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2015一轮复习数学第八章第九节课后限时自测

时间:2015-02-06


课后限时自测
(见学生用书第 327 页)

A组 一、选择题 1.若点 M(x,y)满足

基础训练

(x-2)2+y2+

(x+2)2+y2=4,则点 M 的轨

迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.两条射线 【解析】 方程表示点 M(x,y)到两定点 F1(-2,0)和 F2(2,0)的距离之和 为 4,而|F1F2|=4,故点 M 的轨迹是线段 F1F2. 【答案】 C 2.(2013·威海模拟)若动圆 M 与定圆 C1:(x+2)2+y2=1 和定圆 C2:(x- 2)2+y2=1 都外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x=0 B.y=0 2 2 C.x +y =1 D.x2-y2=1 【解析】 设动圆半径为 R,则|MC1|=R+1,|MC2|=R+1,故|MC1|=|MC2|, 点 M 在线段 C1C2 的中垂线上,其方程为 x=0. 【答案】 A 3.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动 1 点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,则动点 P 的轨迹方程为( 3 x2 2 A. +y =1 3 x2 3 2 C. + y =1 4 4 【解析】 则有 y-1 x+1
2

)

x2 2 B. +y =1(x≠±1) 3 x2 3y2 D. + =1(x≠±1) 4 4

由题意 B 点坐标为(1,-1),设 P(x,y), · y+1 1 =- , x-1 3
2

x2 3 2 即 3y -3=1-x ,整理得 + y =1(x≠±1). 4 4 【答案】 D

→ → → → 4.已知定点 F1,F2 和动点 P 满足|PF1-PF2|=2,|PF1+PF2|=2,则点 P 的轨迹为( A.椭圆 C.直线 【解析】 ) B.圆 D.线段 → +PF → =2PO →. 取线段 F1F2 的中点 O,则PF 1 2

→ |=2,即|PO → |=1,又|F→ → → ∴2|PO 2F1|=|PF1-PF2|=2, ∴点 P 的轨迹是以 F1F2 为直径的圆. 【答案】 B 5.(2013·黄山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在 → ∥OA → ,MA → ·AB → =MB → ·BA → ,则点 M 的轨迹方程 直线 y=-3 上,点 M 满足MB 为( ) A.y=4x
2

1 2 B.y= x 4 1 D.y= x2-2 4

C.y=4x2+2

→ =(-x, 【解析】 设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1),所以MA → =(0,-3-y),AB → =(x,-2). -1-y),MB → +MB → )·AB → =0, 再由题意可知(MA 即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0, 1 所以轨迹方程为 y= x2-2. 4 【答案】 D 二、填空题 ? y? ? ? → ⊥BC → ,则动点 C 的 6.平面上有三点 A(-2,y),B?0, ?,C(x,y),若AB 2? ? 轨迹方程为________. 【解析】 ? ? y? y? → =?2,- ?,BC → =?x, ?. AB ? ? 2? 2? ? ? ? ?

→ ⊥BC →, ∵AB

→ ·BC → =0,得 2·x- y· y =0, ∴AB 2 2 得 y2=8x. 【答案】 y2=8x x y 7.直线 + =1 与 x,y 轴交点连线的中点轨迹方程是__________. a 2-a 【解析】 设中点为 M(x,y), x y ∵直线 + =1 与坐标轴的交点为(a,0)和(0,2-a), a 2-a a ? x= , ? 2 故? 消去 a, 2-a ? ?y= 2 , 得 x+y-1=0. 又 a≠0,a≠2, ∴x≠0 且 x≠1. 【答案】 x+y-1=0(x≠0,x≠1) 8.(2013·山东聊城一模)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A(1,0)、 → =OA → +t(OB → -OA → ),其中 t∈R,则点 C 的轨迹方程是 B(2,2),若点 C 满足OC ________. 【解析】 → =(x,y),OA → +t(OB → -OA → )=(1+t,2t), 设 C(x,y),则OC

? ?x=t+1, 所以? 消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y=2x-2. ? y = 2t , ? 【答案】 y=2x-2 三、解答题 9.已知圆 C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆 C 的弦 OP,求 OP 的中点 Q 的轨 迹方程.

【解】 法一 如图所示,连接 QC,其中 Q 是 OP 的中点, 所以∠OQC=90°. 设 Q(x,y),由题意, 得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,

即 x2+y2+[x2+(y-3)2]=9, ? 3? ? ?2 9 所以 x +?y- ? = (去掉原点). 4 ? 2? 法二 如法一图中所示,因为 Q 是 OP 的中点,所以∠OQC=90°,则 Q 在以
2

? 3? ? ?2 9 OC 为直径的圆上,故 Q 点的轨迹方程为 x2+?y- ? = (去掉原点). 4 ? 2? 法三 设 P(x1,y1),Q(x,y), x ? x= , ? 2 ? ?x =2x, 由题意得? 即? ? y ?y =2y, y= , ? ? 2
1 1 1 1
2 又因为 x2 1+(y1-3) =9,

? 3? ? ?2 所以 4x2+4?y- ? =9, ? 2? ? 3? ? ?2 9 即 x +?y- ? = (去掉原点). 4 ? 2? 10.(2012·湖北高考改编)设 A 是单位圆 x2+y2=1 上的任意一点,l 是过 点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点, 点 M 在直线 l 上, 且满足|DM| =m|DA|(m>0,且 m≠1).当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.
2

【解】

如图,设 M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且 m≠1), ① ②
2

1 可得 x=x0,|y|=m|y0|,所以 x0=x,|y0|= |y|. m
2 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x2 0+y0=1.

将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x +

=1(m>0,且 m≠1).因为 m2

y2

m∈(0,1)∪(1,+∞), 所以当 0<m<1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(- 1-m2,0),( 1-m2,0);

当 m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0,- m2-1),(0, B组 能力提升 m2-1).

1.(2013·台州模拟)如图 8-9-3,在平面直角坐标系中,N 为圆 A:(x+ →· → 1)2+y2=16 上的一动点, 点 B(1, 0), 点 M 是 BN 中点, 点 P 在线段 AN 上, 且MP BN =0.动点 P 轨迹方程是( )

图 8-9-3 x2 y2 A. - =1 4 3 x2 B. -y2=1 4 x2 y2 C. + =1 4 3 x2 2 D. +y =1 4 → ·BN → =0,可知 PM 垂直平分 BN,所以 【解析】 由点 M 是 BN 中点,又MP |PN|=|PB|.又|PA|+|PN|=|AN|,所以|PA|+|PB|=4.由椭圆定义知,点 P 的 轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.设椭圆方程为 + =1,由 2a=4,2c=2,可得 a2 b2 x2 y2 a =4,b =3.可知动点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3
2 2

x2

y2

【答案】

C

图 8-9-4 2.(2013·四川成都二模)P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的 a b → =PF → +PF → ,则动点 Q 的轨迹方 两个焦点,O 为坐标原点,有一动点 Q 满足OQ 1 2 程是________. → =PF → +PF → ,又PF → +PF → =PM → =2PO → =-2OP → ,设 Q(x, 【解析】 由OQ 1 2 1 2 y), ? x y? → =-1OQ → =?- ,- ?, 则OP ? 2 2? 2 ? ? ? x?2 ? y?2 ? ? ? ? ?-2? ?-2? ? x ? y x2 ? ? ? ? ? ? - ,- 即 P 点坐标为? ,又 P 在椭圆上,则有 + =1,即 2 2? a2 b2 4a ? 2 ? y2 + 2=1. 4b 【答案】 + =1 4a2 4b2 x2 y2 x2 y2

图 8-9-5 3.(2013·威海模拟)如图 8-9-5,在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F(0, p)(p>0),直线 l:y=-p,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 x 轴的交点, 过 R,P 分别作直线 l1,l2,使 l1⊥PF,l2⊥l,l1∩l2=Q. (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l 上任取一点 M 做曲线 C 的两条切线,设切点为 A,B,求证:直 线 AB 恒过一定点. 【解】 (1)依题意,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ⊥FP,

∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∴|PQ|=|QF|. 故动点 Q 的轨迹 C 是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为:x2=4py(p>0). (2)设 M(m,-p),两切点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2=4py 得 y= 1 x2,求导得 y′= x. 4p 2p x1(x-x1) 2p 1 ① 1

∴两条切线方程为 y-y1= 1

y-y2=

x2(x-x2) 2p 1 2 x1(m-x1),又 y1= x1, 2p 4p 1



对于方程①,代入点 M(m,-p)得, -p-y1=

∴-p-

1 x2 x1(m-x1)整理得: 1= 4p 2p

1

2 x2 1-2mx1-4p =0, 2 同理对方程②有 x2 2-2mx2-4p =0, 即 x1,x2 为方程 x2-2mx-4p2=0 的两根. ∴x1+x2=2m,x1x2=-4p2③ 设直线 AB 的斜率为 k ,

y2-y1 x2 1 2-x2 1 k= = = (x1+x2) x2-x1 4p(x2-x1) 4p 所以直线 AB 的方程为 y- x1x2 - , 4p 代入③得:y= x+p, 2p m 1 1 = (x1+x2)(x-x1),展开得:y= (x1+x2)x 4p 4p 4p x2 1

∴直线恒过定点(0,p).


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