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2013届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理应用举例》讲义


正弦定理和余弦定理应用举例
自主梳理
1.实际问题中的常用角 (1).仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线 和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方 时叫俯角.(如图所示) (2).方位角 一般指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如方位角 45°,是指北偏东 45°,即东北方向. (3).方向角:相对于某一

正方向的水平角.(如图所示) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向. ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似. (4).坡度角 坡面与水平面所成的二面角的度数.坡面与 水平面的夹角.(如图所示) (5).坡比

h 坡面的铅直高度与水平宽度之比,即 i= =tan α(i 为坡比,α为坡角). l

自我检测
1.如图某河段的两岸可视为平行,在河段的一岸边选取两点 A,B,观察对岸的点 C,测得 ∠CAB=75°,∠CBA=45°,且 AB=200 米.则 A,C 两点的距离为( ) 200 6 A. 米 B.100 6米 3 100 6 C. 米 3 D.200 2米

2.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° C.南偏东 10° B.北偏西 10° D.南偏西 10°

灯塔 A、B 的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°, 则α=60°-50°=10°,即北偏西 10° 3.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为

________m.

400 3

4. 如图, 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45°, 沿倾斜角为 30°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60°,则山的高度 BC 为________ m. 500( 3+1)

5.△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33, 5 3 ,cos∠ADC= ,求 AD. 13 5 3 π 解 由 cos∠ADC= >0 知 B< , 5 2 12 4 由已知得 cos B= ,sin∠ADC= , 13 5 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 BD AD 由正弦定理得, = , sin B sin∠BAD 5 33× BD·sin B 13=25. 所以 AD= = sin∠BAD 33 65 sin B=

用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
题型一 与距离有关的问题

例 1 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点北 偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点 相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先 要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选 取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 解 由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.

在△DAB 中,由正弦定理,得

DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB

AB·sin∠DAB 5(3+ 3)·sin 45° = sin 105° sin∠ADB 5(3+ 3)·sin 45° = =10 3(海里). sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20 3(海里),
∴DB= 在 △DBC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 CD2 = BD2 + BC2 - 2BD·BC·cos ∠ DBC = 300 + 1 200 - 1 2 =900,∴CD=30(海里), 30 ∴需要的时间 t= =1(小时). 30 故救援船到达 D 点需要 1 小时. 2×10 3×20 3× 变式训练 1 (1)要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并

测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离.

解:在△ACD 中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,

∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°. 6+ 2 3sin 75° = . sin 60° 2

∴BC=

在△ABC 中,由余弦定理,得 6+ 2 6+ 2 2 -2× 3× ×cos 75° 2 2

AB =(
2

3)2



=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5 (km), ∴A、B 之间的距离为 5 km. (2)某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25°方向,从 A 出发有一条南 偏东 35°走向的公路,在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有 一人正沿此公路向 A 走去,走 20 千米到达 D,此时测得 CD 为 21 千米,求此人在 D 处距 A 还有多少千米?

解 如图所示,易知∠CAD=25°+35°=60°,在△BCD 中, 312+202-212 23 = , 31 2×31×20 12 3 所以 sin B= . 31 cos B= 在△ABC 中,AC=

BC·sin B =24, sin A

由 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A, 得 AB2-24AB-385=0, 解得 AB=35,AB=-11(舍), 所以 AD=AB-BD=15. 故此人在 D 处距 A 还有 15 千米. 点评: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可 用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形,这时 需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求出其他三角形中的解.有时需设出未知 量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.

(3)如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向, 距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北 偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船 奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此时走 私船正以 10 海里/小时的速度,以 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才 能最快截获走私船?并求出所需时间. 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时, 才能最快截获(在 D 点)走私船, 则 CD=10 3t 海里,

BD=10t 海里,

在△ABC 中,由余弦定理,有

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=( 3-1)2+22-2( 3-1)·2·cos 120°=6. ∴BC= 6海里.

又∵

AC BC = , sin A sin∠ABC AC·sin A 2·sin 120° 2 = = , BC 2 6

∴sin∠ABC=

∴∠ABC=45°,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD 中,由正弦定理,得

BD CD = , sin ∠BCD sin∠CBD

∴sin∠BCD=

BD·sin∠CBD 10t·sin 120° 1 = = . 2 CD 10 3t

∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶.

又在△BCD 中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,

∴∠D=30°,∴BD=BC,即 10t= 6. ∴t= 6 小时≈15 分钟. 10

∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟.

题型二

测量高度问题

例 2 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β, CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为θ,求塔高 AB.



在△BCD 中,∠CBD=π-α-β.

BC CD = , sin∠BDC sin∠CBD CD·sin∠BDC s·sin β 所以 BC= = , sin( α+β) sin∠CBD
由正弦定理得

在 Rt△ABC 中, AB=BCtan∠ACB=

s·tan θsin β sin(α+β)

变式训练 2 (1)某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途 测得塔的最大仰角为 30°,求塔高. 解 由题意可知,在△BCD 中,CD=40, ∠BCD=30°,∠DBC=135°, CD 由正弦定理得, sin∠DBC BD = , sin∠BCD 40sin 30° ∴BD= =20 2. sin 135° 过 B 作 BE⊥CD 于 E,显然当人在 E 处时, 测得塔的仰角最大,有∠BEA=30°. 在 Rt△BED 中, 又∵∠BDE=180°-135°-30°=15°. 6- 2 ∴BE=DB·sin 15°=20 2× =10( 3-1). 4 在 Rt△ABE 中, 10 AB=BE·tan 30°= (3- 3)(米). 3 10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 (2) 如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂 直的水平面内沿南偏西 60°的方向以每小时 6 千米的速度 步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方 向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为 60°. (1)求该人沿南偏西 60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.



(1)依题意知,在△DBC 中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,

1 CD=6 000× =100(米),∠D=180°-135°-30°=15°, 60 由正弦定理得

CD BC = , sin∠DBC sin∠D
100× 6- 2 50( 6- 2) 4 = 2 2 2

∴BC=

CD·sin∠D 100×sin 15° = = sin 135° sin∠DBC

=50( 3-1)(米).

在 Rt△ABE 中,tan α=

AB . BE

∵AB 为定长,∴当 BE 的长最小时,α取最大值 60°,这时 BE⊥CD.

当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中,

EC=BC·cos∠BCE=50( 3-1)·

3 =25(3- 3)(米). 2

设该人沿南偏西 60°的方向走到仰角α最大时,走了 t 分钟. 则 t= 25(3- 3) 3- 3 EC ×60= ×60= (分钟). 6 000 6 000 4

(2)由(1)知当α取得最大值 60°时,BE⊥CD,

在 Rt△BEC 中,BE=BC·sin∠BCD,

∴AB=BE·tan 60°=BC·sin∠BCD·tan 60°

1 =50( 3-1)· · 3=25(3- 3)(米). 2 即所求塔高 AB 为 25(3- 3)米.

题型三 例3

几何中的正、余弦定理应用问题 如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,

AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°,
求 BD 的长. 探究提高 要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形 .在分割时,要

注意有利于应用正、余弦定理.



在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°.

由正弦定理,得

AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC

sin∠ABC=

AC·sin∠BCA 9sin 30° 9 = = . 5 10 AB

∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC, 于是 sin∠BAD=sin∠ABC= 9 . 10

同理,在△ABD 中,AB=5,sin∠BAD=

9 , 10

∠ADB=45°,由正弦定理:

AB BD = , sin∠BDA sin∠BAD
解得 BD= 9 2 9 2 .故 BD 的长为 . 2 2

变式训练 3

如图所示,△ACD 是等边三角形,

△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交

AC 于 E,AB=2.
(1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE. 解: (1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD, 所以∠CBE=15°, 所以 cos∠CBE=cos(45°-30°)= 6+ 2 . 4

(2)在△ABE 中,AB=2,

AE 2 = , sin(45°-15°) sin(90°+15°) 2sin 30° 1 故 AE= = = 6- 2. cos 15° cos 15°
由正弦定理 四 三角形中最值问题

例 4 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),示意图如图所示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

(1)该小组已测得一组α、β的值,算出了 tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使α与β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α-β最大? 解 H h H (1)由 AB= ,BD= ,AD= 及 AB+BD=AD, tan α tan β tan β H h H 得 + = , tan α tan β tan β htan α 4×1.24 解得 H= = =124(m). tan α-tan β 1.24-1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H-h H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= . tan β= . d d tan α-tan β 所以 tan(α-β)= 1+tan αtan β h h = H(H-h)≤ , 2 H(H-h) d+ d H(H-h) 当且仅当 d= , d 即 d= H(H-h)= 125×(125-4)=55 5时, 上式取等号,所以当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< , 2 2 所以当 d=55 5时,α-β最大.

变式训练 4 (1)如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延长线上,BC=1,点

P 为半圆上的一个动点,以 DC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,求
四边形 OPDC 面积的最大值. 解 设∠POB=θ,四边形面积为 y,

则在△POC 中,由余弦定理得

PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ.
∴y=S
OPC+S PCD= ×1×2sin 2 △ △

1

θ+

3 (5-4cos θ) 4

π 5 3 =2sin(θ- )+ . 3 4 π π 5π 5 3 ∴当θ- = ,即θ= 时,ymax=2+ . 3 2 6 4 5 3 所以四边形 OPDC 面积的最大值为 2+ . 4
(2).线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始________h 后,两车的距离 最小. 解析 如图所示:设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 AD=80t,BE= 50t. 因为 AB=200,所以 BD=200-80t, 问题就是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理得,DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-42000t+40000.

∴当 t=

70 时,DE 最小. 43

(3).如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为 曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求 A,ω的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 解

T 2π π π (1)依题意,有 A=2 3, =3,又 T= ,∴ω= .∴y=2 3sin x. 4 ω 6 6 2π 当 x=4 时,y=2 3sin =3,∴M(4,3).又 P(8,0),∴MP= 42+32=5 3
方法一 (2)如图,连接 MP,在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5. 设∠PMN=θ,则 0°<θ<60°. MN MP NP 由正弦定理得 = = , sin 120° sin θ sin(60°-θ) 10 3 10 3 ∴NP= sin θ,MN= sin(60°-θ), 3 3 10 3 10 3 ∴NP+MN= sin θ+ sin(60°-θ) 3 3 1 3 10 3 sin θ+ cos θ 10 3 = = sin(θ+60°). 2 2 3 3 ∵0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道 MNP 最长. 即将∠PMN 设计为 30°时,折线段赛道 MNP 最长. 1.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意. 分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关 知识正确求解.演算过程中,要算法简练,计算正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍. 2.应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

练习一 一、选择题 1.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为

(

)

5 3 3 7 B. C. D. 18 4 2 8 2.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后, 就可以计算出 A、B 两点的距离为 ( ) A.50 2 m B.50 3 m 25 2 C.25 2 m D. m 2 A. 1 3.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为 3 A. ( )

9 2 9 2 9 2 B. C. D.9 2 2 4 8 4.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 是 3 km,那么 x 的值为 ( ) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 5.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°方向,另一灯塔在船的南偏西 75°方向,则这 只船的速度是每小时 ( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 二、填空题 6 .把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边

AB 和 BC ,且

∠ABC = 120° ,则第三条边 AC 的最小值是____ 15 3 ________cm.
7.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km.30 2 km 8.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为 15°的看台的某一列的正前方, 从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的 距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒, 升 旗手应以____0.6____米/秒的速度匀速升旗.

三、解答题 9.如图,在△ABC 中,已知∠B=45°,

D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,

求 AB 的长.



在△ADC 中,AD=10, AC=14,DC=6,

由余弦定理得 cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 = =- , 2 2AD·DC 2×10×6

∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.

在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,

由正弦定理得

AB AD·sin∠ADB 10sin 60° AD = ,∴AB= = sin 45° sin∠ADB sin B sin B

10× =

3 2 =5 6. 2 2

10.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的 面积
A

S=S△ABD+S△CDB=

1 1 AB·ADsinA+ BC·CD·sinC 2 2

B

O C

D

∵A+C=180°,∴sinA=sinC

1 1 故 S= (AB·AD+BC·CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA 2 2
由余弦定理,在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA=20-16cosA

在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=52-48cosC

∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, ∴64cosA=-32,cosA=-

1 , 2

又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3

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11.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B、D 为两岛上的两座灯塔的 塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后 求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).



在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,

所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 所以△ABC≌△CBD,所以 BA=BD.

在△ABC 中,

AB AC AC·sin 60° 3 2+ 6 = ,即 AB= = , sin 15° sin∠BCA sin∠ABC 20

所以 BD=

3 2+ 6 ≈0.33(km).故 B、D 的距离约为 0.33 km. 20

12.如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线 航行. 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的南偏西 75°方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里? 解

如图,连接 A1B2,由题意知, A1B1=20,A2B2=10 2, 20 A1A2= ×30 2=10 2(海里).又∵∠B2A2A1=180°-120°=60°, 60 ∴△A1A2B2 是等边三角形,∠B1A1B2=105°-60°=45°.

2 2 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B2 2=A1B1+A1B2-2A1B1·A1B2cos 45°

=202+(10 2)2-2×20×10 2× 因此乙船的速度大小为

2 =200, 2

∴B1B2=10 2(海里).

10 2 ×60=30 2(海里/小时). 20 练习二

一、选择题 3 1.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为 ,设α为坡角,那么 cos α等于 4 A. 3 5 4 B. 5 3 C. 4 D. 4 3 ( )

2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20°,现高不变,将倾斜角改为 10°,则斜坡长为 ( A.1 B.2sin 10° C.2cos 10° D.cos 20° )

3.在△ABC 中,已知∠A=45°,AB= 2,BC=2,则∠C 等于

(

)

A.30°

B.60°

C.120°

D.30°或 150°

4.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东 方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原 地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北 偏东θ的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cosθ等于 A. 21 7 B. 21 14 C. 3 21 14 ( ) D. 21 28

二、填空题 5.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的 扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区 里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿

OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用

了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为_.50 7_______米. 6.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,

AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则 BC 的
长为________.8 2

7.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为

________.15 3

8.在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为____2 7____.

1 9.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为 3 2

- 3,则∠BAC=____.60°____.

三、解答题 10.如图所示,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁, 船向正南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南 偏东 30°方向,航行 30 海里后,在 C 处测得 小岛 A 在船的南偏东 45°方向,如果此船不改 变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?



在△ABC 中,BC=30,∠B=30°,

∠ACB=180°-45°=135°,所以∠A=15°. 由正弦定理,得

BC AC 30 AC = ,即 = , sin A sin B sin 15° sin 30°

所以 AC=

30sin 30° =15( 6+ 2). sin 15° 2 2

所以 A 到 BC 的距离为 AC·sin 45°=15( 6+ 2)× =15( 3+1)≈15×(1.732+1)=40.98(海里).

这个距离大于 38 海里,所以继续向南航行无触礁的危险 11.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南θ (cos θ = 2 ) 方向 300 千米的海面 P 处,并以 20 千米/小时的速度向西偏北 45°方向移动.台 10 风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 千米,并以 10 千米/小时的速度不断增大,问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭? 解: 如图,设在时刻 t (小时)台风中心为 Q, 此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(千米). 若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭, 则 OQ≤10t+60. 由余弦定理知

OQ2=PQ2+PO2-2·PQ·PO·cos∠OPQ.
∵PO=300,PQ=20t, cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45° = 2 2 × + 10 2 1- 2 2 4 × = , 102 2 5

12.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域,点 E 正北 55 海 里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ(其中 sinθ= 26 ,0°<θ<90°)且与点 A 相距 10 13海里的位置 C. 26 (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)如图,AB=40 2,AC=10 13,∠BAC=θ 由于 0°<θ<90°,

所以 cosθ=

26 5 26 1- 26 2= . 26

由余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB·AC·cosθ=10 5. 所以船的行驶速度为 10 5 2 =15 5(海里/小时). 3

(2)方法一

如图所示, 以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、 C 的坐标分别是 B(x1, y1),

C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.
由题设有, x1=y1= 2 AB=40, 2

x2=ACcos∠CAD
=10 13cos(45°-θ)=30,

y2=ACsin∠CAD
=10 13sin(45°-θ)=20, 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= |0+55-40| 1+4 =3 5<7,

所以船会进入警戒水域. 方法二 易求点 B 坐标为(40,40)(方法同解法一).

在△ABC 中,由正弦定理得 sinB=

AC 10 ·sinθ= , BC 10

∴cosB= 1-sin2B= sinB 1 = , cosB 3 1+

1-

1 3 10 = . 10 10

即 tanB=

1 3=2. ∴kBC=tan(45°+B)= 1 1- 3

∴直线 BC 的方程为 y-40=2(x-40),即 2x-y-40=0,以下同解法一.

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