河南省安阳市第二中学2011-2012学年高二上学期期末考试文科数学试卷

河南省安阳市第二中学 2011-2012 学年度第一学期期末考试高二文科数学试卷
一、选择题：本大题共 20 小题，每小题 4 分，共 80 分。 1.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 2
B． 4 2 C． 2 3 ）

（

）

A． 3 2

r />D． 4 3

2. 已知命题 p ： 对?x ? R，有 cos x ? 1 ，则（ A． ?p：?x ? R，使 cos x ? 1 C． ?p：?x ? R，使 cos x ? 1 3. 若a ? R ，下列不等式恒成立的是 A． a2 ? 1 ? a B．
1 ?1 a ?1
2

B． ?p：对?x ? R，有 cos x ? 1 D． ?p：对?x ? R，有 cos x ? 1 （ ） C． a2 ? 9 ? 6a D． lg(a ? 1) ? lg | 2a |
2

4.关于命题 p : ?x ? R ，使 sin x ? cos x ? 是（ ）

2 ；命题 q : ?x ? R ，都有 9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ．有下列结论中正确的

A．命题“ p ? q ”是真命题 C．命题“ ?p ? q ”是真命题

B．命题“ p ? ?q ”是真命题 D．命题“ ?p ? ?q ”是假命题 （ ）

5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 S3 ? 9 ， S6 ? 36 ，则 a7 ? a8 ? a9 ? A.64 B.45 C.36 D.27 ）

6.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x ? ?2 ，则抛物线的方程是 （ A． y ? ?8 x
2

B． y ? 8 x
2

C． y ? ?4 x
2

D． y ? 4 x
2

7．椭圆的长轴为 A1 A2 ，B 为短轴一端点，若 ?A1 BA2 ? 120 ? ，则椭圆的离心率为（ 1 A． 2 B． 3 3 C． 3 2 D． 6 3 ）

）

8.若 k ? R ，则 k ? 3 是方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的（ k ?3 k ?3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ）

9.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

? x ? y ? 1 ? 0, ? 10.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2, ，则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 1, ?
A. 3 B. 5 C. 4 D. 6

（

）

11．椭圆 A． 20

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直，则△ PF1 F2 的面积为（ 49 24
B． 22 C． 28 D． 24 （ ）

）

12. 已知双曲线 A．

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ，则双曲线的离心率为 2 3 a b
B．

5 4

5 3

C．

3 4

D．

3 2
）

13.设 S n 为等比数列 ? an ? 的前 n 项和，已知 3S3 ? a4 ? 2 ， 3S2 ? a3 ? 2 ，则公比 q ? （ A． 3
2

B. 4

C. 5

D. 6

14.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 M ， N 为抛物线上的一点，且 NF ?

3 MN ，则 2

?NMF ?
A. 45
?

（

） B. 60
?

C. 30 （ ）

?

D. 75

?

15．若正实数 a, b 满足 a ? b ? 1, 则

A．

1 1 ? 有最大值 4 a b

B． ab 有最小值

1 4

C． a ? b 有最大值 2

D． a ? b 有最小值
2 2

2 2

16.一个圆形纸片，圆心为 O ， F 为圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平 纸片，折痕为 CD ，设 CD 与 OM 交于 P ，则 P 的轨迹是( A. 双曲线 17. 双曲线 B.椭圆 C.抛物线 ) D.圆 )

x2 y2 b2 ?1 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率是 2，则 的最小值为( 3a a2 b
B. 1 C.

A．

3 3

2 3 3

D. 2

18. 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ 36 9
B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0

）

A. x ? 2 y ? 0

D. x ? 2 y ? 8 ? 0 ）

19.已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ，且 an ? A. an ?

1 1 an ?1 ? ( ) n (n ? 2 ，且 n ? N * ), 则数列{ an }的通项公式为 （ 3 3
C. an ? n ? 2 D. an ?

3n n?2

B. an ? (n ? 2)3

n

n?2 3n

20.已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点， 1 , F2 分别是双曲线的左、 F 右焦点， M 为 ?PF1 F2 点 a2 b2

的内心，若 S ?MPF1 ? S ?MPF2 ? A． 2 B．

1 S ?MF1F2 成立，则双曲线的离心率为 2
C． 3 D． 4

（

）

5 2

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 21. 抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 。

22.P 是椭圆上一定点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 ?PF1F2 ? 600 , ?PF2 F1 ? 300 ,则椭圆的离心率为 ____ .

?x ? y ?1 ? 0 ? 23.在平面直角坐标系中，若不等式组 ? x ? 1 ? 0 （ ? 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
值为 24.设等差数列 ? an ? 的首项及公差均是正整数，前 n 项和为 S n ，且 a1 ? 1 ， a4 ? 6 ， S3 ? 12 ，则 a2012 = 25. 有下列四个命题： ①“若 xy ? ?1 ，则 x ? 1 或 y ? ?1 ”是假命题；②“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”； ③“ x 2 ? 1 ”是“ x ? ?1 ”的充分不必要条件；④“全等三角形相似”的否命题是“全等三角形不相似”， 其中正确命题的序号是 .(写出你认为正确的所有命题序号) ．

三．解答题：本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 26. (12 分)已知 p :|1 ? 范围.

x ?1 |? 3, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 (m ? 0) ，若 q 是 p 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值 2

27.（12 分）已知椭圆的两焦点为 F1 ( ? 3 ,0) ， F2 ( 3 ,0) ，离心率 e ?

3 ． （1）求此椭圆的方程； （2）设直 2

线 l : y ? x ? m ，若 l 与此椭圆相交于 P ， Q 两点，且 PQ 等于椭圆的短轴长，求 m 的值；

28.（13 分）已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a3 ? a7 ? 18 ，且 a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n (n ? 2), （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）若 c n ? 2
n ?1

? a n ，求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn 。

29.（本小题满分 13 分）已知椭圆 C：

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

6 ，椭圆 C 上任意一点到椭圆两焦点的 3

距离和为 6. （1） 求椭圆 C 的方程； （2） 设直线 l ： y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A,B 两点， P(0,1)， | PA |?| PB | ， 点 且 求直线 l 的方程.

安阳市第二中学 2011-2012 学年度第一学期期末考试

高二文科数学
参考答案
一、D C A B B 二、21. BDA B C 22. DBB CC 23. 3 B C D DA 24. 4024 25. ② 得 ?m ? 1 ? x ? m ? 1 ···6 分 ··

15 16

3 ?1

x ?1 |? 3 得 ?3 ? x ? 9 。由 x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 2 ?1 ? m ? ?3 ∵q 是 p 的必要而不充分条件∴由 ? 得m?8 ?1 ? m ? 9 又 m ? 8 时命题成立。∴实数 m 的取值范围是 m ? 8
三、26、解：由 |1 ?
2 2

···12 分 ··

x y c 3 ，┄┄（4 分） ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ，则 c ? 3 ， ? 2 a 2 a b x2 ? y2 ? 1． ┄┄┄┄┄（5 分） ? a ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ?所求椭圆方程为 4 ?y ? x ? m 2 2 （2）由 ? 2 ，消去 y，得 5 x ? 8mx ? 4(m ? 1) ? 0 ， 2 ?x ? 4 y ? 4
27.解：设椭圆方程为 则 ? ? 64 m ? 80(m ? 1) ? 0 得 m 2 ? 5
2 2

（*）

设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ) ，则 x1 ? x 2 ? ?
PQ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(?

4(m 2 ? 1) 8m ， x1 x 2 ? ， y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 ，┄┄┄┄┄┄┄（8 分） 5 5

8m 2 16(m 2 ? 1) ) ? ]?2 5 5

30 15 ，满足（*）? m ? ? ┄┄┄┄┄┄┄（12 分） . 4 8 n 28. 解： （Ⅰ） a n ? 2n ? 1 （Ⅱ） Tn ? (2n ? 3) ? 2 ? 3
解得． m 2 ?
c 6 ，解得 a ? 3, c ? 6 ，所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ?（2 分） ? a 3 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 ???????????（3 分） 9 3 x ? x 2 y1 ? y 2 （2）设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ，则 AB 中点为 E ( 1 , ) 2 2 ?x 2 ? 3 y 2 ? 9 12k 3 由? 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 ，则 x1 ? x 2 ? （5 分） , x1 x 2 ? 2 y ? kx ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ?

29.解： （1）由已知 2a ? 6,

直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ? ? 144k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 ，解得 k 2 ? 而 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? k ?
12k
2

1 ??（6 分） 9

1 ? 3k 1 ? 3k 2 6k 2 所以 E 点坐标为 ( ,? ) ????????????????????（8 分） 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 ? ?1 2 ? k ? ?1 ，?????（10 分） ∵ | PA |?| PB | ∴ PE ? AB , k PE ? k AB ? ?1 ∴ 1 ? 3k 6k
1 ? 3k 2

?4??

4

解得： k ? ?1 ，满足 k 2 ?

1 ，直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 ?????（12 分） 9