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26二次函数小结与复习1

时间:2017-09-25


第 26 章 教学目标:

《二次函数》小结与复习(1)

理解二次函数的概念,掌握二次函数 y=ax2 的图象与性质;会用描点法画抛物线,能确定 抛物线的顶点、 对称轴、 开口方向, 能较熟练地由抛物线 y=ax2 经过适当平移得到 y=a(x-h)2 +k 的图象。

重点难点:
1. 重点: 用配方法求二次函数的顶点、 对称轴, 根据图象概括二次函数 y=ax2 图象的性质。 2.难点:二次函数图象的平移。

教学过程:
一、结合例题精析,强化练习,剖析知识点 1.二次函数的概念,二次函数 y=ax2 例:已知函数 y ? (m ? 2)x
m 2 ? m? 4

(a≠0)的图象性质。

是关于 x 的二次函数,求:(1)满足条件的 m 值;(2)m

为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当 x 为何值时,y 随 x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当 x 为何值时,y 随 x 的增大而减小? 学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题 方法,以及涉及的知识点。 教师精析点评,二次函数的一般式为 y=ax2+bx+c(a≠0)。强调 a≠0.而常数 b、c 可以 为 0,当 b,c 同时为 0 时,抛物线为 y=ax2(a≠0)。此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是 y 轴,即直线 x=0。 (1)使 y ? (m ? 2)x
m 2 ? m? 4

是关于 x 的二次函数,则 m2+m-4=2,且 m+2≠0,即:

m2+m-4=2,m+2≠0,解得;m=2 或 m=-3,m≠-2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即 m+2>0, (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即 m+2<0。 抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。 强化练习;已知函数 y ? (m ? 1)x
m2 ? m

是二次函数,其图象开口方向向下,则 m=_____,

顶点为_____,当 x_____0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x_____0 时,y 随 x 的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,例:用配方法求出抛物 线 y=-3x2-6x+8 的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物 线 y=-3x2。 学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分讨论后让学 生代表归纳解题方法与思路。 教师归纳点评: (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点 式的互化关系: y=ax2+bx+c————→y=a(x+ b 2 4ac-b )+ 2a 4a
2

(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描 点、连线。 (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动,分析完例题后归纳;

投影展示:

强化练习: (1)抛物线 y=x2+bx+c 的图象向左平移 2 个单位。再向上平移 3 个单位,得抛物线 y=x2 -2x+1,求:b 与 c 的值。 1 (2)通过配方,求抛物线 y= x2-4x+5 的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象。 2 3.知识点串联,综合应用。 例:如图,已知直线 AB 经过 x 轴上的点 A(2,0),且与抛物线 y=ax2 相交于 B、C 两点,已知 B 点坐标为(1,1)。 (1)求直线和抛物线的解析式; (2)如果 D 为抛物线上一点,使得△AOD 与△OBC 的面积相等, 求 D 点坐标。 学生活动: 开展小组讨论, 体验用待定系数法求函数的解析式。 教师点评:(1)直线 AB 过点 A(2,0),B(1,1),代入解析式 y =kx+b,可确定 k、b,抛物线 y=ax2 过点 B(1,1),代人可确定 a。 求得:直线解析式为 y=-x+2,抛物线解析式为 y=x2。 (2)由 y=-x+2 与 y=x ,先求抛物线与直线的另一个交点 C 的坐标为(-2,4), S△OBC=S△ABC-S△OAB=3。 ∵
2
2

S△AOD=S△OBC,且 OA=2
2



D 的纵坐标为 3

又∵ D 在抛物线 y=x 上,∴x =3,即 x=± 3 ∴ D(- 3,3)或( 3,3) 2 强化练习:函数 y=ax (a≠0)与直线 y=2x-3 交于点 A(1,b),求: (1)a 和 b 的值; (2)求抛物线 y=ax2 的顶点和对称轴; (3)x 取何值时,二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而增大, (4)求抛物线与直线 y=-2 两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。 二、课堂小结 1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。 2。投影:完成下表:

三、作业: 作业优化设计 一、填空。 1.若二次函数 y=(m+1)x2+m2-2m-3 的图象经过原点,则 m=______。 2.函数 y=3x2 与直线 y=kx+3 的交点为(2,b),则 k=______,b=______。 1 1 3.抛物线 y=- (x-1)2+2 可以由抛物线 y=- x2 向______方向平移______个单位,再向 3 3 ______方向平移______个单位得到。 1 5 4.用配方法把 y=- x2+x- 化为 y=a(x-h)2+k 的形式为 y=__________________,其 2 2 开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。 二、选择。 1.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是( A.m、n 是常数,且 m≠0 C. m、n 是常数,且 n≠0
2

)

B.m、n 是常数,且 m≠n D. m、n 可以为任意实数 )
?m=1 C. ? ?k=2 ?m=2 D. ? ?k=1

2.直线 y=mx+1 与抛物线 y=2x -8x+k+8 相交于点(3,4),则 m、k 值为(
?m=1 A. ? ?k=3 ?m=-1 B .? ?k=2

3.下列图象中,当 ab>0 时,函数 y=ax2 与 y=ax+b 的图象是(

)

三、解答题 1.函数 (1)当 a 取什么值时,它为二次函数。 (2)当 a 取什么值时,它为一次函数。 1 2.已知抛物线 y= x2 和直线 y=ax+1 4 (1)求证:不论 a 取何值,抛物线与直线必有两个不同舶交点。 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线与直线的两个交点,P 为线段 AB 的中点,且点 P 的横 坐标为 x1+x2 ,试用 a 表示点 P 的纵坐标。 2

(3)函数 A、B 两点的距离 d= 1+a2|x1-x2|,试用 a 表示 d。 (4)过点 C(0,-1)作直线 l 平行于 x 轴,试判断直线 l 与以 AB 为直径的圆的位置关系,并 说明理由。


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