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湖北省黄冈中学2013届高三第二次模拟考试数学理学生


湖北省黄冈中学 2013 届高三第二次模拟考试 数学(理)试卷
命题:冯小玮 审稿:王宪生 校对:杨园 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.设非空集合 P、Q 满足 P ? Q ? P ,则( A. ? x ? Q , 有 x ? P C. ? x 0 ? Q ,使得 x 0 ? P 2

.已知
x 1? i

) B. ? x ? Q ,有 x ? P D. ? x 0 ? P ,使得 x 0 ? Q )

? 1 ? y i ,其中 x , y 是实数, i 是虚数单位,则 x ? yi 的共轭复数为(

A. 1 ? 2 i

B. 1 ? 2 i

C. 2 ? i
? a ? 2 ) ? P ( ? ? a ? 2 ) ,则

D. 2 ? i a =( D.4 )

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N (3,7),若 P (? A.1 B.2

C.3

4.已知集合 M ? ? x | x ? 4 | ? | x ? 1 |? 5? , N ? ? x a ? x ? 6 ? ,且 M ? N ? ? 2 , b ? ,则
a?b ? ( )

A. 6 B. 7 C. 8 5.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为( )
2 2 2 2

D. 9

3

1

1

正视图
2 2

侧视图

俯视图 (第 5 题图) A.4+
5? 2

(第 6 题图) B.4+
3? 2

C.4+

?
2
? ?
n

D.4+ ?
1? ? 的展开式中含 x?

6.如右上图,已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式 ? x k ? 有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 ( A. 4 B. 5 ) C. 6

D. 7

7.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6个点)两次,落在水平桌面后, 理科数学试卷 第 1 页 共 4 页

记正面朝上的点数分别为 x,y,设事件 A 为“x +y 为偶数”, 事件 B 为“x ,y 中有偶数 且“ x ? y ”,则概率 P ( B A ) ? ( A.
1 2

) C.
1 4 1 m ?

B.

1 3

D.

2 5 4 n

a 8.正项等比数列 ?a n ? 中,存在两项 a m , a n 使得 a m a n ? 4 a 1 ,且 a 6 ? a 5 ? 2 4 ,则



最小值是( A.
3 2

) B.2 C.
7 3

D.

25 6

? x ? 2 y ? ?2 ? 2 2 9.设 x , y 满足约束条件 ? 3 x ? 2 y ? 3 ,若 x ? 4 y ? a ?x ? y ? 1 ?

恒成立,则实数 a 的最大值为

( A.
1 2

) B.
3 4
1 1? | x |

C.

4 5

D.

5 6

10.已知函数 f ( x ) ( x ? R ) 是偶函数,且 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x ) ? 1 ? x , 则方程 f ( x ) ? A.8 在区间 [ ? 1 0 , 1 0 ] 上的解的个数是( B.9 C.10 ) D.11

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 2 5 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上,书写不清楚,模棱两可均不得分. 11.一个学校高三年级共有学生 600 人,其中男生有 360 人,女生有 240 人,为了调查高三 学生的复习状况,用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 50 的样本,应 抽取女生 人. 12.已知函数 f ( x ) ? ? x ? a x ? b x ( a , b ? R )的图象如下图所示,它与 x 轴在原点处相
3 2

1 切, x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 , a 的值为 且 则 12



13.某小朋友按如右图所示的规则练习数数,1 大拇指,2 食指, 3 中指,4 无名指,5 小指,6 无名指, ... ,一直数到 2013 时, 对应的指头是 (填指头的名称). 14.设 F1 , F 2 是椭圆
x m
2 2

?

y n

2 2

? 1( m ? 0 , n ? 0 ) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,当
1 49

? F1 P F 2 取最大值时的余弦值为 ?

.则(Ⅰ)椭圆的离心率为



理科数学试卷

第 2 页 共 4 页

(Ⅱ)若椭圆上存在一点 A ,使 ? O A ? O F 2 ? ? F 2 A ? 0 ( O 为坐标原点),且 A F1 ? ? A F 2 , 则 ? 的值为 .

??? ?

???? ?

???? ?

????

???? ?

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果给分. ) A 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,在△ ABC 中,AB=AC, ? C ? 72° ,⊙O 过 A、B 两点且与 BC 相切 于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 ,则 A C ? 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 1, C 2 的极坐标方程分别为 ? co s ? ? 2 ,
? ? 4 cos ? ( ? ≥ 0, ≤ ? ? 0
π 2 ) ,则曲线 C 1 与 C 2 交点的极坐标为
B C



O? D

第 15 题图


三、解答题:本大题共 6 小题,共 7 5 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 .( 本 题 满 分 12 分 ) 设 角 A , B , C 是 ? ABC 的 三个内 角 ,已知 向量

?? ? ?? ? m ? (sin A ? sin C , sin B ? sin A ) , n ? (sin A ? sin C , sin B ) ,且 m ? n .

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若向量 s ? (0 , ? 1), t ? (c o s A , 2 c o s
? ?
2

B 2

? ? ) ,试求 s ? t 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区,已知从新校区到老 校区有两条公路,校车走公路①堵车的概率为
1 4

,不堵车的概率为

3 4

;校车走公路②

堵车的概率为 p ,不堵车的概率为 1 ? p .若甲、乙两辆校车走公路①,丙校车由于 其他原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响. (Ⅰ)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为
7 16

,求走公路②堵车的概率;学科网

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求三辆校车中被堵车辆的个数 ? 的分布列和数学期望.学

19. (本题满分 12 分)如图,P D C E 为矩形, A B C D 为梯形,平面 P D C E ^ 平面 A B C D ,
? BAD ? ? AD C ? 90? , A B ? A D ?

1 2

CD ? a, PD ?

2a .

(Ⅰ)若 M 为 P A 中点,求证: A C ∥平面 M D E ; (Ⅱ)求平面 P A D 与 P B C 所成锐二面角的大小.

理科数学试卷

第 3 页 共 4 页

20. (本题满分 12 分)已知正项数列{an} 的前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

an ? an
2

2

, b n ? (1 ?

1 2an

)

an



(Ⅱ) 定理: 若函数 f ( x ) 在区间 D 上是下凸函数, f ? ( x ) 存在, 且 则当 x1 ? x 2 ( x1 , x 2 ? D ) 时,总有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
n ?1 ? f ? ( x1 ) .请根据上述定理,且已知函数 y ? x ( n ? N + ) 是

( 0 , ?? ) 上的下凸函数,证明:bn ≥

3 . 2

21. (本题满分 13 分)抛物线 P : x ? 2 py 上一点 Q ( m , 2 ) 到抛物线 P 的焦点的距离为 3 ,
2

D B D A , B , C , D 为抛物线的四个不同的点, 其中 A 、 关于 y 轴对称, ( x 0 , y 0 ) , ( x1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , ? x 0 ? x 1 ? x 0 ? x 2 ,直线 B C 平行于抛物线 P 的以 D 为切点的切线.

(Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)证明: ? C A D ? ? B A D ; (Ⅲ) D 到直线 A B 、 A C 的距离分别为 m 、 n ,且 m ? n ? 为 48,求直线 B C 的方程.
2 A D , ? ABC 的面积

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? e ? a ( x ? 1) 在 x ? ln 2 处的切线的斜率为 1.
x

( e 为无理数, e ? 2 7 1 8 2 8 ? ) (Ⅰ)求 a 的值及 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x ) ? m x ,求 m 的取值范围;
2

(Ⅲ)求证: ?
i?2

n

ln i i
4

?

1 2e

(i, n ? N ? ) . (参考数据: ln 2 ? 0 .6 9 3 1 )

理科数学试卷

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