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高二数学上学期期末试卷(文科)


高二数学复习题(文科)
一、选择题 1、如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +??+ a7 =_________ (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 2、 有分别满足下列条件的两个三角形: ①∠B=30°, a=14, b=7; ②∠B=60°, a=10,b=9, 那么下面判断正确的是 ( ) A.

①只有一解,②也只有一解 B.①、②都有两解 C.①有两解,②有一解 D.①只有一解,②有两解 3、命题 p: “有些三角形是等腰三角形” ,则┐p 是( ) A.有些三角形不是等腰三角形 B.所有三角形是等腰三角形 C.所有三角形不是等腰三角形 D.所有三角形是等腰三角形 4、函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) C. (??,??) B. (??,1) D. (1,??) )

5、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2 3

) D. y ? 8x
2

B. y ? ? 8x
2 2 '

C. y ? 4 x
2

6、 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(



A.

19 3 13 3

B.

16 3

C.

D.

10 3


7、如果 a ? 0 ? b 且 a ? b ? 0 ,那么以下不等式正确的个数是 ( ①

1 1 ? a b
3 2



1 1 ? a b
2 3

③ a b ? ab
3

3

④ a ? ab

⑤a b ? b

1

A.2 B.3 C.4 D.5 A ABC b ? 2 a sin B 8、在△ 中,若 ,则 等于( A. 30 或60
0 0


0

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

0

D. 30 或150

0

0

9、下列曲线中离心率为

的是 (

)

A. 10、函数 y=x + A.4 二、填空题
3

B.

C. ) C.3

D.

3 在(0,+∞)上的最小值为 ( x
B.5

D.1

11、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________。 12、在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。 13、抛物线 y =x 上一点到点 A(1,0)的距离的最小值为_____。 2 2 x y 14、双曲线 - =1 的实轴左、右端点分别为 N、M,不同于 M、N 的点 P 在此双曲线上, 9 4 那么直线 PM、PN 的斜率之积为________. 15、某工厂建造一间地面面积为 12m 的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为 1200 元/ m ,房屋侧面的造价为 800 元/ m ,屋顶的造价为 5800 元,如果墙高为 3 m,且不计 房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是_________元. 三、解答题: 16、在△ABC 中,a=8,b=7,B=60°,求 c.
2 2 2 2

2

17、已知命题 p:|x -x|≥6,q:x∈Z,且“p∧q”与“ q”同时为假命题,求 x 的值.

2



18、设数列{a n}的前 n 项和为 S n,已知 an=5S n-3 (n∈N+) ,{bn}是{a n}的奇数项构成 的数列,求数列{bn} 的通项公式.

19、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的 关系式为:p=24200-

1 2 x ,且生产 x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产 5

多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)

3

x y 20、(1)求与椭圆 + =1 共焦点且过点(3 2, 2)的双曲线的标准方程; 25 5 9 (2)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为(3,-4 2)、( , 4 5),求双曲线的标准方程.

2

2

21、已知函数 f(x)=x -3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

3

4

1、C

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ∵ 3

a1 ? a2 ?

1 ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

2、D asinB=b,∴①只有一解.b<a,asin60°<b,∴②有两解. 3、c

4.C

y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立

5、B

a a 4 4 a 1 a a 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线方程 2 2 4 2
抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,它与 y 为 y 2 ? ? 8x ,故选 B. 6.D 7、B

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ?

10 3

8.D

1 b ? 2a sin B,sin B ? 2sin A sin B,sin A ? , A ? 300 或 1500 2 c x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1 的离心率 e ? 可判断得. e ? ? .选 B。 2 a a b a 2

9、B【解析】依据双曲线 10、A 解:y′=3x -
2

3 3 1 2 2 ,令 y′=3x - 2 =0,即 x - 2 =0,解得 x=±1.由于 x>0,所以 x=1. 2 x x x

在(0, +∞)上,由于只有一个极小值,所以它也是最小值,从而函数在(0,+∞)上的最小 值为 y=f(1)=4. 11 、 解 析 : 抛 物 线 的 方 程 为 y ? 4 x
2
2 ? ? y1 ? 4 x1 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2



5

2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ?

y1 ? y2 4 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案:y=x

12、 120

0

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? , A ? 1200 2bc 2

13、解析:设 P(x,y)为抛物线上一点, 2 2 2 2 则|PA| =(x-1) +y =x -2x+1+x 1 2 3 2 =x -x+1=(x- ) + , 2 4 1 3 ∴当 x= 时,|PA|取到最小值 . 2 2 14、解析:M(3,0),N(-3,0), 设 P(x,y), y y 则 kPM?kPN= ? x-3 x+3 2 y = 2 . x -9 又∵点 P 在双曲线上, 2 x 2 ∴y =4( -1), 9 2 x -9 4? 9 4 ∴kPM?kPN= 2 = . x -9 9 15、34600 16、解 方法 1 (用正弦定理) ∵asinB=8sin60°=4 3 ,∴asinB<b<a.∴本题有两个解. 由正弦定理及 sinC=sin(A+60°),得

8 7 c ? ? . sin A sin 60? sin( A ? 60?)

4 3 7 sin(A ? 60?) 1 ,cosA=± .∴c= .∴c1=5,c2=3. 7 7 sin 60? 方法 2 (用余弦定理) 2 2 2 2 2 2 由 b =a +c -2accosB,得 7 =8 +c -2?8ccos60°. 2 整理得 c -8c+15=0.解得 c1=5,c2=3.
∴sinA=
6

17、解:∵“p∧q”为假,∴p、q 至少有一个为假. ┐ 又∵“ q”为假,∴q 为真,从而可知 p 为假. 由 p 为假且 q 为真, x -x<6, ? ? 2 2 可得|x -x|<6 且 x∈Z,即?x -x>-6, ? ?x∈Z, x -x-6<0, ? ? 2 ∴?x -x+6>0, ? ?x∈Z, 故 x 的值为-1,0,1,2.
2 2

-2<x<3, ? ? ∴?x∈R, ? ?x∈Z.

3 ,且 an+1=5S n+1-3 (n∈N+) ?(2); 4 1 (2)-(1)得:an+1-an=5an+1,移项得-an=4an+1, an+1= - an, 4
18.由 an=5S n-3(n∈N+)?(1);知 a1= 因为 a1?0,所以 an?0,得

3 1 a n ?1 1 ? ? ,所以{an}为等比数列, an= ? (? ) n ?1 ; 4 4 an 4

3 1 为首项, 为公比的等比数列; 4 16 3 1 n-1 ∴{bn} 的通项公式为 bn = ? ( ) . 4 16
a 1,a 3,?,a 2 n-1,?构成以
19、解:每月生产 x 吨时的利润为 f(x)=(24200- =-

1 2 x )x-(50000+200x) 5

1 3 x +24000x-50000(x≥0). 5 3 2 由 f′(x)=- x +24000=0,解得 x1=200,x2=-200(舍去). 5 ∵f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x1=200 使 f′(x)=0, ∴它就是最大值点.f(x)的最大值为 f(200)=3150000(元).
∴每月生产 200 t 才能使利润达到最大,最大利润是 315 万元. 2 2 x y 20、解:(1)椭圆 + =1 的焦点为(2 5,0),(-2 5,0), 25 5 设双曲线的标准方程为 2 2 x y 2- 2=1(a>0,b>0), a b 2 2 则 a +b =20. 又∵过点(3 2, 2),
7



18 2 2 - 2=1. a b
2 2

综上,得 a =20-2 10,b =2 10, ∴双曲线的标准方程为 2 2 x y - =1. 20-2 10 2 10 (2)∵双曲线的焦点在 y 轴上, ∴设双曲线的标准方程为 2 2 y x 2- 2=1(a>0,b>0).① a b ∵点 P1、P2 在双曲线上, ∴点 P1、P2 的坐标适合方程①. 9 将(3,-4 2),( ,5)分别代入方程①中,得方程组 4

? ?25 ?a -
2

-4 2 2 a 9 4 2 b
2

2

3 - 2=1 b

2

1 1 ,将 2和 2看作整体, a b

=1

1 1 ? ?a =16 解得? 1 1 ? ?b =9
2 2 2



2 2 ?a =16 ? y x ∴? 2 ,即双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 ? ?b =9 2 2 21、解:(1)f′(x)=3x -3a=3(x -a), 当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0, ∴当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞). 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x<- a或 x> a; 由 f′(x)<0,解得- a<x< a. ∴当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,- a), ( a,+∞);f(x)的单调减区间为(- a, a). (2)∵f(x)在 x=-1 处取得极值, 2 ∴f′(-1)=3?(-1) -3a=0.∴a=1. 3 2 ∴f(x)=x -3x-1,f′(x)=3x -3. 由 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=1. 由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取 得极小值 f(1)=-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, ∴结合 f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1).

8


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