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高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4


讷河二中

徐秀丽

1.复习:
⑴向量共线充要条件 ? ? 向量b与非零向量a共线的充要条件是

? ? 有且只有一个实数?,使得b ? ? a.

? ? ? ? 当 ? ? 0 时, b 与 a 同向, 且 | b |是| a | 的 ? 倍; ? ? ? ? 当 ? ? 0 时,

b 与 a 反向, 且 | b |是| a | 的| ? | 倍; ? ? ? 当 ? ? 0 时, b ? 0 ,且 | b |? 0 。

⑵向量的加法:
? b ? a
O
? b

B
? a

? ? a?b

C

A

平行四边形法则
? ? a?b

B
? b

O

? A a 三角形法则

?? ?? ? 思考:一个平面内的两个不共线的向量 e1、 2 与该平面 e ? 内的任一向量 a 之间的关系.
M

? ? e1

? a

C

A

?? ? e2

??? ???? ???? ? ? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? OM ? ?1 OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

O

N

B

??? ? ? ? ?? ? ? OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ?? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

N

A

B C

? ? e1

?? ? e2

? a

O

??? ???? ???? ? ? ?如图 OC ? OM ? ON M ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? OM ? ?1 OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

??? ? ? ? ?? ? ? OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ?? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

? ? ? ?? ? a ? ?1 e1 +?2 e2

这就是说平面内任 ? 一向量a都可以表示 ? ? ?? ? 成?1 e1 +?2 e2的形式

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果e1、是同一平面内的两个不共线的向量, e2 ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数?1、?2,可使 ? ?? ?? ? a ? ?1 e1 +?2 e2

? ?? ? ? 这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.

?? ?? ? ?? ?? ? 例1:已知向量e1 , e2 (如图),求作向量-2.5e1 ? 3e2 .
??? ? ? ? 1.如图,任取一点O , 作OA ? ?2.5e1 作法: ??? ? ?? ? , OB ? 3e2 .

2.作

OACB.

???? 则, 就是所求的向量 OC
? ? e1 ?? e2

C
?? ? 3e2

B

A

? ? -2.5e1

O

例2 : 如图, ABCD的两条对角线相交于点M , 且 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ? ? ? AB ? a, ? b,用a、 AD b表示MA MB、 和MD. 、 MC
解:在
D ABCD中, ? ???? ??? ???? ? ? ? b ? AC ? AB ? AD ? a ? b ??? ??? ???? ? ? ? ? DB ? AB ? AD ?? a ? b ? A? ? ???? ???? 1 a?b a b ? MA ? ? AC ? ? ?? ?
2 2 2 2 ? ? ? ? ???? 1 ??? a ? b a b ? MB ? DB ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ???? 1 ???? ? ???? a b MC ? AC ? ? MA ? ? 2 2 2 ? ? ???? ? ? ???? 1 ??? a b MD ? ? DB ? ? MB ? ? ? 2 2 2

C
M

? a

B

练习:
1.在 ???? AD ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ABCD中,设 AC ? a, BD ? b,则 AB ?
? ? a ?b ?? .(用a、 b来表示) 2 ? ? a ?b , 2

D

C

? ?? ? ? 2.如图,已知向量e1、,求作下列向量: e2 ? ? ? ? ?? ? e1 (1). 3e1 ? 2e2 ; ? ?? ? ? (2). 4e1 ? e2 ;

A

B

?? ? e2

? ?? ? ? 3.如果e1、 是平面内所有向量的一组基底, e2 那么(D )
的实数?1、?2 有无数对 A.对平面?中的任一向量 a,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 B.对实数?1、?2,?1 e1 ? ?2 e2不一定在平面?内 C .空间任一向量 a可以表示为a ? ?1 e1 ? ?2 e2,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? D.若实数?1、?2 使?1 e1 ? ?2 e2 ? 0,则?1 ? ?2 ? 0

这里?1、?2是实数

?

?

小结:
平面向量基本定理

建议:
预复习课本P 105~108


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