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2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-3 两角和与差的正弦练习 (文) 全国.重庆专版


第4章

第3节

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.cosα+ 3sinα 化简的结果是 ( 1 π A. sin( +α) 2 6 π C.2sin( +α) 6 π B.2sin( +α) 3 1 π D. sin( +α) 2 3 )

1 3 【

解析】 cosα+ 3sinα=2( cosα+ sinα) 2 2 π π =2(sin cosα+cos sinα) 6 6 π =2sin( +α).故选 C. 6 【答案】 C 3-sin 70° 2.(2008 年海南、宁夏卷) = 2-cos2 10° ( 1 A. 2 C.2 B. D. 2 2 3 2 )

3-sin 70° 6-2sin 70° 【解析】 原式= = =2,故选 C. 1+cos 20° 3-sin 70° 2- 2 【答案】 C 3.在△ABC 中,已知 2sin A· B=sin C,那么△ABC 一定是 cos ( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 )

【解析】 ∵2sin Acos B=sin(A+B),且 A,B∈(0,π) ∴sin(A-B)=0,且-π<A-B<π ∴A=B 为等腰三角形. 【答案】 B cos(π-2α) 2 4.已知 =- ,则 cos α+sin α 等于 π 2 sin?α-4? ? ?
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( A.- 1 C. 2 7 2 B. 7 2

)

1 D.- 2

cos(π-2α) -cos 2α 【解析】 由已知可得 = π? 2 sin?α-4? (sin α-cos α) ? 2 = -(sin α+cos α)(cos α-sin α) sin α+cos α = 2 2 (sin α-cos α) 2 2 2 1 ?sin α+cos α=- . 2 2

=-

【答案】 D 5.设 α,β 都是锐角,那么下列各式中成立的是 ( A.sin(α+β)>sin α+sin β B.cos(α+β)>cos αcos β C.sin(α+β)>sin(α-β) D.cos(α+β)>cos(α-β) 【解析】 ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 又∵α、β 都是锐角,∴cos αsin β>0, 故 sin(α+β)>sin(α-β). 【答案】 C π π 1 6.若 sin?3-α?= ,则 cos?3+2α?= ? ? 4 ? ? ( 7 A.- 8 1 C. 4 1 B.- 4 7 D. 8 ) )

π 1 【解析】 ∵sin?3-α?= , ? ? 4 2π π 1 7 ∴cos? 3 -2α?=1-2sin2?3-α?=1-2×?4?2= . ? ? ? ? ? ? 8 π 2π ∴cos?3+2α?=cos?π-? 3 -2α?? ? ? ? ? ?? 2π 7 =-cos? 3 -2α?=- . ? ? 8 【答案】 A
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二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) cos 2α 1+tan α 7. · 的值为 1+sin 2α 1-tan α ( sin α 1+ cos α cos2α-sin2α 【解析】 原式= · sin α (sin α+cos α)2 1- cos α = cos α-sin α sin α+cos α · =1. sin α+cos α cos α-sin α )

【答案】 1 8.tan 15° +tan 30° +tan 15°tan 30° · 的值是________. 【解析】 原式=tan(15° +30° (1-tan 15°tan 30° )· · )+tan 15°tan 30° · =tan 45° (1-tan 15°tan 30° · )+tan 15°tan 30° · =1. 【答案】 1 3π 3 9.已知 α,β∈? 4 ,π?,sin(α+β)=- , ? ? 5 π 12 π sin?β-4?= ,则 cos?α+4?=________. ? ? 13 ? ? 3π 3π 【解析】 因为 α,β∈? 4 ,π?,所以(α+β)∈? 2 ,2π?, ? ? ? ? 4 所以 cos(α+β)= . 5 π π 3π π 5 因为?β-4?∈?2, 4 ?,所以 cos?β-4?=- . ? ? ? ? ? ? 13 π π 所以 cos?α+4?=cos?(α+β)-?β-4?? ? ? ? ? ?? π π 56 =cos(α+β)cos?β-4?+sin(α+β)sin?β-4?=- . ? ? ? ? 65 56 【答案】 - 65 三、解答题(共 46 分) csc12°( 3tan12° · -3) 10.(15 分)计算 的值. 4cos212° -2 3sin12° -3cos12° 【解析】 原式= 2cos12° sin12° (2cos212° -1) 1 3 2 3( sin12° - cos12° ) 2 2 = sin24° cos24° = 2 3sin(12° -60° ) 1 sin48° 2
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=-4 3. 3 4 11.(15 分)已知 α 为第二象限的角,sinα= ,β 为第三象限的角,tanβ= .求: 5 3 (1)tan(α+β)的值; (2)cos(2α-β)的值. 【解析】 3 (1)因为 α 为第二象限的角,sinα= , 5

4 所以,cosα=- 1-sin2α=- , 5 sinα 3 4 tanα= =- ,又 tanβ= , cosα 4 3 tanα+tanβ 7 所以,tan(α+β)= = . 1-tanα· tanβ 24 4 (2)因为 β 为第三象限的角,tanβ= , 3 4 3 所以,sinβ=- ,cosβ=- . 5 5 24 7 又 sin2α=2sin αcosα=- ,cos2α=1-2sin2α= , 25 25 3 所以,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ= . 5 12.(16 分)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- ,求 sin α 的值. 2 2 13 【解析】 (1)∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), 2 5 . 5

a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β). ∵|a-b|= 2 5 , 5 2 5 α-sin β)2= , 5

∴ (cos α-cos β)2+(sin 4 即 2-2cos(α-β)= , 5 3 ∴cos(α-β)= . 5

π π (2)∵0<α< ,- <β<0,∴0<α-β<π, 2 2 3 4 ∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= , 5 5 5 12 ∵sin β=- ,∴cos β= . 13 13
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∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β 5 4 12 3 33 = × + ×?-13?= . ? 65 5 13 5 ?

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