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第十二讲 高考复习-函数的图象


第九节

函数的图象

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高考总复习 · 数学(理)

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1.掌握绘制函数图象的一般方法. 最新考纲 2.掌握函数图象变化的一般规律. 3.能利用函数图象研究函数的性质. 1.以选择题

、填空题的形式考查图象的平移、 对称、伸缩变换. 高考热点 2.以考查图象为主,同时考查数形结合的思想 在解题中的应用.

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1.函数图象的三种变换 (1)平移变换:y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长 度,得到 y=f(x+a) 的图象;y=f(x-b)(b>0)的图象可 而得到;y= 由y=f(x)的图象 向右平移b个单位长度

f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位长度,得到 y=f(x)+b 的 向下平移 图 象 ; y = f(x) + b(b < 0) 的 图 象 可 由 y = f(x) 的 图 象

-b个单位长度

而得到.总之,对于平移 .

变换,记忆口诀为 左加右减、上加下减

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(2)对称变换 y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(x)与y= f(x)的图象关于 x轴 对称;y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 直线y=x 原点对称;y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于 对

称 ; y = |f(x)| 的 图 象 可 将 y = f(x) 的 图 象 在 x 轴 下 方 的 部


以x轴为对称轴翻折到x轴上方
作出

,其余部分不 当x<0时 的

变而得到;y=f(|x|)的图象可先作出y=f(x)当x≥0时的图象, 再利用偶函数的图象关于 y轴对称 图象.

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(3)伸缩变换 y = Af(x)(A> 0) 的图象 , 可 将y=f(x) 的图象上所有点 纵 坐标 横坐标 变为原来的A倍, 不变而得到;y = f(ax)(a > 0) 的 图 象 , 可 将 y = f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 横坐标

变为原来的倍, 纵坐标

不变而得到.

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1.对函数y=|f(x)|与y=f(|x|)一定要区分开来,
前者将y=f(x)处于x轴下方的图象,翻折到x轴 上方,后者将y=f(x)图象y轴左侧图象去掉换成右侧关 于y轴的对称图象,后者是偶函数而前者y≥0.比如y=|sinx|与y =sin|x|.

2.研究函数的图象必须与函数的性质有机地结合起来,
实现“数”与“形”的完整统一,切莫将二者割裂开来. 3.作函数的图象必须用平滑的曲线连结,画图时要特

别关注图象的范围、最高(低)点、对称性、图象的形状及变
化趋势等限制条件.

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4.作数图一要据本等数图, 函的象般依基初函的象因 此必熟基初函的象 ,须悉本等数图 .如正例数反 :比函、比 例数一函、次数指函、数数 函、次数二函、数数对函、 1 + 的图象. x

y=x

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题型一 思维提示

根据函数解析式作图 描点法和图象变换法

例 1 作出下列函数的图象: x+2 x3 (1)y= ;(2)y= ; |x| x-1 - (3)y=|log2x-1|;(4)y=2 |x 1|.

[分析]

首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,

然后由基本初等函数图象变换得到.

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[解] )( 首先要化简解析式得 1
?x2 ? y= ? 2 ?-x ?

(x>0) (x<0)

, 用次 数图作 其 利二 函的 象出 图

象,如图①.

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3 3 )( 因 y=1+ 2 ,先出 y= 的象 , 作 图 x x-1 将图向平一单 其象右移个位 ,再上移个位 向平一单 , x+2 即 y= 得 的象 ,如 ②. 图 图 x-1 )( 先出 y=l 2x 的象 , 将图向平一单 3 作 g o 图 再其象下移个 位,保 x 轴方部 留 上的分 , 将 x 轴方图翻到 下的象折 x 轴方 , 上 即 y=| 2x-1|的象 ,如 ③. 得 o g l 图 图 )( 先出 y=2x 的象 ,再其象 4 作 图 将图在 y 轴边部 左的分 去 ,并出 y 轴边图关 掉 作 右的象于 y 轴 称图 对 的象 ,即 y 得 =2|x|的象 ,再 y=2 |x|的象右移个位 图 将 图向平一单 ,即 y 得 - =2|x 1|的象 ,如 ④. 图 图

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[规律总结]

已知函数解析式研究函数图象问题,主要

是将解析式进行恰当的化简,然后与一些熟知函数的图象相

联系,通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称
变换等)得到要求的函数图象.另外,还要善于借助解析式发 现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等),以此帮助分析 函数图象的特征.

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备选例题 1 作出下列函数的图象: 1 |x| )( y=|x-2 x+1 ;( y=( ) ; 1 (· | ) ) 2 2 3-x )( y=| 2(x+1 ;( y= 3 o g l |) ) 4 . 1-x

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解:( 先化简,再作图. ) 1 (x≥2) . (x<2) )( 此函数为偶函数, 2 1x 利用 y=(2) (x≥0 的图象进行变换. ) )( 利用 y=l 2x 的图象进行平移和翻折变换. 3 g o -2 2 )( 可先化为 y=1- 4 =1+ , x-1 x-1 2 先作出 y=- 的图象,再将其向右平移 1 个单位,再向 x 上平移 1 个单位,即可得所求函数图象.
?x2-x-2 ? y=? 2 ?-x +x+2 ?

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各题的图象如图所示.

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题型二 思维提示 例2

识图 ①奇偶性、单调性 ②周期性

(2010·滨海模拟)函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象

如图

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则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是

(

)

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[解析] 从 f(x)、g(x)的象知们别偶数 图可它分为函、 奇函数,故 f(x)· g(x)是奇函数,排除 B. 又 x<0 时,g(x)为增函数且为正值,f(x)也增数 是函, 故 f(x)· g(x)为增函数,且正负取决于 f(x)的负注到 正,意 x π π π =-2时,f(x)=0,则 f(-2)· 2)必等于 0,排除 C、D. g(- 或注意到 x→0-(从小于 0 趋向于 ) ,f(x)· 0 g(x)→+∞,也可 排除 C、D.

[答案] A

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[规律总结]

要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、

零点、升降趋势等决定函数走势的因素,进而结合题目特点

作出合理取舍.

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备选例题2

函数y=e|-lnx|-|x-1|的图象大致是(

)

解析: 答案:D 东方沸点学校为你服务

结合图象选D.

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题型三 思维提示

函数图象的应用 采用数形结合法解决方程和不等式问题

例 3 若关于 x 的方程 2x+1=x+m 有两个不同的实数 根,求实数 m 的取值范围.

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1 令 Δ=0,得 m=1,所以 ≤m<1 时,两象两交 图有个 2 点,方程有两个不等实根.

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[规律总结]

本题应用图象法求解,比较直观、运算量

小,用图象法解题时,图象间的交点坐标应通过方程组求解, 用图象法求变量的取值范围时,要特别注意端点值的取舍和 特殊情形.

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1 备选例题 3 若关于 x 的不等式 2x+1>x+m 的解为- 2 ≤x<4,求实数 m 的值.

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设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1) ( )

与y=f(1-x)的图象关于

A.直线y=0对称
B.直线x=0对称 C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 [答案] D

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[解题思路]

作为一选择题可采用如下两种解法:常规

求解法和特殊函数法. 下面只讲常规求解法,因为y=f(x),x∈R,而f(x-1)的 图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的,又f(1-x)=f[-

(x-1)]的图象是f(-x)的图象也向右平移1个单位而得到的,
因f(x)与f(-x)的图象是关于y轴(即直线x=0)对称,因此,f(x -1)与f[-(x-1)]的图象关于直线x=1对称,故选D.

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[错因分析]

因为函数是定义在实数集上且f(x-1)=f(1

-x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称,选B. 这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈,即 对称问题中有一结论:设函数y=f(x)定义在实数集上,且f(a

+x)=f(a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.这个结论只对
于一个函数而言,而本题是关于两个不同函数的对称问题, 若套用这一结论,必然会得到一个错误的答案.

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