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迎初赛苦练本领系列训练天天练055答案


迎初赛苦练本领系列训练天天练 055 答案
(2013 年 4 月 14 日) 姓名 ____________ 得分 ____________ 一、填空题( 4?10' ? 40' ) 325.已知实数 b , c 满足 b ? 2 ? c ,且函数 y ? x2 ? 4 x ? 4 ,当 b ? x ? c 时有最大值 4c ,最小值 b , 则 b

? c ? ________

? x 2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)2 , x ? 0 ? 解:因为 y ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ? 2 ; 2 ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) , x ? 0 ?
所以, b ? 0 , c 2 ? 4c ? 4 ? 4c ,解得 c ? 4 ? 2 3 ,所以 b ? c ? 4 ? 2 3 . 326.已知集合 S ? {x 1 ? x ? 10,x ? N*} ,对它的任一非空子集 A ,可以将 A 中的每一个元素 k 都 乘以 (?1)k 再求和(例如: A ? {2, 3, 8} ,则可求得和为: (?1)2 ? 2 ? (?1)3 ? 3 ? (?1)8 ? 8 ? 7 ) , 对 S 的所有非空子集,这些和的总和为 ________ 解:因为 S ? {2,3,…,9},对于每个 k ( k ? 2,3,┅,9) ,在总和中出现 2 7 次, 所以,总和为: 27 (?2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9) ? ?512 . 327.设 2n 个实数 a1 , a2 , ? , a2 n 满足条件: ? (ai ?1 ? ai )2 ? 1 ;
i ?1 2 n ?1

则 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2n ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 的最大值为 ________ 解:当 n ? 2 时,令 x1 ? a1 , xi ?1 ? ai ?1 ? ai , i ? 1, 2, 3, ?, 2n ? 1 ; 则 ? xi2 ? 1 , ai ? x1 ? x2 ? ? ? xi ;
i ?2 2 n ?1

所以, ? ? n( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? nxn ?1 ? (n ? 1) xn ? 2 ? ? ? x2 n ? (nx1 ? (n ? 1) x2 ? ? ? xn )
? x2 ? 2 x3 ? ? ? (n ? 1) xn ? nxn ?1 ? (n ? 1) xn ? 2 ? ? ? x2 n

? (12 ? 22 ? ? ? n2 ? ? ? 12 ) ? xi2 ?
i ?2

2 n ?1

n(2n 2 ? 1) . (柯西不等式法) 3

328.设 n 为正整数,记 1? 2? 3??? n 为 n ! (例如: 1! ? 1 , 2! ? 1? 2 , 5! ? 1? 2?3? 4?5 ) , ,若存 在自然数 a2 , a3 , a4 , a5 , a6 满足:

31 a2 a3 a4 a5 a6 ? ? ? ? ? ,这里 0 ? ai ? i ,i ? 2,3,4,5, 36 2! 3! 4! 5! 6!

2 2 2 2 2 6,则 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? ________

解:在题设等式的两边乘以 6! ,得 31? 20 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6a2 ? 4 ? 5 ? 6a3 ? 5 ? 6a4 ? 6a5 ? a6 ; 因为 31? 20 ? 2(mod 6) ,所以 a6 ? 2(mod 6) ,而 0 ? a6 ? 6 ,所以 a6 ? 2 ;
1

于是 103 ? 3 ? 4 ? 5a2 ? 4 ? 5a3 ? 5a4 ? a5 ; 所以 a5 ? 103 ? 3(mod 5) ,于是 a5 ? 3 ; 于是 20 ? 3 ? 4a2 ? 4a3 ? a4 ; 所以 a4 ? 20 ? 0(mod 4) ,于是 a4 ? 0 ; 所以 5 ? 3a2 ? a3 ; 所以 a3 ? 5 ? 2(mod 3) ,于是 a3 ? 2 ,从而 a2 ? 1 ; 所以,原式 ? 12 ? 22 ? 02 ? 32 ? 22 ? 18 . (逐渐取模同余法,独特的方法) 二、解答题( 2? 30' ? 60' ) 329.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,过点 P(0, m) (m ? 0) 斜率为 1 的直线 l a 2 b2 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 交双曲线 C 于 A、B 两点,且 AP ? 3PB, OA ? OB ? 3 ;
(1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定点

M ,使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)解:由题意可得: b 2 ? 3a 2 ,∴ 双曲线方程可化为: 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 ; 设直线方程为 y ? x ? m ,代入 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 ,可得: 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 3a 2 ? 0 , 而 ? ? 4m2 ? 4(m2 ? 3a 2 ) ? 0 ,∴ 直线一定与双曲线相交; 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ? ?
??? ? ??? ? 因为 AP ? 3PB ,所以 x1 ? ?3x2 ;

m2 ? 3a2 ; 2

m m2 ? 3a2 ;消去 x 2 可得: m2 ? 6a 2 ; , x22 ? 2 6 ??? ??? ? ? 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? m2 ? 3a2 ? 3 ;
所以 x2 ? ? 所以 m ? ? 6, a 2 ? 1, b2 ? 3 ; 直线方程为: y ? x ? 6 ,双曲线方程为: x2 ?

y2 ?1. 3

(2)解:设 M (n, 0), Q( x0 , y0 ) ,由于 F (2, 0) , 3x02 ? y02 ? 3 ; 因为 ?QFM ? 2?QMF ;所以 tan ?QFM ? tan 2?QMF ;

2

y 所以 0 ? x0 ? 2

y0 x0 ? n ,将 3x02 ? y02 ? 3 代入得: 4 x02 ? n2 ? 4n ? 3 ; y0 2 1? ( x0 ? n) 2 2

因为 x0 ? 1 ,所以 4 x02 ? n2 ? 4n ? 3 ? 4 ,即 n 2 ? 4n ? 1 ? 0 ; 解之可得: n ? 2 ? 5 或者 n ? 2 ? 5 (舍去) ; 所以在 x 轴负半轴上存在定点 M ,使得 ?QFM ? 2?QMF . 330.如图, C 为半圆弧的中点,点 P 为直径 BA 延长线上一点,过 P 作半圆的切线 PD , D 为切 点, ?BPD 的平分线分别交 AC、BC 于点 E、F ;求证:以 EF 为直径的圆过半圆的圆心 O .

C D F E P A O B
P A D

C F E O B

证明:连结 DA DE、DO DB、DF ,因为 C 是半圆弧的中点, PD 是切线; 、 、 所以 OC ? AB , PD ? OD ; 所以 ?DPB ? ?COD ,因为 PF 平分 ?DPB ;

1 1 所以 ?DPF ? ?DPB ? ?COD ? ?CAD ? ?CBD ; 2 2
所以 A P、D E 四点共圆, B、P、D F 四点共圆; 、 、 、 所以 ?CED ? ?DPA ? ?CFD , ?COD ? ?DPA ? ?CFD , 所以 C、D F、E 四点共圆, C、D、F、O 四点共圆; 、 所以 C、D F、E、O 共圆,即以 EF 为直径的圆过半圆的圆心O. 、

3