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高中数学 2.2.2对数函数及其性质(3)导学案 新人教A版必修1

时间:2015-01-09


课题:2.2.2 对数函数及其性质(3)
一、三维目标: 知识与技能: 能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题,并可以利用图像来解决相关问题。 过程与方法: ① 通过师生之间,学生与学生之间的合作交流,使学生学会与别人共同学习。 ② 通过探究对数函数形式的复合函数单调性,感受复合思想,培养学生数学的分析问题 的意识。 情感态度与价值观: 通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解,增强学生数学交流能 力,培养学生倾听,接受别人建议的优良品质。 二、学习重、难点: 重点:准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。 难点:依据图像来进行对相关问题的处理。 三、学法指导:对比指数函数相关性质。 四、知识链接: B1.函数 y ? lg( x ? 4) 的定义域为 B2.若 logm 2 ? logn 2 ? 0 时,则 m,n 的大小关系是 五、学习过程: B 例 1、讨论函数 f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 的单调性。 思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对 a 进行讨论。 解:由 3x ? 2 x ? 1 ? 0 得函数的定义域为 ? x x ? 1或x<- ?
2

? ?

1? 3?

则当 a>1 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数,
2

∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。

若 x< ?

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3
2

当 1>a>0 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数, 若 x< ? ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 (3) y ? log 1 (x 2 ? x)
2

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3
2

B 变式训练 1:求以下函数的单调区间: (1) y ? log2 (x ? 2x ? 3) (2) y ? log3 x 2

-1-

C 总结 y ? loga f (x) 单调区间的求法:

C 例 2、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, 求 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 的最大值,及此时 x 的值
2

思路分析:要求 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x 域。
2

? ? 的最大值,要做两件事,一是求表达式,二是求定义
2
2

解:∵ f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, ∴y?? ? f ? x ?? ? ?f x
2 2

? ? = ? 2 ? log x ?
3

? 2 ? log 3 x 2 = ? 2 ? log 3 x ? ? 2 ? 2 log 3 x
2 2

∵函数 f ( x)的定义域为?1,9? ,
2

= log32 x ? 6log3 x ? 6 = ? log 3 x ? 3? ? 3

∴要使函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x 就需要 ?

? ? 有意义,
2
2

?1 ? x 2 ? 9

?1 ? x ? 9 当 log3 x ? 1 时即 x ? 3 时 y ? 13
2

∴ 1 ? x ? 3, ?0 ? log3 x ? 1 ,∴ 6 ? y ? ? log 3 x ? 3? ? 3 ? 13

∴ x ? 3 时,函数取 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x

? ? 最大值 13
2

B 变式训练 2: 求函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x2 ) 的值域。
2

C 例 3、已知函数 f ( x) ? log 2

1? x , x ? ? ?1,1? , 1? x

⑴判断 f ( x ) 的奇偶性; ⑵讨论 f ( x ) 的单调性并证明。

C 问题 3:在指数函数 y ? 2

x

中,x 是自变量,y 为因变量。如果把 y 当成自变量,x 当成因

变量,那么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由。

-2-

结论:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而 把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反函数。 如:函数 y ? 2x 与对数函数 y ? log2 x 互为反函数。 C 问题 4: 以 y ? 2 x 与 y ? log2 x 为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的 联系? C 问题 5:与点 ? a, b ? 关于直线 y ? x 对称的点坐标是什么? B 例 4、求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ? log6 x

六、达标检测: x B1、已知a>0,且a≠1,则在同一坐标系内函数y=a 与y=loga(-x)的图象可能是_____

y 1 x 1

y

y 1 1 x -1 x

y 1 -1

-1 (1)

0

0
(2)

0
(3)

0
(4)

x

B2、已知函数 f ( x ) 的图像过点(1,2)则其反函数的图像过点 C3、函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) 的大致图像是 (填序号)

y

y

y

y

-1

0 (1)

x

0

1 x

0

x

0 (4)

x

(3) (2) 1 1 C4、已知 f ( x) ?| lg x | ,则 f ( ), f ( ), f (2) 的大小关系 4 3

C5、已知函数 f ( x) ? loga | x ? 1| 在区间 (?1, 0) 上有 f ( x) ? 0 ,那么下面结论正确的 是 (填序号) ② f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数 ④ f ( x ) 在 (??, ?1) 上是减函数
-3-

① f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数 ③ f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数

C6、已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? ax ? a) 在区间 ??, 2 上是增函数,求实数 a 的取值范围。
2

?

?

七、学习小结:

八、课后反思:

-4-


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