在 x 轴上是否存在定点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过定 点 N ,若存在,求出 N 点坐标;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ) 由已知 a ?

2, e ?

c 2 2 2 ————2 分? c ? 1 ,b ? a ? c ? 1 ? 椭圆 C 的 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 ;————4 分 方程为 2

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??? ? ???? 2k 1 ? NP ? NQ ,即 NP ? NQ ? 0 ————10 分? (? ? x1 , )(2 ? x1 , 2k ? b) ? 0 , b b
?

? x1 ? 1 ? 0 2k ,? x1 ? 1 ( x1 ? 1) ? x12 ? 2 x1 ? 1 ? 0 对满足 b 2 ? 2k 2 ? 1 恒成立,? ? 2 b x ? 2 x ? 1 ? 0 ? 1

故在 x 轴上存在定点 N (1, 0) ,使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 N .——14 分 20 (2014 年延庆一模理科) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2

左顶点 A 和上顶点 D , 椭圆 C 的右顶点为 B , 点 S 是椭圆上位于 x 轴上方的动点, 直线 AS ,

BS 与直线 l : x ? 4 分别交于 M , N 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值. 解: (Ⅰ) .椭圆 C 的方程为 D A O Y S B N

l
M x

x ? y 2 ? 1 .………………3 分 4

2

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 , 故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,………………4 分 从而 M (4,6k ) ………………5 分

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16 k x ? 16 k ? 4 ? 0 ,………………7 分 2 ? ? y ?1 ?4
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设 S ( x1 , y1 ) ,则 (?2) ? x1 ?

16 k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ,得 ,………………8 分 x ? 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

从而 y1 ?

4k 2 ? 8k 2 4k ,即 S ( , ) ,………………9 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

又 B(2,0) ,故直线 BS 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 2) ………………10 分 4k

1 ? ?x ? 4 ? y ? ? ( x ? 2) ? 1 4k 由? 得? 1 ∴ N (4,? ) ,………………11 分 y?? 2k ? ? 2k ?x ? 4 ?
故 | MN |? 6k ?

1 ,………………12 分 2k
1 1 ? 2 6k ? ? 2 3 ,………………13 分 2k 2k

又∵ k ? 0 ,∴ | MN |? 6k ?

当且仅当 6k ?

1 3 ,即 k ? 时等号成立, 2k 6

∴k ?

3 时,线段 MN 的长度取得最小值为 2 3 .……………………14 分 6

集所能集,不足之处敬请见谅!

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