nbhkdz.com冰点文库

辽宁省大连二十四中2015届高考数学模拟试卷(理科)

时间:2016-07-25


辽宁省大连二十四中 2015 届高考数学模拟试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 2. (5

分)若复数 a ﹣1+(a﹣1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a=() A.±1 B . ﹣1 C. 0 D.1 3. (5 分)有下列关于三角函数的命题 P1:?x∈R,x≠kπ+ P2:函数 y=sin(x﹣ (k∈Z) ,若 tanx>0,则 sin2x>0; )与函数 y=cosx 的图象相同;
2

P3:?x0∈R,2cosx0=3; P4:函数 y=|cosx|(x∈R)的最小正周期为 2π,其中真命题是() A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3 4. (5 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是()

D.P1,P2

A.3

B. 4

C. 5

D.6

5. (5 分)已知函数 y=2sinx 的定义域为,值域为,则 b﹣a 的值不可能是() A. B. π C . 2π D.

6. (5 分)某校通过随机询问 100 名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动,得到所示联表: 做不到“光盘”能做到“光盘”

男45 女30
2

10 15

P(K ≥k)0.10 0.05 0.01 k 2.7063.8416.635 附:K =
2

,则下列结论正确的是()

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关” B. 有 99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过 10%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”

7. (5 分)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣2,则 k 的值为()

A.1

B . ﹣1

C. 2

D.﹣2

8. (5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 3,∠B=60°,沿对角线 AC 折成一个四面体,使得平面 ACD⊥平面 ABD,则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为() A.15π B. C. π D.6π

9. (5 分) 定义在 (0, +∞) 上的单调递减函数 ( f x) , 若( f x) 的导函数存在且满足 则下列不等式成立的是() A.3f(2)<2f(3) B.3f(4)<4f(3) C.2f(3)<3f(4) D.f(2)<2f(1)



10. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F2 与双

曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M, 若点 M 在以线段 F1F2 为直径的 圆外,则双曲线离心率的取值范围是() A.(1, ) B.( ,+∞) C.( ,2) D.(2,+∞) 11. (5 分)如图,长方形 ABCD 的长 AD=2x,宽 AB=x(x≥1) ,线段 MN 的长度为 1,端点 M、N 在长方形 ABCD 的四边上滑动,当 M、N 沿长方形的四边滑动一周时,线段 MN 的中 点 P 所形成的轨迹为 G,记 G 的周长与 G 围成的面积数值的差为 y,则函数 y=f(x)的图象 大致为()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)已知 f(x)=

,g(x)= (k∈N ) ,对任意的 c>1,存在实数 a,b 满足 0

*

<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b) ,则 k 的最大值为() A.2 B. 3 C. 4

D.5

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

14. (5 分)已知点 G 是△ ABC 的重心,若∠A=120°,

?

=﹣2,则|

|的最小值是.

15. (5 分)某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是. (用数字作答) 16. (5 分)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直 径的圆过点(0,2) ,则 C 的方程为.
2

三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (bn﹣1)且 a2=b1, a5=b2 (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=an?bn,设 Tn 为{cn}的前 n 项和,求 Tn.

18. (12 分)某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年 3 月份参加义务植树活动的职工 中,随机抽取 M 名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出了频数与频率统 计表和频率分布直方图如图: (1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在 19. (12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=2,AA1=2 ,D 是 AA1 的中点,BD 与 AB1 交于点 O,且 CO⊥ABB1A1 平面. (1)证明:BC⊥AB1; (2)若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(



) .

(1)求椭圆方程; (2)设不过原点 O 的直线 l:y=kx+m(k≠0) ,与该椭圆交于 P、Q 两点,直线 OP、OQ 的斜 2 率依次为 k1、k2,满足 4k=k1+k2,试问:当 k 变化时,m 是否为定值?若是,求出此定值, 并证明你的结论;若不是,请说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=

和直线 l:y=m(x﹣1) .

(1)当曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 l 垂直时,求原点 O 到直线 l 的距离; (2)若对于任意的 x∈ 故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查集合的交集和并集及其运算,注意集合元素的互异性,以及 对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用. 2. (5 分)若复数 a ﹣1+(a﹣1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a=() A.±1 B . ﹣1 C. 0 D.1 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 复数是纯虚数,实部为 0 虚部不为 0,求出 a 的值即可. 2 解答: 解:因为复数 a ﹣1+(a﹣1)i(i 为虚数单位)是纯虚数, 2 所以 a ﹣1=0 且 a﹣1≠0,解得 a=﹣1. 故选 B. 点评: 本题考查复数的基本概念的应用,实部为 0 并且虚部不为 0,是解题的关键.
2

3. (5 分)有下列关于三角函数的命题 P1:?x∈R,x≠kπ+ P2:函数 y=sin(x﹣ (k∈Z) ,若 tanx>0,则 sin2x>0; )与函数 y=cosx 的图象相同;

P3:?x0∈R,2cosx0=3; P4:函数 y=|cosx|(x∈R)的最小正周期为 2π,其中真命题是() A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;三角函数的图像与性质;简易逻辑.

D.P1,P2

分析: 运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系,即可化简判断 P1;运用三 角函数的诱导公式化简,即可判断 P2;由余弦函数的值域,即可判断 P3;运用周期函数的定 义,结合诱导公式,即可判断 P4. 解答: 解:对于 P1,?x∈R,x≠kπ+ = = (k∈Z) ,若 tanx>0,则 sin2x=2sinxcosx

>0,则 P1 为真命题; )=sin(2π+x﹣ )=sin(x+ )=cosx,则 P2 为真命题;

对于 P2,函数 y=sin(x﹣

对于 P3,由于 cosx∈, ?,则 P3 为假命题; 对于 P4,函数 y=|cosx|(x∈R) ,f(x+π)=|cos(x+π)|=|﹣cosx|=|cosx|=f(x) , 则 f(x)的最小正周期为 π,则 P4 为假命题. 故选 D. 点评: 本题考查全称性命题和存在性命题的真假,以及三角函数的图象和周期,运用二倍 角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键,属于基础题和易错题. 4. (5 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求满足 P=1+3+…+(2n﹣1)>20 的最小 n 值,利用等差数列的前 n 项 和公式求得 P,根据 P>20,确定最小的 n 值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求满足 P=1+3+…+(2n﹣1)>20 的最小 n 值, ∵P=1+3+…+(2n﹣1)= ×n=n >20,∴n≥5,
2

故输出的 n=5. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键. 5. (5 分)已知函数 y=2sinx 的定义域为,值域为,则 b﹣a 的值不可能是() A. B. π C . 2π D.

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 结合三角函数 R 上的值域,当定义域为,值域为,可知小于一个周期,从而可得. 解答: 解:函数 y=2sinx 在 R 上有﹣2≤y≤2 函数的周期 T=2π 值域含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期 b﹣a<2π 故选 C 点评: 本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域,解题的关键是熟悉三角函数 y=2sinx 的值域,而在区间上的值域,可得函数的定义域与周期的关系,从而可求结果. 6. (5 分)某校通过随机询问 100 名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动,得到所示联表: 做不到“光盘”能做到“光盘” 男45 10 女30 15 P(K ≥k)0.10 0.05 0.01 k 2.7063.8416.635 附:K =
2 2

,则下列结论正确的是()

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关” B. 有 99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过 10%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关” 考点: 独立性检验.

专题: 概率与统计. 分析: 通过图表读取数据,代入观测值公式计算,然后参照临界值表即可得到正确结论 解答: 解:由 2×2 列联表得到 a=45,b=10,c=30,d=15. 则 a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100. 代入 K =
2



得 k 的观测值 k=

2



因为 2.706<3.030<3.841. 所以有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”. 即在犯错误的概率不超过 10%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” 故选 C. 点评: 本题是一个独立性检验,我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假 设,若值较大就拒绝假设,即拒绝两个事件无关,此题是基础题.

7. (5 分)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣2,则 k 的值为()

A.1

B . ﹣1

C. 2

D.﹣2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,结合数形结合即可得到结论. 解答: 解:由 z=y﹣x 得 y=x+z, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 y=x+z 由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时,直线 y=x+z 的截距最小, 此时最小值为﹣2,即 y﹣x=﹣2,则 x﹣y﹣2=0, 当 y=0 时,x=2,即 A(2,0) , 同时 A 也在直线 kx﹣y+2=0 上,代入解得 k=﹣1, 故选:B

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法. 本 题主要考查的难点在于对应的区域为线段. 8. (5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 3,∠B=60°,沿对角线 AC 折成一个四面体,使得平面 ACD⊥平面 ABD,则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为() A.15π B. C. π D.6π

考点: 球的体积和表面积;球内接多面体. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设球心为 O,OF=x,则 CF=
2

,EF=

,可得 R =x +(

2

2

) =(

2

﹣x) +(

2



,求出 x,可得 R,即可求出球的表面积. ,EF=

解答: 解:如图所示,设球心为 O,OF=x,则 CF= R =x +( ∴x= ∴R = ∴球的表面积为 15π. 故选:A.
2 2 2

) =(

2

﹣x) +(

2

),

2

点评: 本题考查球的表面积,考查学生的计算能力,确定球的半径是关键.

9. (5 分) 定义在 (0, +∞) 上的单调递减函数 ( f x) , 若( f x) 的导函数存在且满足 则下列不等式成立的是() A.3f(2)<2f(3) B.3f(4)<4f(3) C.2f(3)<3f(4) D.f(2)<2f(1) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 依题意,f′(x)<0, = ?



>0?′<0,利用 h(x)

为(0,+∞)上的单调递减函数即可得到答案.

解答: 解:∵f(x)为(0,+∞)上的单调递减函数, ∴f′(x)<0, 又∵ >x, >0? <0?′<0,



设 h(x)= ∵

,则 h(x)= >x>0,f′(x)<0,

为(0,+∞)上的单调递减函数,

∴f(x)<0. ∵h(x)= ∴ > 为(0,+∞)上的单调递减函数, ? >0?2f(3)﹣3f(2)>0?2f(3)>3f(2) ,

故 A 正确; 由 2f(3)>3f(2)>3f(4) ,可排除 C; 同理可判断 3f(4)>4f(3) ,排除 B; 1?f(2)>2f(1) ,排除 D; 故选 A. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性, 求得′<0 是关键, 考查等价转化思想与分析推 理能力,属于中档题.

10. (5 分)已知 F1 、F2 分别是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦 点,过点 F2 与

双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M, 若点 M 在以线段 F1F2 为直径 的圆外,则双曲线离心率的取值范围是() A.(1, ) B.( ,+∞) C.( ,2) D.(2,+∞) 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 根据斜率与平行的关系即可得出过焦点 F2 的直线,与另一条渐近线联立即可得到交 点 M 的坐标,再利用点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出. 解答: 解:双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x,

不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= (x﹣c) , 与 y=﹣ x 联立,可得交点 M( ,﹣ ∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外, ∴|OM|>|OF2|,即有 ∴b >3a , 2 2 2 ∴c ﹣a >3a ,即 c>2a. 则 e= >2. ∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞) . 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是双曲线的简单性质,熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算 公式、点与圆的位置关系是解题的关键. 11. (5 分)如图,长方形 ABCD 的长 AD=2x,宽 AB=x(x≥1) ,线段 MN 的长度为 1,端点 M、N 在长方形 ABCD 的四边上滑动,当 M、N 沿长方形的四边滑动一周时,线段 MN 的中 点 P 所形成的轨迹为 G,记 G 的周长与 G 围成的面积数值的差为 y,则函数 y=f(x)的图象 大致为()
2 2

) ,

>c ,

2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件确定点 P,对应的轨迹,然后求出相应的周长和面积,求出函数 f(x )的 表达式,然后根据函数表达式进行判断图象即可. 解答: 解:∵线段 MN 的长度为 1,线段 MN 的中点 P, ∴AP= ,

即 P 的轨迹是分别以 A,B,C,D 为圆心,半径为 的 4 个 圆,以及线段 GH,FE,RT,LK, 部分. ∴G 的周长等于四个圆弧长加上线段 GH,FE,RT,LK 的长, 即周长= =π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4,

面积为矩形的面积减去 4 个 圆的面积,即等于矩形的面积减去一个整圆的面积 为 ∴f(x)=6x+π﹣4﹣ ∴对应的图象为 C, 故选:C. , = ,是一个开口向下的抛物线,

点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件确定点 P 的轨迹是解决本题的关键, 综合性较强,难度较大. 12. (5 分)已知 f(x)= ,g(x)= (k∈N ) ,对任意的 c>1,存在实数 a,b 满足 0
*

<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b) ,则 k 的最大值为() A.2 B. 3 C. 4 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意转化为:

D.5

> ,对于 x>1 恒成立,构造函数 h(x)=x?

求导

数判断,h′(x)=

,且 y=x﹣2﹣lnx,y′=1﹣ >0 在 x>1 成立,y=x﹣2﹣lnx 在 x

>1 单调递增,利用零点判断方法得出存在 x0∈(3,4)使得 f(x)≥f(x0)>3,即可选择答 案. 解答: 解:∵f(x)= ,g(x)= (k∈N ) ,
*

对任意的 c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b) , ∴可得: > ,对于 x>1 恒成立.

设 h(x)=x?

,h′(x)=

,且 y=x﹣2﹣lnx,y′=1﹣ >0 在 x>1 成立,

∴即 3﹣2﹣ln3<0,4﹣2﹣ln4>0, 故存在 x0∈(3,4)使得 f(x)≥f(x0)>3, ∴k 的最大值为 3. 故选:B 点评: 本题考查了学生的构造函数,求导数,解决函数零点问题,综合性较强,属于难题. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 26

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体为三棱柱,去掉一个三棱锥的几何体,利用三视图的数据求解体 积即可. 解答: 解:由三视图知几何体为为三棱柱,去掉一个三棱锥的几何体,如图: 三棱柱的高为 5,底面是直角边为 4,3,去掉的三棱锥,是底面是直角三角形直角边为 4,3, 高为 2 的三棱锥. ∴几何体的体积 V= 故答案为:26. =26.

点评: 本题考查由三视图求 几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量. 14. (5 分)已知点 G 是△ ABC 的重心,若∠A=120°,

?

=﹣2,则|

|的最小值是 .

考点: 向量的模;三角形五心. 专题: 计算题. 分析: 根据点 G 是△ ABC 的重心,故 可以求出| 值. 解答: 解:∵∠A=120°, ∴| |?| |=4, ? =﹣2, |?| = ( + + ) ,又由∠A=120°, ? =﹣2,我们 |的最小

|=4,进而根据基本不等式,求出|

|的取值范围,进而得到|

又∵点 G 是△ ABC 的重心, ∴| |= | + |= = 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是向量的模,三角形的重心,基本不等式,其中利用基本不等式 求出| ( + + |的取值范围是解答本题的关键,另外根据点 G 是△ ABC 的重心,得到 ) ,也是解答本题的关键. = = ≥

15. (5 分)某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是 12. (用数字作 答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 安排甲工程放在第一位置时,乙丙与剩下的两个工程共有 种方法,同理甲在第二

位置共有 2×2 种方法,甲在第三位置时,共有 2 种方法.利用加法原理即可得出. 解答: 解:安排甲工程放在第一位置时,乙丙与剩下的两个工程共有 同理甲在第二位置共有 2×2 种方法,甲在第三位置时,共有 2 种方法. 由加法原理可得: +4+2=12 种. 种方法,

故答案为:12. 点评: 本题考查了排列与乘法原理,优先安排除了甲乙丙 3 个工程后剩下的 2 个工程的方 案是解题的关键,属于中档题. 16. (5 分)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直 2 2 径的圆过点(0,2) ,则 C 的方程为 y =4x 或 y =16x. 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线方程算出|OF|= ,设以 MF 为直径的圆过点 A(0,2) ,在 Rt△ AOF 中利
2

用勾股定理算出|AF|=

.再由直线 AO 与以 MF 为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF,

Rt△ AMF 中利用∠AMF 的正弦建立关系式,从而得到关于 p 的方程,解之得到实数 p 的值, 进而得到抛物线 C 的方程. 解答: 解:∵抛物线 C 方程为 y =2px(p>0) ∴焦点 F 坐标为( ,0) ,可得|OF|= ∵以 MF 为直径的圆过点(0,2) , ∴设 A(0,2) ,可得 AF⊥AM Rt△ AOF 中,|AF|=
2

∴sin∠OAF=

=

∵根据抛物线的定义,得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于 A 点, ∴∠OAF=∠AMF,可得 Rt△ AMF 中,sin∠AMF= = ,

∵|MF|=5,|AF|=



=

,整理得 4+

=

,解之可得 p=2 或 p=8
2 2

因此,抛物线 C 的方程为 y =4x 或 y =16x

故答案为:y =4x 或 y =16x

2

2

点评: 本题给出抛物线一条长度为 5 的焦半径 MF, 以 MF 为直径的圆交抛物线于点 (0, 2) , 求抛物线的方程, 着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、 圆的性质和解直角三角形等知识, 属于中档题. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (bn﹣1)且 a2=b1, a5=b2 (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=an?bn,设 Tn 为{cn}的前 n 项和,求 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (Ⅱ)利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (bn﹣1) , ∴b1=S1= ,解得 b1=3. ,

当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1= 化为 bn=3bn﹣1. ∴数列{bn}为等比数列, ∴ .

∵a2=b1=3,a5=b2=9. 设等差数列{an}的公差为 d. ∴ ∴an=2n﹣1. ,解得 d=2,a1=1.

综上可得:an=2n﹣1,
n



(Ⅱ)cn=an?bn=(2n﹣1)?3 . 2 3 n﹣1 n ∴Tn=3+3×3 +5×3 +…+(2n﹣3)?3 +(2n﹣1)?3 , 2 3 n n+1 3Tn=3 +3×3 +…+(2n﹣3)?3 +(2n﹣1)?3 . 2 3 n n+1 ∴﹣2Tn=3+2×3 +2×3 +…+2×3 ﹣(2n﹣1)?3 = ∴ ﹣(2n﹣1)?3 .
n+1

﹣3=(2﹣2n)?3

n+1

﹣6.

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、 “错位相减法”和等比数列的前 n 项和公 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年 3 月份参加义务植树活动的职工 中,随机抽取 M 名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出了频数与频率统 计表和频率分布直方图如图: (1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在 P(x=400)= ,

P(x=600)= 所以 X 的分布列为: X 0 200 P EX=

…(9 分)

400

600

=

…(12 分)

点评: 本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题, 2015 届高考常考题型. 19. (12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=2,AA1=2 的中点,BD 与 AB1 交于点 O,且 CO⊥ABB1A1 平面. (1)证明:BC⊥AB1; (2)若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值. ,D 是 AA1

考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)要证明 BC⊥AB1,可证明 AB1 垂直于 BC 所在的平面 BCD,已知 CO 垂直于 侧面 ABB1A1,所以 CO 垂直于 AB1,只要在矩形 ABB1A1 内证明 BD 垂直于 AB1 即可,可利 用角的关系加以证明; (Ⅱ)分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 求出 ,平面 ABC 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可得出结论.

解答: (I)证明:由题意,因为 ABB1A1 是矩形, D 为 AA1 中点,AB=1,AA1= ,AD= ,

所以在直角三角形 ABB1 中,tan∠AB1B=

=



在直角三角形 ABD 中,tan∠ABD=

=



所以∠AB1B=∠ABD, 又∠BAB1+∠AB1B=90°,∠BAB1+∠ABD=90°, 所以在直角三角形 ABO 中,故∠BOA=90°, 即 BD⊥AB1, 又因为 CO⊥侧面 ABB1A1,AB1?侧面 ABB1A1, 所 以 CO⊥AB1 所以,AB1⊥面 BCD, 因为 BC?面 BCD, 所以 BC⊥AB1. (Ⅱ)解:如图,分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴,以 O 为原点,建立空间 直角坐标系,则 A(0,﹣ D( 又因为 ,0,0) , =2 ,所以 ,0) ,B(﹣ ,0,0) ,C(0,0, ) ,B1(0, ,0) ,

所以 ﹣

=(﹣ ) ,



,0) ,

=(0,



) ,

=(





) ,

=(

,0,

设平面 ABC 的法向量为 =(x,y,z) ,

则根据

可得 =(1,

,﹣

)是平面 ABC 的一个法向量,

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 α,则 sinα= 所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

, .…(12 分)

点评: 本题考查了直线与平面垂直的性质,考查线面角,考查向量方法的运用,属于中档 题.

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(



).

(1)求椭圆方程; (2)设不过原点 O 的直线 l:y=kx+m(k≠0) ,与该椭圆交于 P、Q 两点,直线 OP、OQ 的斜 2 率依次为 k1、k2,满足 4k=k1+k2,试问:当 k 变化时,m 是否为定值?若是,求出此定值, 并证明你的结论;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量,得到椭圆的方程. (2)联立直线与椭圆方程,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .利用韦达定理,通过直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1,k2,且 4k=k1+k2,求解即可.

解答: 解: (1)依题意可得

,解得 a=2,b=1

所以椭圆 C 的方程是
2

…(4 分)

(2)当 k 变化时,m 为定值,证明如下:
2 2 2



得, (1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0.…(6 分)

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .则 x1+x2=

,x1x2=

…(?) …(7 分)

∵直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1,k2,且 4k=k1+k2, ∴4k= =
2

,得 2kx1x2=m(x1+x2) ,…(9 分)

将(?)代入得:m = ,…(11 分) 经检验满足△ >0.…(12 分) 点评: 本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆方程的综合应用,考查分析问题解决问题 的能力以及转化思想的应用.

21. (12 分)已知函数 f(x)=

和直线 l:y=m(x﹣1) .

(1)当曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 l 垂直时,求原点 O 到直线 l 的距离; (2)若对于任意的 x∈ 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极 坐标方程为 θ= ,曲线 C 的参数方程为 .

(1) 写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA|?|MB|= ,求点 M 轨迹 的直角坐标方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线 l 的普通方程,消去参数可 得曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 M(x0,y0)以及平行于直线 l1 的直线参数方程,直线 l1 与曲线 C 联立方程组,通 过|MA|?|MB|= ,即可求点 M 轨迹的直角坐标方程.通过两个交点推出轨迹方程的范围, 解答: 解: (1)直线 l 的极坐标方程为 θ= 曲线 C 的参数方程为 可得曲线 …(4 分) ,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x;

.消去参数 θ,

(2)设点 M(x0,y0)及过点 M 的直线为 由直线 l1 与曲线 C 相交可得: ,即:

, x +2y =6 表示一椭圆…(8 分) 取 y=x+m 代入 得:3x +4mx+2m ﹣2=0
2 2 2 2

由△ ≥0 得 2 2 故点 M 的轨迹是椭圆 x +2y =6 夹在平行直线

之间的两段弧…(10 分)

点评: 本题以直线与椭圆的参数方程为载体,考查直线与椭圆的综合应用,轨迹方程的求 法,注意轨迹的范围的求解,是易错点. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|x﹣1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)利用||x﹣1|+2|<5,转化为﹣7<|x﹣1|<3 ,然后 求解不等式即可. (2)利用条件说明{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)},通过函数的最值,列出不等式求解即可. 解答: 解: (1)由||x﹣1|+2|<5,得﹣5<|x﹣1|+2<5 ∴﹣7<|x﹣1|<3, 得不等式的解为﹣2<x<4…(5 分) (2)因为任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)}, 又 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x﹣1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得 a≥﹣1 或 a≤﹣5, 所以实数 a 的取值范围为 a≥﹣1 或 a≤﹣5.…(10 分) 点评: 本题考查函数的恒成立,绝对值不等式的解法,考查分析问题解决问题的能力以及 转化思想的应用.


辽宁省大连二十四中2015届高考数学模拟试卷(文科)

辽宁省大连二十四中2015届高考数学模拟试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。辽宁省大连二十四中 2015 届高考数学模拟试卷(文科)一.选择题(本大题共 12 小题,...

辽宁省大连市第二十四中学2015年高考模拟考试数学(理)...

辽宁省大连市第二十四中学2015高考模拟考试数学(理)试卷(含答案)_高考_高中教育_教育专区。2015 年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷 注意事项: ...

大连市第二十四中学2015年高考模拟考试数学试卷(理)及...

大连市二十四中学2015高考模拟考试数学试卷(理)及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷 注意事项: 1.本试卷...

...大连市第二十四中学2015年高考模拟考试数学试卷(理)...

2014~2015学年度 最新大连市二十四中学2015高考模拟考试数学试卷(理)及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷 ...

...大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)

2017届辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)_其它课程_高中教育_教育专区。2017 年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中...

...辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷(文...

2016年辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷(文科)(解析版)_数学_...(x)单调递减,得到 h,即 e2015g,即 gg=ex﹣ ∴f′(x)=ex﹣x+ ∴f′...

大连市第二十四中学2015年高考模拟考试数学试卷(文)及答案

大连市二十四中学2015高考模拟考试数学试卷(文)及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(文科)试卷 注意事项: 1.本试卷...

...大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)

2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017 年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二...

...大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)_其它课程_高中教育_教育专区。2017 年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连...

...大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)

2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷(理科)_其它课程_高中教育_教育专区。2017 年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中...