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2015浙江高考数学(理)试题及答案

时间:2015-07-12


2015 浙江高考数学(理)试题及答案
满分: 班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________ 一、单选题(共 8 小题) 1.已知集合
A. B. C. D. ,则 ( )

2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )

A. B. C. D.

/>3.已知

是等差数列,公差

不为零,前 项和是

,若

成等比数列,则( )

A. B. C. D.

4.命题“
A. B. C. D. 且 或 且 或



的否定形式是( )

5.如图,设抛物线
点 在抛物线上,点

的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 在 轴上,则 与 的面积之比是( )

,其中

A.

B.

C.

D.

6.设

是有限集,定义

,其中

表示有限

集 A 中的元素个数, 命题① :对任意有限集 命题② :对任意有限集 A.命题① 和命题② 都成立 B.命题① 和命题② 都不成立 C.命题① 成立,命题② 不成立 D.命题① 不成立,命题② 成立 ,“ , ”是“ ”的充分必要条件; ,( )

7.存在函数
A. B. C. D.

满足,对任意

都有( )

8.如图,已知





的中点,沿直线



折成

,所成二面角

的平面角为

,则( )

A. B. C. D.

二、填空题(共 7 小题)
9.双曲线 的焦距是 ,渐近线方程是 .

10.已知函数

,则



的最小值是



11.函数

的最小正周期是

,单调递减区间是



12.若

,则



13.如图,三棱锥

中, 所成的角的余弦值

,点

分别是

的中点,则异面直线





14.若实数

满足

,则

的最小值是



15.已知 任意 ,

是空间单位向量, , .

,若空间向量 满足 ,则

,且对于 ,

三、解答题(共 5 小题)
16.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= (Ⅰ )求 tanC 的值; (Ⅱ )若 ABC 的面积为 7,求 b 的值。 , = .

17.如图,在三棱柱

-

中, 的中点. ;

BAC=

,AB=AC=2,

A=4,

在底面 ABC

的射影为 BC 的中点,D 为 (Ⅰ )证明: D 平面

(Ⅱ )求二面角

-BD-

的平面角的余弦值.

18.已知函数 f(x)=

+ax+b(a,b R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。

(Ⅰ )证明:当|a| 2 时,M(a,b) 2; (Ⅱ )当 a,b 满足 M(a,b) 2,求|a|+|b|的最大值.

19.已知椭圆

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+

对称.

(Ⅰ )求实数 m 的取值范围;

(Ⅱ )求 AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

20.已知数列 (Ⅰ )证明:1 (Ⅱ )设数列

满足

=



= );

-

(n



(n 的前 n 项和为

,证明

(n

).

答案部分
1.考点:集合的运算
试题解析: 由题意得, ,选 C.

答案:C

2.考点:空间几何体的三视图与直观图
试题解析: 由题意得,该几何体为一立方体与四棱锥的组合 ∴ 体积 故选 C. ,

答案:C

3.考点:数列综合应用
试题解析: ∵ 等差数列 ∴ ∴ 等等比数列,

故选 B.

答案:B

4.考点:全称量词与存在性量词
试题解析: 根据全称命题的否定是特称命题,可知选 D.

答案:D

5.考点:抛物线
试题解析: ,故选 A.

答案:A

6.考点:命题及其关系
试题解析: 命题① 显然正确,通过如下文氏图亦可知 表示的区域不大于 的区域,

故命题② 也正确,故选 A.

答案:A

7.考点:函数综合
试题解析: A:取 x=0,可知 可知 ,即 ,即 ,矛盾, ,再取 ,

∴ A 错误;同理可知 B 错误, C:取 x=1,可知 可知 D:令 符合题意,故选 D ,再取 x=-1, C 错误, ,矛盾,∴ ,∴ ,

答案:D

8.考点:空间的角
试题解析: 根据折叠过程可知 而根据二面角的定义得 当且仅当 与 的大小关系是不确定的, ,

时,等号成立,故选 B.

答案:B

9.考点:双曲线
试题解析: 由题意得: ∴ 焦距为 , , . ,

,渐近 线方程为

答案:



.

10.考点:分段函数,抽象函数与复合函数
试题解析: , 当 当且仅当 当 当且仅当 故 , 时,等号成立, , 时,等号成立,

最小值为

答案:0,

11.考点:三角函数综合
试题解析: ,故最小正周期为 单调递减区间为 , , .

答案:

12.考点:对数与对数函数
试题解析: ∵ ∴ ,∴ . ,

答案:

13.考点:空间的角
试题解析: 如下图,连结 DN,取 DN 中点 P,连结 PM,PC, 则可知 易得 即为异面直线 AN,CM 所成角(或其补角) , ,

,∴



即异面直线 AN,CM 所成角的余弦值为

答案:

14.考点:线性规划
试题解析: 表示圆 易得直线 当 及其内部, 与圆相离,故 时, , ,

如下图所示,可行域为小的弓形内部, 目标函数 当 时, , ,则可知当 , 时, , ,

可行域为大的弓形内部,目标函数

同理可知当



时,



综上所述,

.

答案:3

15.考点:数量积的应用
试题解析: 问题等价于 两边平方即 当且仅当 时取到最小值 1, 时,取到最小值 1,



答案:1,2,

16.考点:余弦定理正弦定理
试题解析: (Ⅰ )由 及正弦定理得

,所以 又由 得 解得 (Ⅱ )由 . 又因为 由正弦定理得 所以 ,故 ,即

. , ,



,所以 ,又因为

.

答案:(Ⅰ )tanC=2;(Ⅱ )b=3

17.考点:立体几何综合
试题解析: (Ⅰ )设 E 为 BC 的中点, 由题意的 因为 AB=AC,所以 由 D,E 分别为 ,从而 所以 又因为 (Ⅱ )方法一: 作 由 由 ,得 . . 为平行四边形.故 ,所以 .故 的中点,得 , . .

由 由

,因此 ,得

的平面角. ,

由余弦定理得

方法二: 以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA,EB 为 x,y 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系 E-xyz,如图所示. 由题意知各点坐标如下:

因此 设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为



可取



可取

于是

.

由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,

故二面角

-BD-

的平面角的余弦值为

答案:见解析

18.考点:不等式的性质函数的单调性与最值
试题解析: (Ⅰ )在 由|a| 2,得 ,得对称轴为直线 上单调,所以 .

当 即 当 即 综上,当 (Ⅱ )由 ,由 得 当 即 所以 , 得

,得

,得

,故

上的最大值为 2, 的最大值为 3.

答案:(Ⅰ )见解析;(Ⅱ )3

19.考点:圆锥曲线综合
试题解析: (Ⅰ )由题意知 ,可设直线 AB 的方程为 ,



消去 y,得

因为直线 所以 将 AB 中点 解得 ② 由① 得 (Ⅱ )令 ,

与椭圆 ,①

有两个不同的交点,

代入直线方程 y=mx+ ②







且 设 所以

到直线 AB 的距离为 ,

.

, 时,等号成立. 面积的最大值为

当且仅当 故

答案:(Ⅰ )

;(Ⅱ )

20.考点:数列综合应用
试题解析: (Ⅰ )由题意得 ,故 由 由 即1 (Ⅱ )由 由 所以 因此 ② 由① 得 和1 , ② (n ). ,所以 得 ① 得 . 得 , ,即

答案:见解析


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