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函数与方程


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新课标高考总复习(文)

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考纲要求 1.结合二次函数的图象 ,了解函数的零点与方 程根的联系,判断一元 二次方程根的存在性及 根的个数. 2.根据具体函数的图 象,能够用二分法求相 应方程的近似解.

考情

分析 从近两年的高考试题来看,函数的零 点、方程的根的问题是高考的热点,题 型既有选择题、填空题,又有解答题. 客观题主要考查相应函数的图象与性质 ,主观题考查较为综合.在考查函数的 零点、方程的根的基础上,又注重考查 函数与方程、转化与化归、分类讨论、 数形结合的思想方法,如2011年浙江卷 就考查了函数与方程分类讨论思想等综 合性较强.

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(对应学生用书P40) 知识梳理 1.方程的根与函数的零点

(1)对于函数
(2)方程

y=f(x)(x∈D),我们把使__f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的图象与x轴有交点?函数

y=f(x)(x∈D)的零点. f(x)=0有实根?函数

y=f(x)有零点.

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(3)函数零点的判定 如果函数

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y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,并 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈ f(x)=0的根. y=f(x)与x轴的交点吗?

且f(a)·f(b)<0,那么,函数

(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程 问题探究1:(1)函数的零点是函数 提示:(1)函数的零点不是函数

(2)在(3)中,(a,b)内只有一个零点吗? y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x) 与 x 轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实 个数不确定.

数.(2)在上面的条件下,(a,b)内的零点至少有一个c,还可能有其他根,

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2.二分法 (1)二分法的定义

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对于在区间 [a ,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y= 不断地把函数 步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤

f(x) ,通过

f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐

第一步,确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0;给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;

第三步,计算f(x1);

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(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (3)若f(x1)f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或b);否则重复第二、三、四步. 问题探究 2 : 若函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点,则 y = f(x) 在区 间[a,b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0呢? 提示:不一定.如图.

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1. 若函数 ( ) A.0,2 1 B. 0, 2

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自主检测

f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx 2-ax的零点是 1 C. 0,- 2 1 D. 2,- 2

解析:由 f(2)= 2a+ b= 0,得 b=- 2a, ∴g(x)=- 2ax2- ax=- ax(2x+ 1). 1 令 g(x)= 0,得 x= 0, x=- , 2 1 ∴g(x)的零点为 0,- . 2
答案:C

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2.函数f(x)=3ax -2a+ 1在 [- 1,1]上存在一个零点,则a的取值范 围是( ) B.a≤ 1 1 D.a≥ 或a≤-1 5 1 A.a≥ 5 1 C.- 1≤a≤ 5

解析: 1)· f(1) ≤0,

f(x)= 3ax- 2a+ 1在 [- 1,1]上存在一个零点,则 f(-

1 即 a≥ 或 a≤- 1. 5
答案:D

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3 .下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不宜用二分法求交点横坐 标的是( )

解析:∵B中x0左右两边的函数值均大于零,不适合二分法求零点

的条件.
答案:B

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)

1 4.函数f(x)=lgx- 的零点所在的区间是( x A.(0,1] C.(10,100] B.(1,10] D.(100,+∞)

9 解析:由于f(1)f(10)=(-1)× <0,根据二分法得函数在区间(1,10] 10 内存在零点.
答案:B

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5.已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的范围 为________. 解析:由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2+a)<0.∴-2<a<0. 答案:(-2,0)

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6.用二分法求函数y =f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 2+ 4 f(2)· f(4)<0,给定精确度 ε= 0.01,取区间(2,4)的中点x 1= =3,计算 2 得f(2)· f(x 1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).

解析:由f(2)·f(3)<0可知. 答案:(2,3)

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(对应学生用书P40)

考点1

函数零点的存在性判断

函数零点的存在性问题常用的方法有: (1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出进行判断.

(2)用定理:零点存在性定理.
(3)利用图象的交点:有些题目可先画出某两个函数 =g(x)图象,其交点的横坐标是 f(x)-g(x)的零点. y = f( x ) , y

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)

例1 (1)(2011年陕西高考)函数f(x)= x- cosx在 [0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

(2)(2011年浙江高考)设a, b,c为实数, f(x)=(x+a)(x2+bx+c), g(x)=(ax+1)(cx2+bx +1) .记集合S={x |f(x)=0,x∈ R},T={x |g(x)= 0,x∈ R}.若有 |S||T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能 的是( ) B. |S|=1且 |T |= 1 D.|S |= 2且 |T|=3 A.|S |= 1且 |T|=0 C. |S|=2且 |T|= 2

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②a= 0, c≠0时, |S|= 1, (ax+ 1)(xc2+ bx+ 1)= 0无解, |T|= 0, ∴ A正确. Ⅱ.|S|= 2时, f(x)= 0有两个实数解, 即 (x+ a)(x2+ bx+ c)= 0有两解 则 x2+ bx+ c= 0中 Δ= b2- 4c= 0 1 g(x)=(ax+ 1)(cx + bx+ 1), x1=- a
2

cx2+ bx+ 1= 0有一解 ∴|S |= 2, |T|= 2, C正确.
答案:(1)B (2)D

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(1)(2010 年天津高考 ) 函数 f(x) = ex + x - 2 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) C.(0,1) 解析:(1)∵f ′(x)=ex+1>0, ∴f(x)=ex+x-2在R上是增函数. B.(-1,0) D.(1,2)

(2)判断函数y=lnx+2x-6的零点个数.

而f(-2)=e-2-4<0, f(-1)=e-1-3<0,
f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0, f(2)=e2>0, ∴f(0)·f(1)<0.

故(0,1)为函数f(x)的零点所在的一个区间.故选C.

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(2)解法一:设f(x)=lnx+2x-6, ∵y=lnx和y=2x-6均为增函数, ∴f(x)也是增函数. 又∵f(1)=0+2-6=-4<0,f(3)=ln3>0, ∴f(x)在(1,3)上存在零点.又f(x)为增函数, ∴函数在(1,3)上存在惟一零点. 解法二:在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象,由图可知两 图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.

答案:(1)C

(2)只有一个零点

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判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体问题灵活处理, 当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根 据零点存在性定理进行判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出 图象判断.

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考点2 二分法求函数的零点

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用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题 (1)第一步中要使:(1)区间长度尽量小;(2) 容易计算且 f(a)· f(b)<0. f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x) = f(x)=g(x)的根. f (a ) , f(b)的值比较

(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应 方程的根是等价的.对于求方程 f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程

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例 2 用二分法求函数 (精确度为0.1). 【解】

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f(x) = x3 - x - 1 在区间 [1,1.5]内的一个零点

由于f(1)=1-1-1=-1<0,

f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0, ∴ f(x)在区间[1,1.5]上存在零点. 取区间[1,1.5]作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算列表如下: 端(中)点坐 标 1.25 1.375 1.3125 中点函数值符 号 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.3125)<0 零点所在区间 |an-bn|

[1,1.5]
[1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.3125,1.375]

0.5
0.25 0.125 0.0625

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求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度 ε,当区 间长度小于精确度 ε时,运算即告结束,此时区间内的任何一个值均符 合要求,而我们通常取区间的一个端点值作为近似解.

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1 用二分法求方程lnx= 在[1,2]上的近似解,取中点c=1.5,则下一 x 个有根区间是________.

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解析:令 1 f(x)= lnx- , x

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1 2 则 f(1)=- 1<0, f(2)= ln2- = ln >ln1= 0, 2 e 2 1 f(1.5)= ln1.5- = (ln1.53- 2). 3 3 因为 1.53= 3.375, e2>4>1.53, 1 1 3 故 f(1.5)= (ln1.5 - 2)< (lne 2- 2)= 0, 3 3 所以 f(1.5)· f(2)<0,故下一个有根区间是 [1.5,2].
答案:[1.5,2]

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考点3 零点性质的应用

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解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题, 关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等 式求解.

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例3 (2011年山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a< 3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________. 【解析】 ∵f(1)=loga1+1-b=1-b<0 f(2)=loga2+2-b<0 f(3)=loga3+3-b loga3>1,-1<3-b<0,∴f(3)>0 即f(2)f(3)<0 故x0∈(2,3),即n=2.

【答案】

n=2

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若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范 围是________. 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y= ax与函数 y= x+a交点的 个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数 图象有惟一交点,故a>1.

答案:(1,+∞)

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考点 4 关于二次函数的零点

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二次函数零点分布问题,即一元二次方程根的分布问题,解题的关 键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程.

例 4 m 为何值时, f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比-1 大.

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【解】 (1)f(x)= x2+ 2mx+ 3m+ 4 有且仅有一个零点?方程 f(x)= 0 有两 个相等实根 ?Δ= 0,即 4m2- 4(3m+ 4)= 0,即 m2- 3m- 4= 0, ∴m= 4 或 m=- 1. (2)解法一:设 f(x)的两个零点分别为 x1, x2, 则 x1+ x2=- 2m, x1· x2= 3m+ 4. 由题意,知

?Δ= 4m2- 4? 3m+ 4?>0 ? ??x1+ 1?+ ?x2+ 1?>0 ? ??x1+ 1??x2+ 1?>0

?m2- 3m- 4>0 ? ??- 2m+ 2>0 ? ?3m+ 4- 2m+ 1>0

?m>4或 m <- 1, ? ? ?m<1, ? ?m>- 5,

∴- 5<m <- 1,故 m 的取值范围为 (- 5,- 1).

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?Δ>0, ? 解法二:由题意,知?- m>- 1, ? ?f?- 1?>0; ?m2-3m- 4>0, ? 即?m<1, ? ?1-2m+3m+4>0.
∴- 5<m <- 1.故 m 的取值范围为 (- 5,- 1).

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关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有零点,求实数 m的取值范围.

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解:设 f(x)= x2+ (m- 1)x+ 1, x∈[0,2]. (1)f(x)= 0在区间 [0,2]上有一解. ∵f(0)= 1>0, 3 ∴f(2)≤ 0,即 4+ 2(m- 1)+ 1≤0?m ≤- . 2 (2)f(x)= 0在区间 [0,2]上有两解,则

?Δ≥0??m- 1?2- 4≥ 0? m≥ 3或 m≤- 1, ? ?0<- m- 1<2?- 3<m <1, ? 2 ? 3 f ? 2 ? ≥ 0 ? 4 + ? m - 1 ? × 2 + 1 ≥ 0 ? m ≥ - , ? 2 ?
3 ∴- ≤m≤- 1. 2 由 (1)(2)知: m≤- 1.

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(对应学生用书P42)

易错点 对函数零点存在定理理解不到位
若函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(-2,

2)内有一个零点,则f(-2)·f(2)的值(
A.大于0 C.等于0 B.小于0

)

D.不能确定

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【错解】

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由函数零点存在定理知, f(-2)·f(2)<0,故选B. 本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含

【错因分析】 不能确定. 【正确解答】

义及存在性,事实上,当f(x)在(-2,2)内有一个零点,f(-2)和f(2)的符号 若函数f(x)在(-2,2)内有一个零点,且该零点是变

号零点,则f(-2)·f(2)<0,否则, f(-2)·f(2)>0,因此,选D.

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对函数零点存在的判断需注意以下三点: ①函数y=f(x)在[a,b]上连续. ②满足f(a)f(b)<0. ③在(a,b)内存在零点. 上述方法只能求变号零点,对于非变号零点不能用上述方法求 解.另外需注意的是: (1)若函数 f(x)的图象在 x= x0处与 x轴相切,则零点 x0通常称为不变

号零点.
(2)函数的零点不是点,它是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,是方 程f(x)=0的根.

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关于函数零点的下列说法正确的是(

)

A.方程f(x)=0在区间(a,b)内有解,则f(a)·f(b)<0 B.单调函数f(x)在区间(a,b)内与x轴有交点,则f(a)·f(b)<0 C.连续函数的图象通过零点后函数值一定变号 D.函数的零点可以是一个数,也可以是一个点 解析:在D中,函数的零点是一个实数,而不是点.在A中,由函

数f(x)在 [a,b]内连续, f(a)·f(b)<0 可得方程 f(x)=0在区间(a,b)内有解,

反之不成立.在C中,如y=x2,此函数图象通过零点后函数值不变号.
答案:B

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1 . 函数零点的判定常用的方法有: (1) 零点存在性定理; (2) 数形 结合;(3)解方程 2.研究方程 零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过 不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围,当达到一定的精确度要 求时,所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值. f(x)=0. f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)= f(x)-g(x)的

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4.有关函数零点的重要结论

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(1) 若连续不断的函数 f(x) 是定义域上的单调函数,则 f(x) 至多有一 个零点. (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变. (4)函数f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0至多有n个零点.


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