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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案61 古典概型


学案 61

古典概型

导学目标: 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数 及事件发生的概率.

自主梳理 1.基本事件有如下特点: (1)任何两个基本事件是________的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________. 2.一般地,一次试验有下面两个特

征 (1)有限性.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)等可能性.每个基本事件出现的可能性相同,称这样的概率模型为古典概型. 判断一个试验是否是古典概型,在于该试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等 可能性. 3.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每 一个基本事件的概率都是________;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)=________. 自我检测 1.(2011· 滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标, 则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 12 9 2.(2011· 临沂高新区期末)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正 方体, 若将这些小正方体均匀地搅混在一起, 则任意取出一个, 其两面涂有油漆的概率是( ) 1 1 3 12 A. B. C. D. 12 10 25 125 3.(2010· 辽宁)三张卡片上分别写上字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排 成英文单词 BEE 的概率为________. 4.有 100 张卡片(编号从 1 号到 100 号),从中任取 1 张,取到卡号是 7 的倍数的概率为 ________. 5.(2011· 大理模拟)在平面直角坐标系中,从五个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2), E(2,2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示).

探究点一 基本事件的概率 例 1 投掷六个面分别记有 1,2,2,3,3,3 的两颗骰子. (1)求所出现的点数均为 2 的概率; (2)求所出现的点数之和为 4 的概率.

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变式迁移 1 一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球,从中一次摸 出两只球.问: (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少?

探究点二 古典概型的概率计算 例 2 班级联欢时,主持人拟出了如下一些节目:跳双人舞、独唱、朗诵等,指定 3 个 男生和 2 个女生来参与,把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5,其中 1,2,3 号是男生,4,5 号是女生, 将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上,并放入一个箱子中充分混合,每次从中随机地取 出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目. (1)为了选出 2 人来表演双人舞,连续抽取 2 张卡片,求取出的 2 人不全是男生的概率; (2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充分 混合后再从中抽取第二张卡片,求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.

变式迁移 2 同时抛掷两枚骰子,求至少有一个 5 点或 6 点的概率.

探究点三 古典概型的综合问题 例 3 (2009· 山东)汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型 号,某月的产量如下表(单位:辆):

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轿车 A 轿车 B 轿车 C 100 150 z 舒适型 300 450 600 标准型 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下 : 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与 样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

变式迁移 3 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部 门对某校 6 名学生进行问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分看成一 个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样本 平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

分类讨论思想的应用 例 (12 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏,他 们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游 戏是否公平,说明你的理由. 多角度审题 本题属于求较复杂事件的概率,关键是理解题目的实际含义,把实际问题 转化为概率模型,联想掷骰子试验,把红桃 2、红桃 3、红桃 4 和方片 4 分别用数字 2,3,4,4′ 表示,抽象出基本事件,把复杂事件用基本事件表示,找出总体 I 包含的基本事件总数 n 及事

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m 件 A 包含的基本事件个数 m,用公式 P(A)= 求解. n 【答题模板】 解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示,其他用相应的数字表示)为 (2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′, 4),共 12 种不同情况.[6 分] (2)甲抽到红桃 3, 乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4′, 因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 2 大的概率为 .[9 分] 3 (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),共 5 5 5 种,故甲胜的概率 P1= ,同理乙胜的概率 P2= .因为 P1=P2,所以此游戏公平.[12 分] 12 12 【突破思维障碍】 (1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题,计数时只需要用枚举法即可计 算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率,但应特别注意:计算时要严防遗漏, 绝不重复. (2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题,好多实际问题都可以归结到取球模型上 去,特别是产品的抽样检验,解题时要分清 “有放回”与“无放回”,“有序”与“无序” 等条件的影响. 【易错点剖析】 1.题目中“红桃 4”与“方片 4”属两个不同的基本事件,应用不同的数字或字母标注. 2.注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响. 1.基本事件的特点主要有两条:①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表 示成基本事件的和. 2.古典概型的基本特征是:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本 事件出现的可能性相等. 3.计算古典概型的基本步骤有:①判断试验结果是否为等可能事件;②求出试验包括的 m 基本事件的个数 n,以及所求事件 A 包含的基本事件的个数 m;③代入公式 P(A)= ,求 n 概率值.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 浙江宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b,c,则方 程 x2+bx+c=0 有实根的概率为( ) 19 1 5 17 A. B. C. D. 36 2 9 36 2. (2009· 福建)已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中, 5,6,7,8,9,0 表示不命中; 再以每三个随机数为一组, 代表三次投篮的结果. 经 随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 3.(2011· 西南名校联考)连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)
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的夹角 θ>90°的概率是( ) 5 7 1 1 A. B. C. D. 12 12 3 2 4.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面 上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事 件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( ) A.3 B.4 C.2,5 D.3,4 5.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全 相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 12 10 5 10 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从这些教师中随机挑选一人 9 表演节目.若选到男教师的概率为 ,则参加联欢会的教师共有________人. 20 nπ 7.(2011· 上海十四校联考)在集合{x|x= ,n=1,2,3,?,10}中任取一个元素,所取元 6 1 素恰好满足方程 cos x= 的概率是________. 2 8.(2009· 江苏)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一 次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 北京朝阳区模拟)袋子中装有编号为 a,b 的 2 个黑球和编号为 c,d,e 的 3 个红球,从中任意摸出 2 个球. (1)写出所有不同的结果; (2)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率; (3)求至少摸出 1 个黑球的概率.

10.(12 分)(2010· 天津滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个 小球的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一 等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率.

11.(14 分)(2011· 广州模拟)已知实数 a,b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率; (2)求直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率.

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学案 61
自主梳理

古典概型

1 m 1.(1)互斥 (2)基本事件的和 3. n n 自我检测 1 4 1.A 2.D 3. 4.0.14 5. 3 5 课堂活动区 例 1 解题导引 确定古典概型的基本事件有两条:一、每个事件发生的可能性相等; 二、事件空间 Ω 中的任一个事件都可以表示为这些基本事件的和,基本事件的确定有一定的 相对性,并非一成不变的. 解 因为掷骰子出现 1,2,3 的概率不一样,所以,记 6 个面为 1,a,b,x,y,z,其中 a, b 都表示 2,x,y,z 都表示 3,则投掷两颗骰子,基本事件为(1,1),(1,a),(1,b),(1,x), (1,y),(1,z),(a,1),(a,a),(a,b),(a,x),(a,y),(a,z),?,(z,1),(z,a),(z,b),(z, x),(z,y),(z,z)共 36 种结果. (1)掷两颗骰子出现点数均为 2 的基本事件有(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)共 4 种,∴概 4 1 率为 P1= = . 36 9 (2)出现点数之和为 4,说明有两种情况,即 1+3 或 2+2,基本事件有(1,x),(1,y),(1, z),(x,1),(y,1),(z,1),(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)共 10 种, 10 5 ∴概率为 P2= = . 36 18 变式迁移 1 解 (1)分别记白球为 1,2,3 号,黑球为 A,B 号,从中摸出 2 只球,有如下 基本事件: (1,2),(1,3),(1,A),(1,B),(2,3),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B),(A,B),因此, 共有 10 个基本事件. (2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同,且只有 3 个基本事件是摸到两只白球(记为事 3 件 A),即(1,2),(1,3),(2,3),故 P(A)= . 10 m 例 2 解题导引 古典概型的概率计算公式是 P(A)= .由此可知,利用列举法算出所有 n 基本事件的个数 n 以及事件 A 包含的基本事件数 m 是解题关键.必要时可以采用画树状图或 列表法辅助列举基本事件. 解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如下图所示).

由上图可以看出,试验的所有可能结果数为 20,因为每次都随机抽取,因此这 20 种结果 出现的可能性是相同的,试验属于古典概型. 用 A1 表示事件“连续抽取 2 人一男一女”,A2 表示事件“连续抽取 2 人都是女生”,则 A1 与 A2 互斥,并且 A1∪A2 表示事件“连续抽取 2 张卡片,取出的 2 人不全是男生”,由列 出的所有可能结果可以看出,A1 的结果有 12 种,A2 的结果有 2 种,由互斥事件的概率加法公 式,可得 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)

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12 2 7 + = =0.7, 20 20 10 即连续抽取 2 张卡片,取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7. (2)有放回地连续抽取 2 张卡片,需注意同一张卡片可再次被取出,并且它被取出的可能 性和其他卡片相等,我们用一个有序实数对表示抽取的结果,例如“第一次取出 2 号,第二 次取出 4 号”就用(2,4)来表示,所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取 1 2 3 4 5 第一次抽取 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 试验的所有可能结果数为 25,并且这 25 种结果出现的可能性是相同的,试验属于古典概 型. 用 A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”,由上表可以看出,A 的结果共有 5 种, 5 因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率 P(A)= =0.2. 25 变式迁移 2 解 方法一 同时抛掷两枚骰子,所有基本事件如下表: 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有 36 个不同的结果,其中“至少有一个 5 点或 6 点”的基本事件数为 20,所以至少有 20 5 一个 5 点或 6 点的概率为 P= = . 36 9 方法二 利用对立事件求概率. “至少有一个 5 点或 6 点”的对立事件是“没有 5 点或 6 16 4 点”, 如上表, “没有 5 点或 6 点”包含 16 个基本事件, 没有 5 点或 6 点的概率为 P= = .∴ 36 9 4 5 至少有一个 5 点或 6 点的概率为 1- = . 9 9 例 3 解题导引 本题主要考查抽样的方法及古典概型概率的求法,考查用概率知识解 决实际问题的能力. 解 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 50 10 由题意得 = ,所以 n=2 000. n 100+300 则 z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 400 a 由题意得 = ,即 a=2. 1 000 5 因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车. 用 A1,A2 表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车.用 E 表示事件“在 该样本中任取 2 辆,其中至少有 1 辆舒适型轿车”, 则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3)共 10 个.事件 E 包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共 7 个. 7 7 故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 =

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1 (3)样本平均数 x = ×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则基 本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个, 6 3 3 所以 P(D)= = ,即所求概率为 . 8 4 4 1 变式迁移 3 解 (1)总体平均数为 ×(5+6+7+8+9+10)=7.5. 6 (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”. 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7), (6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共 15 个基本结果. 事件 A 包括的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有 7 个基 本结果. 7 所以所求的概率为 P(A)= . 15 课后练习区 1.A 2.B [由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191、 271、932、812、 5 1 393,共 5 组随机数,故所求概率为 = =0.25.] 20 4 3.A [由题意知,(m,n)· (-1,1)=-m+n<0, ∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个), 符合要求的有(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), ?, (5,4),(6,1),?,(6,5),共 1+2+3+4+5=15(个). 15 5 ∴P= = .] 36 12 1 2 4.D [落在直线 x+y=2 上的概率 P(C2)= ,落在直线 x+y=3 上的概率 P(C3)= ;落 6 6 2 1 在直线 x+y=4 上的概率 P(C4)= ;落在直线 x+y=5 上的概率 P(C5)= ,故当 n 为 3 和 4 6 6 时,事件 Cn 的概率最大.] 5.D [由袋中随机取出 2 个小球的基本事件总数为 10,取出小球标注数字和为 3 的事件 为 1,2.取出小球标注数字和为 6 的事件为 1,5 或 2,4. ∴取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 1+2 3 P= = .] 10 10 6.120 解析 设男教师有 n 人,则女教师有(n+12)人. 由已知从这些教师中选一人,选到男教师的概率 n 9 P= = ,得 n=54, 20 2n+12 故参加联欢会的教师共有 120 人. 1 7. 5 π 5π 1 解析 cos =cos = ,共 2 个. 3 3 2 2 1 x 总体共有 10 个,所以概率为 = . 10 5 8.0.2 解析 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿共有 10(种)抽取方法,而抽取的两根竹竿长 度恰好相差 0.3 m 的情况是 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9 两种, 2 ∴概率 P= =0.2. 10
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9.解 (1)ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.共 10 种不同结果.(2 分) (2)记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为 ac,ad, 6 ae,bc,bd,be,共 6 个基本事件.所以 P(A)= =0.6. 10 所以恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6.(7 分) (3)记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B,则事件 B 包含的基本事件为 ab,ac,ad,ae,bc, bd,be,共 7 个基本事件, 7 所以 P(B)= =0.7. 10 所以至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7.(12 分) 10.解 设“中三等奖”的事件为 A,“中奖”的事件为 B,从四个小球中有放回的取两 个共有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0), (3,1),(3,2),(3,3)16 种不同的方法.(2 分) (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种: 4 1 (0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0).故 P(A)= = .(6 分) 16 4 (2)由(1)知,两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种. 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种:(1,3),(2,2),(3,1),(8 分) 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种:(2,3),(3,2), 4 3 2 9 P(B)= + + = .(12 分) 16 16 16 16 11.解 由于实数对(a,b)的所有取值为:(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(- 1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,- 1),(2,1),(2,2),共 16 种.(3 分) 设“直线 y=ax+b 不经过第四象限”为事件 A,“直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共 点”为事件 B. ?a≥0, ? (1)若直线 y=ax+b 不经过第四象限,则必须满足? 即满足条件的实数对(a,b)有 ? ?b≥0, 4 1 (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共 4 种.∴P(A)= = . 16 4 1 故直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率为 . 4 (6 分) |b| (2)若直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点,则必须满足 2 ≤1, 即 b2≤a2+1.(8 分) a +1 若 a=-2,则 b=-2,-1,1,2 符合要求,此时实数对(a,b)有 4 种不同取值; 若 a=-1,则 b=-1,1 符合要求,此时实数对(a,b)有 2 种不同取值; 若 a=1,则 b=-1,1 符合要求,此时实数对(a,b)有 2 种不同取值, 若 a=2,则 b=-2,-1,1,2 符合要求,此时实数对(a,b)有 4 种不同取值. ∴满足条件的实数对(a,b)共有 12 种不同取值. 12 3 ∴P(B)= = . 16 4 3 故直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为 . 4 (14 分)

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