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导数、三角函数、向量综合测试题


导数、三角函数、向量综合测试题
1、 dx=( ). B.
2

A. ln x+ ln2x

-1

C.

D. ) ).

2、已知函数 f(x)=x +mx+ln x 是单调递增函数,则 m 的取值范围是( A. m>-2 B. m≥-2 C.m

<2 D. m≤2 A. (-2,+∞) B. (2,+∞) C. (-∞,-2) )

3、若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是( D. (-∞,2) 4、若 a> ,则方程 lnx-ax=0 的实根的个数为(

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无穷多个 5、函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-1) D. (-∞,+∞) 6、定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(3-x)=f(x),

). ).

f′(x)>0,若 x1<x2 且 x1+x2>3,则(

A. f(x1)>f(x2) B. f(x1)<f(x2) C. f(x1)=f(x2) D. 不确定 7、若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 ( ). A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 8、函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 ex·f(x)>ex+1 的解 集为( ) 9、若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有最小值,则实数 b 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (-∞,1) C. (0,+∞) D. 10、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= bc,sin C=2 sin B, 则 A=( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 11、在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 12、在△ABC 中,a>b 是 sinA>sinB 的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ac=3,且 a=3bsin A,则△ABC 的面积等于( A. B. C. 1 D.

)

14、函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象如图所示,为了得到 g(x)=-Acos ω x 的图象, 可以将 f(x)的图象( )

A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 15、函数 y=sin 2x 的图象向右平移φ (φ >0)个单位,得到的图象恰好关于 x= 对称,则φ 的最小值 为( A. ) π B. π C. π D. 以上都不对 个单位后得到函数 g(x)的图象,若对满足|f(x1) )

16、将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移φ -g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则φ =(

A.

B.

C. 中, 是边

D. 上的点,且 , , ,则 的值

17、如图,在 为( )

A.

B.

C.

D.

18、若 A. B.

, C.

, D. ,其中



,则

( )

19、已知函数 则 A. C. 20、已知 则 ⊥ ,| 的单调递增区间是( )

为实数,若



恒成立,且



B. D. |= ,| |=t,若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且 = + ,

· 的最大值等于( ) A. 13 B. 15 C. 19 D. 21 21、已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( A. B. C. D.

)

22、在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 A. 2 B. 4 , B. C. 5 满足: C. D. 10 , D. , .以 , ,

=(

)

23、设向量 A.

的模为边长构成三角

形,则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为( ). 24、已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=- 处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.

1、【答案】C 【解析】 2、【答案】B 【解析】依题意知,x>0,f′(x)= 令 g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞), 当- ≤0 时,g(0)=1>0 恒成立,∴m≥0 成立, 当- >0 时,则Δ =m2-8≤0,∴-2 综上,m 的取值范围是 m≥-2 . 3、【答案】A 【解析】由条件得 h′(x)=2+kx2=2x2+kx2≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 k≥-2x2 在(1,+∞)上恒 成立,所以 k∈(-2,+∞). 4、【答案】A 【解析】设 f(x)=lnx-ax,x>0.则 f′(x)= -a. 令 -a>0 得 0<x< ;令 -a<0 得 x> . 故当 x= 时,f(x)有极大值也是最大值 f -(lna+1). ∴当 a> ,lna>-1,即-lna-1<0 时,f(x)max=-(lna+1)<0.故选 A. 5、【答案】B 【解析】记 g(x)=f(x)-(2x+4),则有 g(-1)=f(-1)-(-2+4)=0.∵g′(x)=f′(x)-2>0,∴ g(x)在 R 上是增函数.不等式 f(x)>2x+4,即 g(x)>0=g(-1),于是由 g(x)在 R 上是增函数得,x>- 1,即不等式 f(x)>2x+4 的解集是(-1,+∞),选 B. 6、【答案】B 【解析】依题意得,f(x1)=f(3-x1),当 x> 时,f′(x)>0,f(x)在 上是增函数.若 x1≥ ,则 = , dx= = .

由已知有 x2>x1≥ ,f(x2)>f(x1);若 x1 ,则由 x1x2 及 x1+x2>3 得 x2>3-x1> .所以 f(x2)>f(3-x1)=

f(x1).选 B.
7、【答案】D 【解析】f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值,可知函数 f(x)在 x=1 处的导数值为 零,12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实数,所以 ab≤
2



2

=9,当且仅当

a=b=3 时取到等号.
8、【答案】A 【解析】构造函数 g(x)=ex·f(x)-ex,因为 g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)] -ex>ex-ex=0,所以 g(x)=ex·f(x)-ex 为 R 上的增函数.又因为 g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原 不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0.故选 A. 9、【答案】D 【解析】f(x)在(0,1)内有最小值,即 f(x)在(0,1)内有极小值,f′(x)= 3x2-6b, 由题意,得函数 f′(x)的草图如图,

∴ 10、【答案】A



【解析】由 a2-b2=

bc,sin C=2

sin B,得 a2=

bc+b2, =2

.

由余弦定理,得 cos A= 11、【答案】C













,所以 A=30°,故选 A.

【解析】因为 a=2bcos C,所以由余弦定理得:a=2b· 因此三角形一定是等腰三角形. 12、【答案】C. 【解析】在△ABC 中,必有 sinB>0,由正弦定理得 可得 sinA>sinB;反之,若 sinA>sinB,由 sinB>0 可得 sinA>sinB 的充要条件,答案为 C. 13、【答案】A.

,整理得 b2=c2,

,于是,若 a>b,即 >1,则

>1,由 sinB>0

>1,则 >1,a>b.所以,在△ABC 中,a>b 是

【解析】∵a=3bsin A,∴由正弦定理得 sin A=3sin Bsin A,∴sin B= .∵ac=3,∴△ABC 的面积 S = acsin B= ×3× = ,故选 A. 14、【答案】B. 【解析】由图象可得 A=1,ω =2,φ = ,则 f(x)=sin(2x+ ),g(x)=-Acos ω x=-cos 2x= sin(2x- )=sin[2(x- π )+ ],故将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,可以得到 g(x)的图象. 15、【答案】A 【解析】y=sin 2x 的图象向右平移φ 个单位得到 y=sin 2(x-φ )的图象,又关于 x= 对称, 则2 =kπ + (k∈Z),2φ =-kπ - (k∈Z),取 k=-1,得φ = π.

16、【答案】D 【解析】因为 g(x)=sin2(x-φ )=sin(2x-2φ ), 所以|f(x1)-g(x2)|=|sin 2x1-sin(2x2-2φ )|=2. 因为-1≤sin 2x1≤1,-1≤sin(2x2-2φ )≤1, 所以 sin 2x1 和 sin(2x2-2φ )的值中,一个为 1,另一个为-1,不妨取 sin 2x1=1,sin(2x2-2φ )=- 1,则 2x1=2k1π + ,k1∈Z,2x2-2φ =2k2π - ,k2∈Z,2x1-2x2+2φ =2(k1-k2)π +π ,(k1-k2)∈ Z, 得|x1-x2|= φ -φ , .

故当 k1-k2=0 时,|x1-x2|min= -φ = , 则φ = ,故选 D. 17、【答案】D 【解析】∵ ∴ 18、【答案】C 【解析】∵ 又∵ , ,∴ . ,



,∴ ,∴ ,



∴ = 19、【答案】C 【解析】若 .由 所以 由 20、【答案】A 【解析】建立如图所示坐标系,则 B ,代入 对 = .



恒成立,则 ,( ),可知 ,得 ,

,所以 ,即 , ,故选 C. ,



,解得:

,C(0,t),





=(0,t),

= =17-



=t ≤17-2



(0,t)=(1,4),∴P(1,4), =13,故选 A.

·



·(-1,t-4)

21、【答案】C 【解析】因为 a⊥(2a+b),所以 a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0,又|b| =4|a|,则上式可化为 2|a|2+|a|×4|a|·cos〈a,b〉=0 即 2+4cos〈a,b〉=0, 所以 cos〈a,b〉=- ,即 a,b 夹角为 .

22、【答案】D 【解析】如图,以 C 为原点,CB,AC 所在直线为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系.设 A(0,a),

B(b,0),则 D

,P

,由两点间的距离公式可得|PA|2=



,|PB|2=



,|PC|2





.所以



=10.

23、【答案】B

【解析】由向量关系式,可推得三角形是边长为 3,4,5 的直角三角形,三角形的内切圆半径可利用面 积公式 ,对直角三角形,还有特殊的方法 (其中 C 为斜边),此题

依条件可求得其内切圆半径为 1.若将圆由内切位置稍一右移或其他的变化,则可出现 4 个交点的情况, 但 5 个及以上的交点不能实现 24、【答案】(1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x, 因为 f(x)在 x=- 处取得极值,所以 f′ 即 3a· +2· = =0,

- =0,解得 a= . ex,

(2)由(1)得 g(x)= 故 g′(x)= ex+

ex=

ex= x(x+1)(x+4)ex.

令 g′(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-4<x<-1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知 g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.


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