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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.4.2抛物线的简单几何性质(1)》课件


2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质

问题 1.抛物线有哪些简单几何性质? 引航 2.如何判断抛物线的对称性?

抛物线的简单几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

图象

r />
标准方程
范围 对称轴 顶点 性质 焦点 准线 离心率

y2=2px (p>0)
x≥0, ______ y∈R _____

y2=-2px (p>0)
x≤0, ______ y∈R _____

x2=2py (p>0)
x∈R, ______ y≥0 _____

x2=-2py (p>0)
x∈R, ______ y≤0 _____

x __轴 O(0,0) _______
p F( ,0) 2 ______ p x?? 2 ______ p F( ? ,0) 2 ______ p x? 2 ______

y __轴

p F(0, ) 2 ______ p y?? 2 ______

p F(0, ? ) 2

______
p 2 ______ y?

1 e=__

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形.( (2)抛物线的范围是x∈R.( (3)抛物线是轴对称图形.( ) ) )

【解析】(1)错误.在抛物线方程中,以-x代x,-y代y,方程发生 了变化,故抛物线不是中心对称图形,故此说法错误. (2)错误.抛物线的方程不同,其范围就不一样,如y2=2px(p>0) 的范围是x≥0,y∈R,故此说法错误. (3)正确.抛物线y2=〒2px(p>0)的对称轴为x轴,抛物线 x2=〒2py(p>0)的对称轴为y轴,故此说法正确. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程 是 .

(2)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则 p= . .

(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为

【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为x2=ay,将点(4,1)代入, 得a=16,故方程为x2=16y. 答案:x2=16y

(2)y2=2px(p>0)的焦点为 ( p , 由题意得 0),
p ( ? 2) 2 ? 9 ? 5,解得p=4或p=-12(舍去). 2
2

答案:4 (3)由y=2px2(p>0),得 x 2 ? 1 y,
2p

故对称轴为y轴. 答案:y轴

【要点探究】 知识点 抛物线的简单几何性质

1.抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系

a>0时,焦点在x轴正半轴上,开口 一次项为 向右 y2=ax x项,x轴 为对称轴 a<0时,焦点在x轴负半轴上,开口 向左
a>0时,焦点在y轴正半轴上,开口 一次项为 向上 x2=ay y项,y轴 为对称轴 a<0时,焦点在y轴负半轴上,开口 向下

2.抛物线的图象具有的特征 抛物线是轴对称图形,其对称轴为x轴或y轴,只有一个顶点,一 个焦点,一条准线,并且离心率为1.

3.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较 椭圆 双曲线 抛物线

对称轴
对称中心 顶点 焦点 准线 4个 2个

x轴和y轴
(0,0) (0,0) 2个 2个 不研究

x轴或y轴
无 1个(0,0) 1个 1条

不研究

渐近线
离心率


e∈(0,1)

2条
e∈(1,+∞)


e=1

【知识拓展】抛物线的通径

【微思考】

(1)影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的?
提示:参数p影响抛物线开口大小,p值越大,抛物线的开口越 开阔,p越小,开口越扁狭.

(2)点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的关系有哪些?分别满足

什么条件?
提示:①点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)内部?y02<2px0;

②点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)上?y02=2px0;
③点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)外部?y02>2px0.

【即时练】 已知抛物线y2=6x,判断下列点与该抛物线的关系. (1)P1(1, 6 ).(2)P2(2,3).(3)P3(1,3). 【解析】将点的坐标分别代入抛物线y2=6x的方程,可知P1在 抛物线上,P2在抛物线内部,P3在抛物线外部.

【题型示范】 类型一 焦半径和焦点弦问题

【典例1】 (1)(2014·石家庄高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛 物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,那么|AB|等于( A.10 B.8 C.6 D.4 )

(2)已知抛物线y2=2px(p>0),直线l经过其焦点且与x轴垂直,并 交抛物线于A,B两点,若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点,则 △ABP的面积为( A.20 B.25 ) C.30 D.50

【解题探究】1.题(1)过焦点的弦问题一般如何处理? 2.题(2)中焦点到准线的距离等于多少? 【探究提示】1.过焦点的弦问题一般可转化为焦半径问题求解. 2.焦点到准线的距离等于p.

【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=4x,得p=2, 设抛物线的焦点为F,则|AB|=|AF|+|FB|= x1 ? p ? x 2 ? p
2 2

=x1+x2+p=6+2=8. (2)选B.因为直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与x轴垂直, 并且交抛物线于A,B两点,则|AB|=2p=10,所以p=5,故抛物

线的方程为y2=10x,P为抛物线的准线上一点.P到直线AB的距
离为p=5,则△ABP的面积为 1 〓10〓5=25.
2

【方法技巧】 1.抛物线的焦半径 (1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为 端点的线段. (2)抛物线的焦半径公式:P(x0,y0)为抛物线上一点,F为焦点. ①若抛物线y2=2px(p>0),则|PF|= x 0 ? ;
p ? x 0; 2 p ③若抛物线x2=2py(p>0),则|PF|= y 0 ? ; 2 p ④若抛物线x2=-2py(p>0),则|PF|= ? y0 . 2 p 2

②若抛物线y2=-2px(p>0),则|PF|=

2.过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),

B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线
方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.

【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点 且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物 线的方程. 【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解 方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.

【解析】若抛物线开口向右, 如图. 设抛物线的方程为y2=2px(p>0), 则直线方程为 y ? ? x ? 1 p.
2

设直线交抛物线于A(x1,y1),
B(x2,y2)两点,

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
= x1 ? p ? x 2 ? p ,
2 2

即x1+x2+p=8.
又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
1 ? 2 y ? ? x ? p, ? p 2 由? 消去y,得 x ? 3px ? ? 0, 2 4 ? y 2 ? 2px, ?



所以x1+x2=3p.

将其代入①,得p=2. 所以所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x. 综上,抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x.

【补偿训练】AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦,且

|AF|=1,|BF|= , 求抛物线及直线AB的方程.
【解题指南】设出A,B两点的坐标,根据抛物线定义可分别表

1 3

示出|AF|和|BF|,进而可求得|AF|+|BF|,求得x1+x2的表达
式,表示出|AF|·|BF|,建立等式求得p,则抛物线方程可得.

再由|AB|=

2p 4 2θ= 3 从而利用特殊角的三角函 得 sin ? , , 2 sin ? 3 4

数求出直线AB的斜率,由点斜式方程写出直线 AB的方程.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AF|= x1 ? p , |BF|= x 2 ? p , 则|AF|+|BF|=x1+x2+p= 4 , 所以x1+x2=
4 ? p, 3 3 2 2

因为|AF|≠|BF|, 所以过焦点 ( p ,0) 的直线斜率存在且不为0,则可设AB的方程 为 y ? k(x ? p ).
2 2

又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点,则
p ? y ? k(x ? ), 2p p2 ? 2 ? 0, 2 ? x ? ( 2 ? p)x ? ? k 4 ? y 2 ? 2px ?
2 所以x1·x2= p .

4

p p2 1 由|AF|·|BF|= x1 gx 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? . 2 4 3 2 得 p ? p g( 4 ? p) ? 1 , 2 2 3 3 1 即 2p ? 1 , 所以 p ? , 2 3 3

抛物线方程为y2=x.

设直线AB的倾斜角为θ, 又根据两点间的距离公式得|AB|2=(y2-y1)2+(x2-x1)2=(tan2θ+ 1)(x2-x1)2, 由于直线AB过点 ( ,0), 设直线AB的方程为 y ? tan ?(x ? p ), 与抛物线方程联立得到: tan2θx2-(tan2θ+2)px+ 1 p2tan2θ=0,
4 2 p 2

那么(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2
2 2 tan ? ? 2 p = ( ? p) 2 ? 4 ? 2 tan ? 4

=4p2(tan2θ+1)〓

1 , 4 tan ?

那么|AB|2=(tan2θ+1)(x2-x1)2
2 1 4p =(tan2θ+1)〓4p2(tan2θ+1)〓 4 ? 4 . tan ? sin ?

所以|AB|= 2p , 2
sin ? 4 得 3 2 由|AB|= 2p ? , sin ? ? , 2 sin ? 3 4

所以 sin ? ? ? 3 ,
2

所以θ=60°或120°,得 k ? tan ? ? ? 3, 所以直线AB的方程为 y ? ? 3(x ? 1 ).
4

类型二

抛物线性质的应用

【典例2】

(1)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且
∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积



.

(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点

A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个三角形的边长.

【解题探究】1.题(1)由题设条件,要求△AKF的面积,只需求出 什么? 2.题(2)三角形的另两个顶点应满足什么关系? 【探究提示】1.根据题设条件,要求△AKF的面积,只需求出点A

的坐标即可.
2.根据抛物线的对称性及三角形为正三角形,故A,B两点应关于

x轴对称.

【自主解答】(1)如图, 设A(x0,y0), 过A作AH⊥x轴于H, 在Rt△AFH中,|FH|=x0-1, 由∠AFO=120°得∠AFH=60°, 故 y0 ? AH ? 3 ? x 0 ? 1? ,

所以点A的坐标为 x 0 , 3 ? x 0 ? 1? , 将此代入抛物线方程可得3x02-10x0+3=0,
1 解得x0=3或x0= (舍),故S△AKF= 1 ? ? 3 ? 1? ? 2 3 ? 4 3. 3 2

?

?

答案: 4 3

(2)如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标 分别为(x1,y1),(x2,y2),y12=2px1,y22=2px2. 又因为|OA|=|OB|,

所以x12+y12=x22+y22,
即x12-x22+2px1-2px2=0.

所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1>0,x2>0,2p>0,

所以x1+x2+2p≠0.所以x1=x2.

即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°, 所以AB⊥x轴,所以y1=x1tan 30°=
2 y 1 又因为x1= , 所以y1= 2 3p. 2p

3 x1 . 3

而|AB|=2y1= 4 3p 即为所求边长.

【延伸探究】题(2)中若△AOB为直角三角形,且∠AOB=90°,判

断直线AB是否恒过定点?
2 2 y y 【解析】直线AB恒过定点(2p,0).设 A( 1 , y1 ),B( 2 ,y 2 ), 2p 2p

由OA⊥OB,故kOA·kOB=-1,得:
y1 y 2 2. 即 y · y =-4p g ? ? 1 , 1 2 y12 y 2 2 2p 2p k AB ? y1 ? y 2 2p ? . 2 2 y1 y 2 y1 ? y 2 ? 2p 2p

所以直线AB的方程为 y ? y1 ?

2p 2p y12 即 y? x? g ? y1 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2p = 2p x ? y1y2 ? 2p (x ? y1y2 ), y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 2p

2p ? x ? x1 ? , y1 ? y2

将y1·y2=-4p2代入上式得 y ? 故直线AB恒过定点(2p,0).

2p ? x ? 2p ? , y1 ? y2

【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题.

【变式训练】已知直线l过坐标原点, 抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半 轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于 l的对称点都在C上,求直线l和抛物线 C的方程.

【解题指南】先设出抛物线的标准方程和直线l的方程,根据

A′,B′分别是A,B关于l的对称点,进而可知A′A⊥l,进而可
得直线A′A的方程,把两直线方程联立求得交点M的坐标,进 而根据M为AA′的中点,求得A′点的坐标和B′点的坐标,分 别代入抛物线方程求得p的表达式,最后联立求得k,进而求得 p,则直线和抛物线的方程可得.

【解析】依题设抛物线C的方程可写为 y2=2px(p>0), 且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点, 因而可设l的方程为y=kx(k≠0),①

设A′,B′分别是A,B关于l的对称点,因而A′A⊥l,直线
A′A的方程为 y ? ? 1 ? x ? 1?, ②
k

由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为 (?

1 k , ? ). 2 2 k ?1 k ?1

又M为AA′的中点,从而点A′的横坐标为
1 k2 ?1 x A? ? 2(? 2 ? 1) ? 2 , k ?1 k ?1

纵坐标为 y A? ? 2(

?k 2k ) ? 0 ? ? .③ 2 2 k ?1 k ?1

同理得点B′的横、纵坐标分别为 x B? ? 16k , y B? ? 2
k ?1

8 ? k 2 ? 1? k ?1
2

.④

又A′,B′均在抛物线y2=2px(p>0)上,
2k 2 k2 ?1 由③得 (? 2 ) ? 2pg 2 , k ?1 k ?1 2k 2 由此知k≠〒1,即 p ? 4 .⑤ k ?1 2 2 2 2 k ? 1 8 k ? 1? 2 16k 同理由④得 ( ? 2 . ) ? 2pg 2 , 即 p ? 2 k ?1 k ?1 k ?1 k

?

?

?

?

从而 2k

2

k4 ?1

?

2 ? k 2 ? 1?

2

?k

2

? 1? k

2 , 整理得k -k-1=0,

解得 k ? 1 ? 5 ,k ? 1 ? 5 . 1 2
2 2

但当 k ? 1 ? 5 时,由③知 x A? ? ? 5 <0, 这与点A′在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾,故舍去 k 2 ? 1 ? 5 .
1? 5 x. 所以 k ? 1 ? 5 ,则直线l的方程为 y ?

2

5

2

2

2

将 k ? 1 ? 5 代入⑤,求得 p ? 2 5 .

所以直线方程为 y ? 1 ? 5 x. 抛物线方程为 y2 ? 4 5 x.
2

2

5

5

【补偿训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐 标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点, 求直线AB的方程.

【解析】如图所示.设A(x0,y0), 由题意可知B(x0,-y0), 又 F( p ,0) 是△AOB的垂心,
2

则AF⊥OB,所以kAF·kOB=-1, 即
y0 x0 ? p 2 g(? y0 p ) ? ?1, 所以y02= x 0 (x 0 ? ), x0 2

又y02=2px0,所以 x ? 2p ? p ? 5p . 0
2 2 因此直线AB的方程为 x ? 5p . 2

类型三

抛物线中的定值与最值问题

【典例3】 (1)(2014·太原高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的经过焦 点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值一定等于( A.4 ) C.p2 D.-p2
y1 y 2 x1 x 2

B.-4

(2)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐 标是(
2

) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4)

A.( 1 ,1)

【解题探究】1.题(1)x1·x2可否用y1y2表示? 2.题(2)中抛物线的方程是否是标准方程,抛物线上的任意一点 到直线y=4x-5的距离如何表示?

2 2 y y 1 2 【探究提示】1.能.由A,B在抛物线上,故 x1 ? , x2 ? , 2p 2p 2 2 所以 x1 gx 2 ? y1 y22 . 4p 2.已知的方程不是标准形式,可化为 x 2 ? 1 y,可设抛物线上的 4

一点为(x,4x2),则其到直线的距离为

4x ? 4x 2 ? 5 4 ? ? ?1?
2 2

.

【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=2px(p>0),得焦点坐标为
p p ( , 0),设过焦点的弦AB所在直线方程为 x ? my ? . 2 2

? y 2 ? 2px, 2-2pmy-p2=0, 由? 消去 x 得: y ? p x ? my ? , ? 2 ?

所以y1·y2=-p2.
2 2 y y 由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,故 x1 ? 1 , x 2 ? 2 , 2p 2p y1 y 2 y1 y 2 4p 2 所以 ? 2 ? ? ?4. 2 x1x 2 y1 y 2 y1 y 2 g 2p 2p

(2)选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2),其中x∈R, 由点到直线的距离公式得
1 2 | 4(x ? ) ?4| 4x ? 4x ? 5 2 d? ? 2 17 42 ? ? ?1?
2

所以当 x ? 1 时,d最小.这时点的坐标为 ( 1 ,1).
2 2

方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m,
y ? 4x ? m,得4x2-4x-m=0. 由 ? ? ? y ? 4x
2

再由Δ=16-4〓4〓(-m)=0得m=-1.
1 这时切点为 ( 1 ,1),切点 ( ,1) 到y=4x-5的距离最小. 2 2

【方法技巧】抛物线中最值的求解策略 (1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注 意抛物线的范围. (2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要 考虑抛物线的定义,注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.

【变式训练】过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线交抛物线于 P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p,q,则 1 ? 1 等于(
p q
A.2a B. 1 2a C.4a D. 4 a

)

【解析】选C.抛物线y=ax2的标准形式为 x 2 ? 1 y, 所以焦点 F(0, 1 ). 取特殊情形,
4a a

即直线PQ平行于x轴,则p=q. 如图所示,由于|PF|=|PM|, 所以 p ?
1 ,故 1 ? 1 ? 2 ? 4a. 2a p q p

【补偿训练】已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线 y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(
A.2 B.3 11 C. 5 37 D. 16

)

【解析】选A.直线l2:x=-1为抛物线
y2=4x的准线,由抛物线的定义知,

P到l2的距离等于P到抛物线的焦点
F(1,0)的距离,故本题转化为在抛 物线y2=4x上找一个点P,使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之 和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即dmin =
4?0?6 ? 2,故选择A. 5

【规范解答】抛物线的性质在求最值中的应用 【典例】(12分)已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A 的坐标为(12,6),求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的 最小值.

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升 失分点1:若在①处求错焦点坐标,导致结果出错,则本例将不得 分. 失分点2:若②处不明白题意,不能充分利用抛物线的定义对距 离进行转化,则会使得下一步无法解答,最多得4分. 失分点3:若不能将到x轴距离转化为到焦点距离,③处则无法利 用图形判断A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值,最多得8分.

【悟题】提措施,导方向
1.定义的应用意识

涉及抛物线上点到准线的距离问题,一般考虑用点到焦点的距
离进行转化,如本例中P到x轴的距离可转化为|PF|=y+1进行求 解. 2.条件的合理运用 对题目给出的问题要认真分析,合理转化,如本例中求最值问题 可从平面几何知识入手,利用几何意义寻找取最小值的条件.

【类题试解】(2014·北京高二检测)若抛物线C:y2=x上一点P
到A(3,-1)的距离与到焦点F的距离之和最小,求点P的坐标.

【解析】因为点A(3,-1)在抛物线内部, 如图所示, 设抛物线的准线为l,过抛物线上一点P, 作PQ⊥l于Q,过A作AB⊥l于B. |PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AB|, 故当且仅当P,A,B共线时,|PF|+|PA|的值最小. 此时P点坐标为(x0,-1),代入y2=x,得x0=1. 故点P的坐标为(1,-1).


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