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2014创新设计(苏教版)第九章 第3讲 圆的方程


第3讲 圆的方程

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.圆的标准方程 (a,b) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为______,半

径为r的圆的标准方程.
(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)

的圆的标准方程 为___________. x2+y2=r2

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2.圆的一般方程
方程 x +y +Dx+ Ey+F=0 D2+E2-4F ,故有: 4
? D E? ?- ,- ? 2 2? ? 时,方程表示以_____________为圆心,以
2 2

? D? 2 ? E? 2 可变形为 ?x+ 2 ? + ?y+ 2 ? = ? ? ? ?

当(1)当 D2+E2-4F>0

D2+E2-4F 2 ______________为半径的圆;
? D E? ?- ,- ? 2? ? 2 时,方程表示一个点______________;

(2)当 D2+E2-4F=0

(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
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3.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点P在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;

(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点P在圆内.
4.确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程;

(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.

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【助学· 微博】 一个复习指导 本节复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素,注意狠抓 基础知识和通性通法的训练,并在此基础上灵活应用圆的

知识解决其他问题.主要考查待定系数法求圆的方程.
三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

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考点自测
1.(2011· 四川卷)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是________. 解析 由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13.故圆心坐 标为(2,-3).

答案

(2,-3)

2.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的m的取值范围是 ________.
解析 原方程表示圆?(4m)2+(-2)2-4×5m>0, 解得 m<

1 或 m>1. 4

答案

? 1? ?-∞, ?∪(1,+∞) 4? ?
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3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范
围是________. 解析 答案 因为点(1,1)在圆的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-

1<a<1.
(-1,1)
4.(2012· 苏北四市第一次调研)已知圆心在 x 轴上,半径为 2的 圆 C 位于 y 轴的右侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 C 的标 准方程为________.
解析 |a| 设圆心为(a,0)(a>0),则由题意,得 = 2(a>0),得 2

a=2,圆的标准方程为(x-2)2+y2=2.

答案

(x-2)2+y2=2
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5.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C
上各点到l的距离的最小值为________.
解析 由题意得 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心

|1-1+4| (1,1)到直线 l 的距离减去半径,即 - 2= 2. 2
答案 2

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考向一

求圆的方程

【例1】 (2008· 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)
=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三 个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程; (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结 论.

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(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b),

令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且Δ>0, 解得b<1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0得x2+Dx+F=0, 这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b. 令x=0得y2+Ey+F=0,此方程有一个根为b. 代入得出E=-b-1. ∴圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圆C必过定点(0,1)和(-2,1). 证明如下:将(0,1)代入圆C的方程, 得左边=02+12+2×0-(b+1)+b=0,右边=0, ∴圆C必过定点(0,1).同理可证圆C必过定点(-2,1).
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[方法总结] 求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找
确定圆的两个几何要素,即圆心和半径,待定系数法也是 经常使用的方法.在一些问题中借助圆的平面几何中的知

识可以简化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一
定在这两点的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识 的应用.

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【训练 1】 已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分 成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心到直线 l:x-2y 5 =0 的距离为 ,求该圆的方程. 5



设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则圆心 C(a,b)到 x 轴与 y 轴距离为|b|,|a|. 由条件②得圆 C 被轴所截得劣弧所对的圆心角为 90° , 从而圆 C 截 x 轴所得弦长为 2r,所以 r2=2b2. 又圆 C 被 y 轴截得弦长为 2,所以 r2=a2+1. 从而有 2b2-a2=1. ①

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5 又因为圆心(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为 , 5 |a-2b| 5 所以 = ,即 a-2b=± 1. 5 5
?a=-1, ? ①②联立解得? ?b=-1 ? ?a=1, ? 或? ?b=1, ?

② 于是 r2=2b2=2.

故所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2 或(x-1)2+(y- 1)2=2

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考向二

与圆有关的最值与范围问题

【例 2】 已知圆心在原点的圆 O 与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; → (2)若圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆 O 内的动点 P 使|AP|、 → → → → |OP|、|BP|成等比数列,求PA· 的取值范围. PB
解 4 4 (1)圆 O 的半径 r=d= 2=2=2, 1+?- 3?

所以圆 O 的方程为 x2+y2=4.

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(2)在 x2+y2=4 中,令 y=0,得 x=± 2, 所以 A(-2,0)、B(2,0). 设 P(x0,y0)是圆 O 内任一点,则 x2+y2≤4. 0 0 →2 → → 又由|OP| =|AP|· |,得 |BP x2+y2= ?x0+2?2+y2· ?x0-2?2+y2, 0 0 0 0 整理,得 x2-y2=2. 0 0 → → 所以PA· =(x0+2,y0)· 0-2,y0)=x2+y2-4=2(y2-1)∈ PB (x 0 0 0 [-2,0).其中 0≤y2<1. 0

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[方法总结] 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b ①形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值 x-a 问题;②形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截 距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转 化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

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【训练2】 已知方程x2+y2-2tx+2y+2t2-2t+1=0表示圆.
(1)求t的取值范围; (2)求其中面积最大的圆的方程; (3)若点P(1,-1)恒在所给的圆内,求t的取值范围. 解 (1)圆的方程为(x-t)2+(y+1)2=2t-t2,

所以有2t-t2>0,即t2-2t<0,
解得t的取值范围是(0,2). (2)S=(2t-t2)π=-(t-1)2π+π 当t=1时,面积S取最大值,此时所求圆的方程为 (x-1)2+(y+1)2=1. (3)由题意,得(1-t)2+(-1+1)2<2t-t2,
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2 2 即 2t -4t+1<0,解得 1- <t<1+ . 2 2
2

又 0<t<2,故所求

? t 的取值范围是?1- ?

2 2? ,1+ ?. 2 2?

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考向三

与圆有关的综合性应用

2 【例 3】 (2013· 南京师大附中)设点 C 为曲线 y=x(x>0)上任一 点,以点 C 为圆心的圆与 x 轴交于点 E、A,与 y 轴交于点 E、B. (1)证明:多边形 EACB 的面积是定值,并求出这个定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若 EM=EN, 求圆 C 的方程.

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(1)证明

由题意, 可设 C

? 2? 点坐标为?t, ?(t>0), 因为以点 t? ?

C

为圆心的圆交 x 轴于点 E、A,交 y 轴于点 E、B, 所以点 E 即为原点 O,所以圆的半径 R=OC= C 的方程为(x-t) 从而
2

4 t2+ 2,圆 t

? 2?2 2 4 +?y- ? =t + 2. t? t ?

? 4? A(2t,0),B?0, ?.由 t? ?

CE=CA=CB 知,

圆心 C 在 Rt△AEB 的斜边 AB 上,所以多边形 EACB 的面 1 1 4 积 S= EA· EB= · =4 为定值. 2t· 2 2 t
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(2)解

由 EM=EN 知,点 E 在线段 MN 的垂直平分线上,

2 t 2 即直线 EC 是线段 MN 的垂直平分线,又 kEC= = 2, t t kMN=-2,所以由 kEC·MN=-1(t>0),得 t=2. k 所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

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[方法总结] 求圆的方程时一般考虑待定系数法,但如果能
借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路化难 为易,而且还能减少计算量.如圆的弦长,可借助弦长的

一半、半径、弦心距构成的直角三角形,利用勾股定理求
解.

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【训练3】 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交 于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心 坐标及半径.
解 法一 将 x=3-2y 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2 -20y+12+m=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: 12+m y1+y2=4,y1y2= .∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 5 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. -27+4m ∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= . 5 -27+4m 12+m 故 + =0,解得 m=3, 5 5
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此时
法二

? 1 ? Δ>0,圆心坐标为?- ,3?,半径 ? 2 ?

5 r= . 2

如图所示,设弦 PQ 中点为 M,

设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由法一知,y1+y2=4,x1+x2=-2, x1+x2 y1+y2 ∴x0= =-1,y0= =2. 2 2 解得M的坐标为(-1,2).

则以PQ为直径的圆可设为 (x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.

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∴(0+1)2+(0-2)2=r2, 即 r2=5,MQ2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,O1Q2=O1M2+MQ2.
?2 1+?-6?2-4m ? 1 ∴ =?- +1? +(3-2)2+5. 4 ? 2 ? ? 1 ? 5 ∴m=3,∴半径为 ,圆心为?- ,3? 2 ? 2 ?

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热点突破23

与圆有关问题的解法

若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列 方程,通常选用圆的标准方程;若已知条件为圆经过三点,一 般采用一般式,但已知点的坐标较复杂时,采用一般式计算过 繁,可以采用标准式.

【示例】 (2010· 大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,
过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对 称点为D.

(1)证明:点F在直线BD上;
→ → 8 (2)设FA· = ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. FB 9
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[审题与转化] 第一步:(1)设出 A、B、D 的坐标及 l 的方程, → → 8 进而表示出直线 BD 的方程.再验证;(2)由FA· = 可求直 FB 9 线 l,BD 的方程,再由 A、D 关于 x 轴对称可设圆心 M(t,0), 则 M 到直线 l,BD 的距离相等.

[规范解答] 第二步:设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的
方程为x=my-1(m≠0). (1)证明 将x=my-1代入y2=4x ①
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并整理得y2-4my+4=0,
从而y1+y2=4m,y1y2=4.

y2+y1 直线 BD 的方程为 y-y2= · (x-x2), x2-x1 4 ? y2 ? 2 ?x- 即 y-y2= · 4 ?. ? y2-y1 ? y1 y2 令 y=0,得 x= =1. 4 所以点 F(1,0)在直线 BD 上. (2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=1. → → 因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),

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→ → FA· =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4 FB =8-4m2, 8 4 故 8-4m = ,解得 m=± . 9 3
2

所以 l 的方程为 3x+4y+3=0 或 3x-4y+3=0. 4 又由①知 y2-y1=± ?4m?2-4×4=± 7, 3 4 3 故直线 BD 的斜率 =± , y2-y1 7

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因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0. 因为 KF 为∠BKD 的平分线, 故可设圆心 M(t,0)(-1<t<1), 3|t+1| 3|t-1| M(t,0)到 l 及 BD 的距离分别为 , . 5 4 3|t+1| 3|t-1| 1 由 = 得 t= 或 t=9(舍去), 5 4 9 3|t+1| 2 故圆 M 的半径 r= = . 5 3

所以圆 M

? 1?2 2 4 的方程为?x-9? +y = . 9 ? ?

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[反思与回顾] 第三步:本题考查直线方程、圆的方程、抛

物线方程、直线与曲线的位置关系、平面向量的数量积等知
识,考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.

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高考经典题组训练
1.(2010· 福建卷改编)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原 点的圆的方程为________.

解析
答案

圆心为(1,0),可设方程为(x-1)2+y2=r2,则由圆过原
(x-1)2+y2=1

点,得r2=1,圆的方程为(x-1)2+y2=1. 2.(2011· 辽宁卷)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴 上,则C的方程为________.
解析 线段 AB 的中垂线方程为 2x-y-4=0, x 轴的交点(2,0) 与

即为圆心 C 的坐标,所以半径为 CB= 10,所以圆 C 的方程为 (x-2)2+y2=10.

答案

(x-2)2+y2=10
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3.(2010· 新课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于
点B(2,1),则圆C的方程为________.
解析 由已知圆 C 过 A(4,1),B(2,1)两点,

∴直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心 C, 又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1),∴kBC=-1, ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2),得 y=-x+3,
?y=-x+3 ? 由? ?x=3 ? ?x=3 ? 解得? ?y=0 ?

,得圆心 C 的坐标为(3,0),

∴r=BC= ?3-2?2+?0-1?2= 2, ∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.

答案

(x-3)2+y2=2
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4.(2010· 山东卷)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴正半轴上,直 线 l:y=x-1 被圆所截得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程 为________.
解析 设圆的方程为(x-a)2 +y2 =r2(a>0),则由题意,得 a=3(a>0),r2=(a-1)2=4,所
?|a-1| ? ? ?2 +2=(a-1)2,解得 ? ? ? 2 ?

求圆的方程为(x-3)2+y2=4.

答案

(x-3)2+y2=4

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5.(2011· 大纲版全国卷)已知 O 为坐标原点,F 为 y2 椭圆 C:x2+ =1 在 y 轴正半轴上的焦点, 2 过 F 且斜率为- 2的直线 l 与 C 交于 A、 两 B → → → 点,点 P 满足OA+OB+OP=0. (1)证明:点 P 在 C 上; (2)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q, 证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

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证明

(1)易知 F(0,1),故 l 的方程为 y=- 2x+1,

y2 代入 x2+ =1 并化简得 4x2-2 2x-1=0. 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), 2- 6 2+ 6 则 x1= ,x2= , 4 4 2 x1+x2= ,y1+y2=- 2(x1+x2)+2=1, 2 2 由题意得:x3=-(x1+x2)=- ,y3=-(y1+y2)=-1. 2 所以点 P
? 的坐标为?- ? ? 2 ,-1?. 2 ?

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经验证: 点 (2)由
? P?- ?

? P?- ?

? y2 2 故点 P 在椭圆 C 上. ,-1?满足方程 x2+ 2 =1, 2 ?

? ? 2 ? 2 ,-1?和题设知,Q? ,1?, 2 ? ? 2 ?

2 PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 y=- x 2 设 AB 的中点为 M,则
? M? ?



2 1? , ?, 4 2? ②

2 1 AB 的垂直平分线 l2 的方程为 y= x+ 2 4 由①、②得 l1、l2 的交点为
? N?- ?

2 1? , ?. 8 8?

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|NP|=

? ?- ?

1?2 3 11 2 2 ?2 ? + ? + ?-1- 8? = 8 , ? 2 8 ? ?
2

3 2 3 2 |AB|= 1+?- 2? · 2-x1|= |x ,|AM|= , 2 4 |MN|= |NA|=
? ? ?

2 2 ?2 ?1 1 ?2 3 3 + ? + ?2-8 ? = 8 , ? 4 8 ? ?
2 2

3 11 |AM| +|MN| = ,故|NP|=|NA|. 8

又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,|NA|为半径的圆上.

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第九章第3讲圆的方程

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苏教版高二+圆的综合应用

的方程. ,求直 2 2 第3页 24.已知⊙O:x +y...请说明理由. 第6页 苏教版高二 圆的综合应用参考...(2014?济南一模)设圆 C: (x﹣3) +(y﹣5) =...