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河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考(期中)数学理试题(图片版)

时间:2016-12-13


高三质检三数学(理科)试题参考答案
一、选择题答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C 11 D 12 B

2 二、填空题答案:13. ? 5
16.

14. ?? 1 , ? ??

15. 3x ? y ? 2 ? 0或3x ? 4 y ?

1 ? 0

3

三、解答题答案 17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换,意在考查学生的基本的运算能 力、 综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想. 17.【解析】 (1) sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C ,? a ? c ? b ? ac ????????2
2 2 2 2 2 2



? cos B ?
4分

a 2 ? c2 ? b2 ac 1 ?? ?? 2ac 2ac 2

????????????????????????

2 ? B ? (0, ? ) ,? B ? ? 3
5分

??????????????????????????????

(2)在 ?ABD 中,由正弦定理:

AD BD ? sin B sin ?BAD
?????????????????????????7

3 1? BD sin B 2 ?1 ?sin ?BAD ? ? AD 2 3 4


?cos ?BAC ? cos2?BAD ? 1 ? 2sin 2 ?BAD ? 1 ? 2 ?
9分

1 7 ? 16 8

????????????????

7 15 ? sin ?BAC ? 1 ? cos 2 ?BAC ? 1 ? ( )2 ? 8 8


?????????????????10

18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法,意在考查学生的审题能力以 及数据处理能力. 18. 【解析】

1 1 ?1 ? ? 3 mn ? 24 ?m ? 2 (1)依题, ? ,解得 ? .???????????????6 分 1 3 1 ?1 ? (1 ? m)(1 ? )(1 ? n) ? ?n ? 3 4 4 ? ?
(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量 X ,则

X 的值可以为 0,1,2,3,4,5,6. ????????????????????????7 分
而 P ( X ? 0) ?

1 2 3 1 1 2 3 1 ? ? ? ; P( X ? 1) ? ? ? ? ; 2 3 4 4 2 3 4 4

P( X ? 2) ?
P( X ? 4) ?

1 1 3 1 1 2 1 1 1 3 5 ; ? ? ? ; P( X ? 3) ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 8 2 3 4 2 3 4 24
1 2 1 1 1 1 1 1 ; ? ? ? ; P( X ? 5) ? ? ? ? 2 3 4 12 2 3 4 24

P( X ? 6) ?

1 1 1 1 . ????????????????10 分 (每答对两个,加 1 分) ? ? ? 2 3 4 24

? X 的分布列为:
X
P
0 1 2 3 4 5 6

1 4

1 4

1 8

5 24

1 12

1 24

1 24

???????????????????????????????????????11 分 于是, E ( X ) ? 0 ? 分

1 1 1 5 1 1 1 23 . ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 4 4 8 24 12 24 24 12

??????? ??????????12

19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法,意在考查数形结合思想,空间想象能力,以及运 算求 解能力. 19.【解析】(1)由已知得 AC ? BD , AD ? CD ,又由 AE ? CF 得 此

AE CF ? ,故 AC ∥ EF ,因 AD CD

' EF ? HD , 从而 EF ⊥ D H .由 AB ? 5,AC ? 6 得 DO ? BO ?

AB2 ? AO2 ? 4 .????

2分

由 AC ∥ EF 得 3分

OH AE 1 ? ? .所以 OH ? 1 , D' H ? DH ? 3 .????????????? DO AD 4

' ' 2 2 2 2 ' 2 ' 于是 D H ? OH ? 3 ? 1 ? 10 ? D O ,故 D H ? OH .又 D H ? EF ,而 OH ? EF ? H ,

所以 D?H ? 平面 ABCD . 4分

?????????????????????????????

(2)如图,以 H 为坐标原点, HF 的方向为 x 轴的正方向,建立空间直角坐标系 H ? xyz ,则

????

H ? 0, 0, 0 ? , A?? 3,?1,0? , B?0,?6,0? , C ? 3, ?1, 0 ? , D? ? 0, 0,3? , AB ? (3, ?4, 0) ,
???? AC ? ? 6, 0, 0 ? , ???? ? AD? ? ? 3,1,3? .?????????????????????????????????6
分 设 m ? ? x1 , y1 , z1 ? 是平面 ABD? 的法向量,

??? ?

??

?? ??? ? ? ?? ?3 x1 ? 4 y1 ? 0 ?m ? AB ? 0 则 ? ?? ???? ,即 ? ,可取 m ? ? 4,3, ?5 ? .?????????????8 ? ?3 x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0 ? ?m ? AD? ? 0
分 设 n ? ? x2 , y2 , z2 ? 是平面 ACD 的法向量,
'

?

? ???? ? ? n ?6 x2 ? 0 ? ? AC ? 0 则 ? ? ???? ,即 ? ,可取 n ? ? 0, ?3,1? ??????????????? ? ?3 x2 ? y2 ? 3z2 ? 0 ? ?n ? AD? ? 0
10 分 于是 cos ? m,n ?? 分 设二面角的大小为 ? , sin ? ? 12 分 20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和, ,以及数列单调性的判定等 基础知 识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力. 20.【解析】 (1)当 n ? 1 时, S1 ? t ( S1 ? a1 ? 1) ,得 a1 ? t .????????????????? 1分 当 n ? 2 时,由 S n ? t ( S n ? an ? 1) ,即 (1 ? t ) S n ? ?tan ? t ,①

m ?n ? 14 7 5 ,??????????????????11 ? ?? mn 25 50 ? 10

2 95 2 95 .因此二面角 B ? D?A ? C 的正弦值是 .????? 25 25

? (1 ? t ) Sn ?1 ? ?tan ?1 ? t ,②
① ? ②, 得 (1 ? t )an ? ?tan ? tan ?1 , 即 an ? tan ?1 , ? 数列 ?an ? 的各项均不为零∴ ∴ ?an ? 是等比数列,且公比是 t ,∴ an ? t n . 3分

an (n ? 2 ) , ?t an ?1

??????????????????

? t ? 0 ,t ? 1 ? bn ? (t n ) 2 ?
4分

t (1 ? t n ) n t 2 n ? t n ?1 ? 2t 2 n ?1 ,??????????? ? t ,即 bn ? 1? t 1? t

若数列 ?bn ? 为等比数列,则有 b2 2 ? b1 ? b3 ,而 b1 ? 2t 2 , b2 ? t 3 (2t ? 1) , b3 ? t 4 (2t 2 ? t ? 1) , 故? ?t (2t ? 1) ? ? ? (2t ) ? t (2t ? t ? 1) ,解得 t ?
3 2 4 2 2

1 , ??????????????????5 2



再将 t ? 6分

1 1 1 b 1 代入 bn ,得 bn ? ( ) ,由 n ?1 ? ,知 ?bn ? 为等比数列,∴ t ? .???????? 2 2 2 bn 2

(2)由 t ? 7分

1 1 1 ,知 an ? ( ) n ,∴ cn ? 4( ) n ? 1 ,???????????????????? 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 ?n ? 4 ? n ? 4 , ∴ Tn ? 4 ? 2 ????????????????????????9 n 1 2 1? 2
分 由不等式

2n ? 7 12k 恒成立, ? 2n ? 7 恒成立,得 3k ? 2n 4 ? n ? Tn

设 dn ? 10 分

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ,由 d n ?1 ? d n ? n ?1 ? ,??????????????? ? n 2 2 2n 2n ?1 1 3 , d5 ? ,∴ d 4 ? d5 , 16 32

∴当 n ? 4 时, d n ?1 ? d n ,当 n ? 4 时, d n ?1 ? d n ,而 d 4 ? ∴ 3k ? 12 分

3 1 ,∴ k ? .?????????????????????????????? 32 32

21.【命题意图】本题考查椭圆的方程,直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识, 意在考查数形结合思想,转化与化归思想,综合分析问题、解决问题的能力,以及运算求解能 力. 21.【解析】 (1) :设 F (c, 0) ,由

1 1 3c 1 1 3e 2 2 2 ,即 ? ? ,可得 a ? c ? 3c ,又 ? ? c a a (a ? c) OF OA FA

a 2 ? c 2 ? b 2 ? 3 ,所以 c 2 ? 1 ,因此 a 2 ? 4 ,所以椭圆的方程为


x2 y 2 ? ? 1 .??????4 4 3

(2)设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .设 B ( x B , y B ) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 4 ,消去 y ,整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 . 3 ? y ? k ( x ? 2) ?
8k 2 ? 6 解得 x ? 2 ,或 x ? ,???????????????????????????6 4k 2 ? 3
分 由题意得 xB ?

? 12k 8k 2 ? 6 ,从而 yB ? .由(1)知 F (1,0) ,设 H (0, y H ) , 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

有 FH ? (?1, yH ) , BF ? ( 分

9 ? 4k 2 12k , ) .????????????????????8 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

由 BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以9分 因此直线 MH 的方程为 y ? ?

9 ? 4k 2 12kyH 9 ? 4k 2 ,解得 .????? ? ? 0 y ? H 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 12k

1 9 ? 4k 2 .设 M ( xM , yM ) , x? k 12k

? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? 由方程组 ? .?????????????? k 12k 消去 y ,解得 xM ? 12(k 2 ? 1) ? y ? k ( x ? 2) ?
10 分

2 2 2 ?MOA ? ?MAO ?| MA |?| MO | , 在 ?MAO 中, 即 ( xM ? 2) 2 ? yM , 化简得 xM ? 1 , ? xM ? yM

即 分

6 6 20k 2 ? 9 或k ? .????????????????????11 ? 1 ,解得 k ? ? 2 4 4 12(k ? 1)

所以直线的斜率的取值范围为 (??,? 分

6 6 ]?[ ,??) .????????????????12 4 4

22.【命题意图】 本题主要考查导数与函数的最值, 利用导数证明不等式、 不等式恒成立等基础知识, 意

在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.

x2 ? 1 ( x ? 0) ,则 f ' ( x) ? x ? sin x ,????????1 22.【解析】 (1)证明: f ( x) ? cos x ? 2
分 设 ? ( x) ? x ? sin x ,则 ? '( x) ? 1 ? cos x , ?????????????????????2 分 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,即 f ' ( x) ? x ? sin x 为增函数,所以 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 ,

? f ( x) 在 ?0,??? 时为增函数,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 .????????????????4
分 (2) 解法一: 由 (1) 知 x ? 0 时,sin x ? x , cos x ? ?

x2 x2 所以 ? 1, ? x ? 1 ? sin x ? cos x ? 2 , 2 2

设 G ( x) ? e x ? 分

x2 ? x ? 1 ,则 G '( x) ? e x ? x ? 1 , ??????????????????5 2

设 g ( x ) ? e x ? x ? 1 ,则 g '( x) ? e x ? 1 ,???????????????????????6 分 当 x ? 0 时 g '( x) ? ex ?1 ? 0 ,所以 g ( x) ? e x ? x ? 1为增函数, 所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以 G ( x) 为增函数,所以 G( x) ? G(0) ? 0 ,??????????7 分
x 所以 e ? sin x ? cos x ? 2 对任意的 x ? 0 恒成立.???????????????????8


ax x ax 又 x ? 0 , a ? 1 时, e ? e ,所以 a ? 1 时 e ? sin x ? cos x ? 2 对任意的 x ? 0 恒成立.??10

分 当 a ? 1 时,设 h( x) ? e ax ? sin x ? cos x ? 2 ,则 h' ( x) ? aeax ? cos x ? sin x ,??????? 11 分

h' (0) ? a ? 1 ? 0 ,所以存在实数 x0 ? 0 ,使得任意 x ? (0, x0 ) ,均有 h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 在

(0, x0 )
为减函数,所以在 x ? (0, x0 ) 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以 a ? 1 时不符合题意.

综上,实数 a 的取值范围为 [1,??) .?????????????????????????? 12 分 (2) 解法二: 因为 e ? sin x ? cos x ? 2 等价于 ax ? ln(sin x ? cos x ? 2)
ax

?????????6

分 设 g ( x) ? ax ? ln(sin x ? cos x ? 2) ,则 g ?( x) ? a ? 分 可求

sin x ? cos x ????????????7 sin x ? cos x ? 2

sin x ? cos x ? [?1, 1] , sin x ? cos x ? 2

????????????????????????9 分

所以当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0 恒成立, g ( x) 在 [0, ??) 是增函数, 所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 ax ? ln(sin x ? cos x ? 2) ,即 e ? sin x ? cos x ? 2
ax ax 所以 a ? 1 时, e ? sin x ? cos x ? 2 对任意 x ? 0 恒成立.???????????????10

分 当 a ? 1 时,一定存在 x0 ? 0 ,满足在 (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0, x0 ) 是减函数,此时一定有 g ( x) ? g (0) ? 0 , 即 ax ? ln(sin x ? cos x ? 2) ,即 故 a ? 1 不能满足题意, 综上所述, a ? 1 时, e 分
ax

e ax ? sin x ? cos x ? 2 ,不符合题意,

? sin x ? cos x ? 2 对任意 x ? 0 恒成立.???????????12

选择题解析: 1.【解析】 z ?

3?i ? 1 ? 2i ,? z ? 1 ? 2i . z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选 D. 1? i

2.【解析】 P ? { y | y 2 ? y ? 2 ? 0} ? { y | y ? 2或y ? ?1} ,若 P ? Q ? R , P ? Q ? (2,3] ,由

P ?Q ? R,
3 是方程 x2 ? ax ? b ? 0 的两根,由根与系数 P ? Q ? (2,3] ,所以 Q ? {x | ?1 ? x ? 3} ,∴ ?1,
关系得

?a ? ?1 ? 3,b ? ?3? a ? b ? ?5 .
3. 【解析】 命题的否定, 是条件不变, 结论否定, 同时存量词与全称量词要互换, 因此命题 “ ?n ? N * ,

?x ? R ,使得 n2 ? x ”的否定是“ ?n ? N * , ?x ? R ,使得 n2 ? x ” .故选 C.
4.【解析】由已知可得 a6 ? a20 ? 2 ,又 ?a n ?是等差数列,所以 a1 ? a25 ? a6 ? a20 ,? 数列的前 25 项 和

S 25 ?

(a1 ? a25 ) ? 25 ? 25 ,所以数列的前 25 项和为 25 .故选 C. 2

5.【解析】 P (

?

? ? ? ?? 1 ?? 1 ? , t ) 在 y ? sin(2 x ? ) 图象上,? t ? sin? 2 ? ? ? ? ,? P? , ? , 4 3 ? 4 3? 2 ? 4 2?

1? ?? ? P ' ? ? s, ? , 2? ?4
又 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,?sin ?2?

? ?? 1 ?? ? ?? ? s ?? ? sin? ? 2s ? ? cos2s ? , 2 ?2 ? ?? ? ?4

? 2 s ? 2k? ? 2 k? ?

?
3

或 .故选 A.

?
3

?k ? Z ? ,? s ? 0 ,? smin ? ?
2 ? 2x ? 1? ? 2 2 ?1
x

6

6.【解析】 f ? x ? ? 1 ?

? sin x ? 3 ?

2 ? sin x , 2 ?1
x

f ??x? ? 3 ?

2 2?2 x ? sin ? x ? 3 ? ? sin x ,且 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 4 ,所以 f ? x ? 是以点 ? ? 2? x ? 1 1 ? 2x

? 0, 2? 为
对称中心,所以其最大值与最小值的和 m ? n ? 4 .故选 D. 7.【解析】由 f ( x) ? f (2 ? x) 知函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,当 x ? (??,1) 时,

( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,
则 f '( x) ? 0 ,所以在 x ? 1 时, f ( x) 递增, f (3) ? f (2 ? 3) ? f (?1) ,又 ?1 ? 0 ?

1 ? 1 ,所以 2

1 f (?1) ? f (0) ? f ( ) ,即 c ? a ? b .故选 B. 2
CA 边所在直线为 x 轴, 8. 【解析】 以 C 为坐标原点, 建立直角坐标系, 则 A?1,0? , 设 P ? x, y ? , B?0, 1? ,

?x ? 0 1? 1 1? 1 1 ? ? ? 则 ?y ? 0 且 AN ? ? ? 1, ? , MP ? ? x ? , y ? ? , AN ? MP ? ? x ? y ? ,令 2 4 2? 2 2? ? ? ?x ? y ?1 ? 0 ?
t ? ?x ?
时,

1 1 1 1 1 y? , 结合线性规划知识, 则 y ? 2 x ? 2t ? , 当直线 t ? ? x ? y ? 经过点 A?1,0? 2 4 2 2 4

3 1 1 将 A?1,0? 代入得 t ? ? , 当直线 t ? ? x ? y ? 经过点 B?0, 1? 时, AN ? MP 有最小值, AN ? MP 4 2 4


3 ,故答案为 A. 4 1 1 ? cos 2 x 1 ? log 2 x ? ? cos 2x ? log2 x ,令 f ( x) ? 0 ,即 9.【解析】由已知得 f ( x) ? cos 2 x ? 2 2 2
最大值,将 B?0, 1? 代入得 t ?

cos2 x ?log


2

x ,在同一坐标系中画出函数 y ? cos 2 x 和 y ? log2 x 的图象,如图所示,两函数图

有两个不同的交点,故函数 f ( x) 的零点个数为 2 ,故选 B.
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

(第 9 题图)

(第 10 题图)
2

10. 【解析】 由三视图可知, 该几何体为如图所示的四棱锥 S ? ABCD , 设 BO1 ? x , 则 ?2 ? x? ? 1 ? x 2 , 解得 x ? 积为

5 25 41 2 , , 所以其表面 ? 该多面体的外接球半径 R ? OB ? OO1 ? O1 B 2 ? 1 ? ? 4 16 16

S ? 4?R 2 ?

41? ,故选 C. 4

11.【解析】因为 BD ? 3DC ? BC ?

??? ?

????

4 4 BD ,所以 En C ? En B ? BC ? En B ? BD 3 3

1 4 ? ? En B ? En D , 3 3 ? En A ? ? m En B ? 设 mEnC ? En A ,

???? ? ???? ?

1 3

4 m En D , 又因为 3

???? ? 1 ???? ? ???? ? En A ? an ?1 En B ? (3an ? 2) En D , 4

1 ? 1 ? 4 an ?1 ? ? 3 m ?? ? an?1 ? 3an ? 2 , ? 以 an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? 2 ,所以数列 4 ?? ?3an ? 2? ? m 3 ?

?an ?1?
表示首项为 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 an ? 1 ? 2 ? 3n?1 ,? a5 ? 161,故选 D. 12. 【解析】 对于①, 若令 P(1,1) , 则其 “伴随点” 为 P?( , ? ) , 而 P?( , ? ) 的 “伴随点” 为 (?1, ?1) , 而不是 P ,故①错误;对于②,设曲线 f ( x, y) ? 0 关于 x 轴对称,则 f ( x, ? y) ? 0 与方程

1 2

1 2

1 2

1 2

f ( x, y) ? 0 表示同一曲线,其“伴随曲线”分别为 f (

y ?x , 2 )?0与 2 x ? y x ? y2
2

f(

?y ?x y ?x , 2 ) ? 0 也表示同一曲线,又曲线 f ( 2 , 2 ) ? 0 与曲线 2 2 2 x ?y x ?y x ? y x ? y2
2

f(

?y ?x , 2 ) ? 0 的图象关于 y 轴对称,所以②正确;③设单位圆上任一点的坐标为 2 x ? y x ? y2
2

P(cos x,sin x) ,其“伴随点”为 P?(sin x, ? cos x) 仍在单位圆上,故③正确;对于④,直线
y ? kx ? b 上任一点 P( x, y) 的“伴随点”为 P ' (
误,所以正确的为序号为②③.故选 B. 填空题解析:

y ?x , 2 ) ,? P ' 的轨迹是圆,故④错 2 2 x ?y x ?y
2

5 9 5 1 9 1 13.【解析】 f (? ) ? f (? ), f ( ) ? f ( ) ,? f (? ) ? f ( ) 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 ? f (? ) ? f ( ) ? ? ? a ? ? ? a ? 2 2 2 2 5 5

? f (5a) ? f (3) ? f (1) ? f (?1) ? ?1 ? ? ?

3 5

2 5

14.【解析】设阴影部分的面积为 S ,则 S ? 形面积

?2 3 1 1 3? 1 2 1 1 2 2 ? ? x ? x ? ( x ? x ) dx ?0 ?3 ? |0 ? 3 ? 3 ? 3 ,又正方 3 ? ?

1 ? ?log3 x( x ? 3 ) 1 为 1 ,? a ? ,? f ? x ? ? ? ? f ( x) 的值域为 ?? 1, ? ?? 1 x 1 3 ? ( )( x ? ) 3 ? 3

15.【解析】 f ?( x) ? 3 ? 2 sin 2 x ? 2 cos2 x , f ?( ) ? 3 ? 2 ? 1 ,则 a ? 1 ,点 P 的坐标为 (1,1) ,

?

4

若 P 为切点, y ? ? 3x 2 ,曲线 y ? x3 在点 P 处切线的斜率为 3,切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 1) , 即

3x ? y ? 2 ? 0 ;若 P 不为切点,曲线 y ? x3 的切线的切点为 (m, n) ,曲线 y ? x3 的切线的斜率 k ? 3m 2 , 则
1 n ?1 1 1 3 1 3 n?? , ? 3m 2 , 又n ? m , 则m ? ? , 得出切线方程 y ? ? ( x ? ) , 2 8 8 4 2 m ?1

即 3x ? 4 y ? 1 ? 0 .? 过曲线 y ? x3 上一点 P ? a, b? 的切线方程为

3x ? y ? 2 ? 0或3x ? 4 y ? 1 ? 0 .
16.【解析】设 C ? x, y ? , A? x1, y1 ? , B ? ?x1, ? y1 ? ,显然 x ? x1 , x ? x2 .

? x12 y12 ? ?1 ? y 2 ? y12 b2 ? a 2 b2 ∵点 A, C 在双曲线上,∴ ? 2 ,两式相减得 2 , ? 2 x ? x12 a 2 ? x ? y ?1 ? ? a 2 b2
∴ k1k2 ? k AC kBC =
2 2 2 y ? y1 y ? y1 y 2 ? y2 b2 . 由y? ? ln k1 ? ln k2 ? ? ln ? k1k2 ? , ? ? 2 ? 2 2 k1k2 k1k2 x ? x1 x ? x1 x ? x1 a

设 t ? k1k2 , 则 y ?

2 2 1 t ?2 ? ln t ,∴求导得 y ? ? ? 2 ? ,由 y? ? 2 ? 0 得 t ? 2 . t t t t

∴y? 小值,

2 2 ? ln t 在 ?0,2? 单调递减,在 ?2,??? 单调递增,? t ? 2 时即 k1k2 ? 2 时 y ? ? ln t 取最 t t

b2 b2 ∴ 2 ? 2 ,∴ e ? 1 ? 2 ? 3 . a a


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