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直线与平面平行的判定


普通高中课程标准实验教科书 数学② (必修)

2.2.1直线与平面平行的判定
阳春市第一中学 楊耀邦
E-mail:yjycyyb@163.com

复习提问
直线与平面有怎样的位置关系?
1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点;

3.

直线与平面平行——没有公共点。
a

a

?

a

?

?

直观感知,操作确认

探究问题,归纳结论
如图,平面 ? 外的直线 a平行于平面 ? 内的直线b。 (1)这两条直线共面吗?

(2)直线

a与平面 ? 相交吗?

?

a
b

?

归纳结论
直线与平面平行的判定定理:
平面外的一条直线 平面外的一条直线与此平面内的一条直 平面内的一条直 直线与此平面平行 . 线平行 线平行,则该直线与此平面平行
(线线平行 ? 线面平行)

a
b

符号表示:
? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

a ? ??

?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D C

求证:EF∥平面BCD.

分析:要证明线面平行只需证明线线平行, 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF,由已 知的条件怎样找这条直线?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D

求证:EF∥平面BCD.

证明:连结BD.

∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD(三角形中位线性质) EF ? 平面BCD ? ? BD ? 平面BCD ? ? EF// 平面BCD ? FE//BD ?

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点,若 EB ? FD ,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A
F E B D C

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF. B 分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

变式2:

A

F
D

E O
C

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF, B

变式2:

A

F
D

E
O
C

AB ? 平面DC F? ? O F ? 平面DC F? ? AB //平面DC F ? AB //O F ?

反思~领悟:
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、 “平行”,缺一不可。

1.已知直线l1、 l2,平面 ? . l1// l2, l1// ? ,则l2与 ? 的位置关系是( ) A.l2 // ? B.l2 ? ? C .l2 // ?或l2 ? ?

巩固练习:

2.已知两条直线a、b,平面 ? // a, 则b与平面 ? 的位 置关系是( ) A.b // ? B.b与? 相交 C .b ? ? D.b // ? 或b与? 相交 3.如图,长方体ABCD-A’B’C’D’中,
A' D' B' C'

D.l2与? 相交

(1)与AB平行的平面是__________; (2)与AA’平行的平面是__________; (3)与AD平行的平面是___________.A
D

C B

巩固练习:
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找 一条直线与BD1平行.根据 已知条件应该怎样考虑辅 助线?
D1 A1 B1 E D C O B C1

A

巩固练习:
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D O B C D1 C1

∴BD1//EO. A BD1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD1 // 平面 AEC ? BD1 // EO ?

归纳小结,理清知识体系
判定直线与平面平行的方法:

(1).定义法:直线与平面没有公共点则直线与
平面平行;

(2).判定定理:(线线平行
a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

?

线面平行);

(三个条件 “内”、 “外”、“平 行”,缺一不 可。) (3).寻找平行直线可以通过三角形的中位线、

梯形的中位线、平行线的判定等来完成。

作业:

1.《成才之路》

P214 :[课后巩固提高]
2.课本P68第3题.


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