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【精选】高中数学人教B版必修五2.1.2《数列的递推公式(选学)》word学案-数学

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数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 2.1.2 数列的递推公式(选学) 自主学习 知识梳理 1.通项公式与递推公式的区别与联系 定义 不同点 相同点 通 如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可 项 给出 n 的值,可求出 用一个函数式 an=f(n)来表示,则这个公式称为 公 {an}的第 n 项 an {an}的通项公式 可确定一个数 式 列;可求出数 递 如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第 由第一项(或前几项) 列中任意一项 推 二项(或某一项)开始的任一项 an 与前一项 an-1(或 的值,经过一次(或 公 前几项)之间的关系可用一个公式来表示,则这 多次)运算,逐项地 式 个公式叫做{an}的递推公式 求出 an 2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法:an+1=an+f(n) (f(n)可求和) an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1). (2)累乘法:an+1=an· f(n) (f(n)为含 n 的代数式) a2 a3 an an=a1· · · …· =a1· f(1)· f(2)· …· f(n-1). a1 a2 an-1 3.数列{an}的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间的关系是:当 n=1 时,a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1. 4.Sn 与 an 的混合关系式有两个思路 (1)消去 Sn,转化为 an 的递推关系式,再求 an; (2)消去 an,转化为 Sn 的递推关系式,求出 Sn 后,再求 an. 自主探究 1.已知数列{an},a1=2,an+1=an+2,试用累加法推导{an}的通项公式. 2.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,试用累乘法推导{an}的通项公式. 对点讲练 知识点一 例1 利用累加法求通项公式 已知:a1=1,an+1=an+(2n+1),求 an. 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 总结 形如 an+1=an+f(n)的递推数列,常用累加法求其通项公式,关键是不断变换递推公式 中的“下标”. 1 变式训练 1 已知数列{an},a1=1,以后各项由 an+1=an+ 给出,试用累加法求通项公 n?n+1? 1 1 1 式 an.(提示: = - ). n?n+1? n n+1 知识点二 例2 利用累乘法求通项公式 已知:a1=1,an+1=2n· an,求 an. 总结 形如 an+1=anf(n)的递推数列,常用累乘法求其通项公式. 变式训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=n2an,且 a1=1,求{an}的通项公式. 知识点三 由实际问题提炼出递推公式 例 3 某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2010 年底全县的绿化率已达 30%.从 2011 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此同时,由于 3 各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化.设全县面积为 1,2010 年底绿化面积为 a1= ,经过 n 年 10 4 4 绿化总面积为 an+1.求证:an+1= + an.

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