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2005年广州市青年教师高中数学解题比赛


2005 年广州市青年教师高中数学解题比赛 决赛试卷
2005.3.20 上午 本试卷共 8 页,第 1-3页为选择题和填空题,第4-8 页为解答题及答卷。请将 选择题和填空题的答案做在第4页的答卷上。全卷共三大题 20 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件互斥,那么 P(A+B)=P(A)+(B) 如果事件相互独立,那么 P(A·B)

=P(A)·(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么
k Pn(k)= Cn Pk(1-P)n-k

球的表面积公式 S=4πR2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V= 4 πR3 3

其中 R 表示球的半径 第一部分 选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第4页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是( ). (A) 2.与

1 2

(B)

1 4

(C) ).

1 8

(D)

7 8

? 11? 4
3? 4

终边相同的角为( (B)

(A) ?

?

?
4

(C)

? 4

(D)

3? 4
) .

3. 已知集合 S ? ( x, y ) (A) S ? M
?
2

?

x2 y2 ? ? 1? , M ? ? x, y) x 2 ? y 2 ? 1?, S 与 M 的关系是 则 ( ( 16 9
?

(B) M ? S

(C) S ? M ? ? ). (C) ( ,?? )

(D) S ? M ? M

4.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的增区间为( (A) [0,??) (B) (?? , )

1 2

1 2

(D) (0,??)

第 1 页 共 8 页

5.观察下列四个电路图,结论正确的是( A B

). A B C



A B C

A

C








(A) (B) (C) (D)

图①中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分不必要条件; 图②中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要不充分条件; 图③中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分且必要条件; 图④中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的不充分又不必要条件.

6. 设 i , j 是 平 面 直 角 坐 标 系 内 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 且

? ?

? ? ? ? AB ? 4i ? 2 j , AC ? 3i ? 4 j ,则 ?ABC 的面积等于(
(A) 15 (B) 10 (C) 7.5

). (D) 5 ).

7. f ?x ? 与 g ?x ? 是定义在 R 上的可导函数.若 f ??x ? ? g ??x ? ,则 f ?x ? 与 g ?x ? 满足( (A) f ?x ? ? g ?x ? (C) f ?x ? ? g ?x ? ? 0 (B) f ?x ? ? g ?x ? 是常数函数 (D) f ?x ? ? g ?x ? 是常数函数.

8.2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由四个相同的直角三角形与 中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小 的锐角为 ? ,大正方形的面积为 1,小正方形的面积为 则 sin ? ? cos ? 的值为(
2 2

1 , 25

).

(A) ?

12 25

(B)

24 25

(C)

7 7 (D) ? 25 25

第 2 页 共 8 页

9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ,设 ?an ? 是公比为 q 、前n项和 为 S n 的无穷等比数列, 下列 ?an ? 的四组量: s1与s 2 ; ② a2与s3 ; a1与an ; q与an 中, ③ ④ ① 一定能成为该数列的“基本量”的是 ( ). (A) ①② (B) ①④ (C) ③④ (D) ①②③

10.已知直线 m、n 及平面 ? ,其中 m // n ,那么在平面 ? 内到两条直线 m、n 距离相等的点 的集合可能为① 一条直线;② 一个平面;③ 一个点;④ 空集.其中正确的是( ). (A) ①②③; (B) ①②④; (C) ①④; (D) ②④.

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 请将答案填在第4页的答题卷中. 11.如图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n n ? N * 行,在这些数中非 1 的数字之和是 _______. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ???????? 12. 若点 P为抛物线 y 2 ? 10x上的动点,则点 到直线 x ? y ? 5 ? 0距离的最小值为 P (3 分) ,此时点 P 的坐标为 (2 分). 1

?

?

13. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ? , 对 任 意 实 数 x , 都 有 f ?x ? 3? ? f ?x ? ? 3 和

f ?x ? 2? ? f ?x ? ? 2 ,且 f ?1? ? 1 ,则 f ?2005? 的值为_________.
14.如图,在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水,固定容器的一边 DE 将其倾斜, 随着容器的倾斜程度不同, 水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同, 试尽可能 多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规 律: . (要求:各种规律的表述要科学,准确.每答对 1 个给 1 分,本题满分 5 分)

P F A B E D (第 14 题图 1)
第 3 页 共 8 页



B A

P C (第14 题 图 2 ) D

2005 年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛答题卷 一、选择题答案(每小题 5 分,满分 50 分) 题号 答案 二、填空题答案(每小题 5 分,满分 20 分) 11. 14. 12. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

考号 姓名

三、解答题: 15. (本题满分 12 分)已知

x ? ax ?

3 的解集为 ?4,b ? ,求实数 a, b 的值. 2

学校 区
16.(本题满分 13 分)已知函数 y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? 3 对称,当 f (?1) ? 320, 且

? ? ? ? 3 2 ? 15 sin 2 x ? 的值. 时,试求 f cos x ? sin x ? ? ? ?? 5 ? ? cos? x ? ? ? 4 ?? ? ?

第 4 页 共 8 页

17. ( 本 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 直 角 梯 形 OABC 中 , AO⊥ , AB ∥ OC , OC

OC ? 2, OS ? OA ? AB ? 1 . SO ? 平面 OABC.以 OC,OA,OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建
立直角坐标系 O- xyz . (Ⅰ)求异面直线 SC 与 OB 所成角; (Ⅱ)设 n ? ?1, p, q ? ,满足 n ? 平面 SBC.求: ① n 的坐标; ②OA 与平面 SBC 的夹角 ? (用反三角函数表 示) ; ③点 O 到平面 SBC 的距离.
C O A B y

z


?

?

?

x

第 5 页 共 8 页

18.(本题满分 14 分)设 x, y ? R , i 、j 为直角坐标平面内 x 轴、 y 轴正方向上的单位向 量,若 a ? xi ? ( y ? 2 ) j , b ? xi ? ( y ? 2 ) j ,且 a ? b ? 8 . (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样 的直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

第 6 页 共 8 页

19.(本题满分 14 分)某基本系统是由四个整流二极管(串,并)联结而成.已知每个二极管 的可靠度为 0.8(即正常工作时).若要求系统的可靠度大于 0.85,请你设计出二极管的各种 可能的联结方案(要求:画出相应的设计图形,并有相应的计算说明).

第 7 页 共 8 页

20(本题满分 14 分)直线 x ? y ? n

?n ? 3, 且n ? N ? 与 x 轴、 y 轴所围成区域内部(不包

括边界)的整点个数为 an ,所围成区域(包括边界)的整点个数为 bn (整点就是横、纵坐 标均为整数的点). (Ⅰ)求 an 及 bn 的表达式; (Ⅱ)对区域内部的 an 个整点用红、黄、蓝三色之一着色,其方法总数为 An ,对所围区域 的 bn 个整点,用红、蓝两色之一着色,其方法总数为 Bn ,试比较 An 与 Bn 的大小.

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