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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 导数与函数试题精选03


导数与函数 03
二、填空题 40. 函 数 f ? x ? 对 于 任 意 实 数

x 满 足 条 件 f ? x ? 2? ?

1 , 若 f ?1? ? ? 5 ,则 f ? x?

f ? f ?5?? ? _______________。

41. 函 数 f ? x ? 对

于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ( x ? 1) ?

1 , 若 f ?1? ? ? 5 , 则 f ( x)

f ? f ?5?? ? __________。

42. 已 知 函 数 f ( x) ? a ? 4a ? 3 的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 ( -1 , 2 ) ,那么 a 的值等
x



. 解:依题意,当 x=2 时,y=1,代入 f ( x) ? a ? 4a ? 3 中,得 a=2
x

43.设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f (x) ,若〔f (m)+6〕 〔f (n)+6〕=27,则 f(m+n)=___________________ 解:f (x)=3 -6 故〔f (m)+6〕?〔f (x)+6〕=3 ?3 =3
-1 x -1 -1 m n m +n

-1

-1

-1

=27

?m+n=3?f(m+n)=log3(3+6)=2。

? e x , x ? 0. 1 44.设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.
1 ln 1 1 1 【解析】 g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? . 2 2 2

【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算. 45.方程 log2 ( x ?1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的解为 .

-1-

46.已知函数 f ? x ? ? a ?

1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 z ?1 1 1 1 . 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 a ? 0 ? 0 ,a= . 解析:函数 f ( x) ? a ? x 2 2 ?1 2 ?1
x

47.若函数 f ( x) = a x ( a >0,且 a ≠1)的反函数的图像过点(2,-1) ,则 a = 解:由互为反函数关系知, f ( x) 过点 (?1,2) ,代入得: a ?1 ? 2 ? a ? 1 ;



2

48.方程 log3 ( x2 ?10) ? 1 ? log3 x 的解是_______.

49. 对 a,b ? R, 记 max|a,b|= ? 是 .

?a , a ? b 函 数 f ( x ) = max||x+1|,|x-2||(x ? R) 的 最 小 值 ?b, a<b

【考点分析】本题考查新定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题。 解析:由 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? x ?
2 2

1 ,故 2

y ? x?2

y ? x ?1

? ? x ?1 ? f ?x ? ? ? ?x?2 ? ?

? ?x ? ? ? ?x ? ?

1? ? 2? 1? ? 2?

,其图象如右,

则 f min ?x ? ? f ? ? ?

?1? ?2?

1 3 ?1 ? 。 2 2

【名师点拔】数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素养。

50.设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? alg( x 为 。

2

?2 x?3)

2 有最大值,则不等式 log a x ? 5 x ? 7 ? 0 的解集

?

?

-2-

51.设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga ( x2 ? 2x ? 3) 有最小值,则不等式 log a ( x ? 1) ? 0 的解集 为 。 解:由 a ? 0, a ? 1, 函数 f ( x) ? loga ( x2 ? 2x ? 3) 有最小值可 知 a?1 ,所 以不等式

log a ( x ? 1) ? 0 可化为 x-1?1,即 x?2.
52.方程 log 3 (2 x ? 1) ? 1 的解 x ? .

解:由 log3(2x-1),化为同底数的对数,得 log3(2x-1)=log33,2x-1=3 ,即 x=2 .从而 应填 2. 53.函数 f ( x) ? 3x ? 5,

x ?[ 0, 1 ] 的反函数 f

?1

( x) ?

.

54. 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则 当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? .

解:当 x∈(0,+∞) 时,有-x∈(-∞,0),注意到函数 f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶 函数,于是,有 f(x)=f(-x)=-x-(-x) =-x-x .从而应填-x-x . 三、解答题 55. A 是定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合: ①对任意的 x ?[1,2] , 都 有 ? (2 x) ? (1, 2) ; ② 存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1, 2] , 都 有
4 4 4

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | .
(I)设 ? (2x) ? 3 1 ? x , x ?[2,4] ,证明: ? ( x) ? A (II)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1, 2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x 0 是唯一的; (III) 设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn ?1 ? ? (2 xn ) , n ? 1, 2,? ,证明:给定正整数 k ,
-3-

对任意的正整数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? ? (1,2), x0 ? x0 ? 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? ? ( 2 x0 ? )则 (II)反证法:设存在两个 x0 , x0
由 | ? (2 x0 ) ? ? (2 x0 ) |? L | x0 ? x0 | , 得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | , 所 以
/ /

/

/

L ? 1 ,矛盾,故结论成立。

56.设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a)
1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

-4-

解析:本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运 用数学知识分析问题、解决问题的能力。

(Ⅱ)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? 注意到直线 t ? ?

1 2 at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2

1 1 2 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2

(III)解法一:

-5-

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 ?

1 1 a 2 1 1 ? ? ? 时,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? ? a a 2 2 a 2

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 2 1 2 时,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) , ? 2? ?? a 2 a 2

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , 2

57.设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
b

(Ⅰ)a>0 且-2<

a <-1; b

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根. 解析:本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分 14 分。 证明: (I)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 .

-6-

由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a

58.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f

? f ( x) ? x

2

? x ? ? f ( x) ? x 2 ? x.

(I)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f ( a ) ; (II)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式

解:(I)因为对任意x ? R,有f(f(x)-x2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x 所以f(f(2)-22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2 又由f(2)=3,得f(3-22 ? 2) ? 3 ? 22 ? 2, 即f (1) ? 1 若f(0)=a,则f(a ? 02 ? 0) ? a ? 02 ? 0, 即f ( a) ? a

(II)因为对任意x ? R,有f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) ? x0 所以对任意x ? R, 有f ( x) ? x 2 ? x ? x0
2 在上式中令x ? x0,有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 2 又因为f ( x0 ) ? x0,所以x0 ? x0 ? 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x) ? x 2 ? x ? 0,即f ( x) ? x 2 ? x 但方程x 2 ? x ? x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ? 0 若x0 =1,则有f ( x) ? x 2 ? x ? 1, 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (x ? R)

-7-

59.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

解 法 二 : 由 ( Ⅰ ) 知

f ( x) ?

1 ? 2x 2 ? 2 x ?1

. 又 由 题 设 条 件 得 :

1 ? 2t 2 ? 2t

2

? 2t

2

? 2t ?1

?

1 ? 22t 2 ? 22 t
2

2

?k

2

? k ?1

? 0,
2

即 : (22t 整理得

?k ?1

? 2)(1 ? 2t

?2t

) ? (2t

2

?2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0,

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

-8-


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