nbhkdz.com冰点文库

2012年北京市东城区高三一模数学(文)试题Word版带答案

时间:


2012 年北京市东城区高三数学一模试题 (文科) 第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)2012.04.05

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1、若 a , b ? R , i 是虚数单位,且 b ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为 (A) 1 (B)

2 (C) 3 (D) 4

2、若集合 A ? {0 , m 2 } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? y ? x, ? 3、若点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 ?
(A) 0 (A) ?2 (B) 2 (B) ?4 (C) 4 (C) ?6 (D) 6 (D) ?8 4、已知 x , y , z ? R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等差数列,则 x ? y ? z 的值为

5、右图给出的是计算

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 8 100

其中判断框内应填入的条件是 (A) i ? 50
?

(B) i ? 25

(C) i ? 50

(D) i ? 25

6、已知 sin( ? ? 45 ) ? ? (A)

5 13

2 ? ? ,且 0 ? ? ? 90 ,则 cos ? 的值为 10 12 3 (B) (C) 13 5

(D)

4 5

7、已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其中 a ? b) 的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的 图象大致为

(A)

(B)

(C)

(D)

2012 东城高三一模数学文科

第 1 页 共 8 页

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, 8、设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? 若 x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A , 则 2 2 2 ? ?2(1 ? x), x ? B.

x0 的取值范围是
(A)( 0,

1 ] 4

(B) (

1 1 , ] 4 2

(C)(

1 1 , ) 4 2

(D) [0,

3 ] 8

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9、已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 .

1 2
主视图

1 2
左视图

10、命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是

? 2

.

2

俯视图

11、 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是


甲 5 4 5 5 0 1 1 7 8 9 9 4 3 4 乙 6 4 7

若从甲、 乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.

12 、双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的离心率为 为 .

;若抛物线 y 2 ? ax 的焦点恰好为该双曲线的右焦点,则 a 的值

13、已知△ ABC 中, AD ? BC 于 D , AD ? BD ? 2 , CD ? 1 ,则 AB ? AC ? ___.

??? ? ??? ?

? an , an 为偶数, ? ? 2 ? a ? m ? N 14、已知数列 ?an ? , a1 ? m , , n ?1 ? 若 ?an ? 中有且只有 5 个不同的数字, a ? 1 ? n , an 为奇数. ? ? 2
则 m 的不同取值共有 15、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x) ? 2sin 2x .
2 2

个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移

? ? 个单位长度得到的,当 x ?[ 0 , ]时,求 8 4

y ? g ( x) 的最大值和最小值.
16、 (本小题共 13 分)
2012 东城高三一模数学文科 第 2 页 共 8 页

某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查, 以计算每户 的碳月排放量. 若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”. 若小区内有至少 75 % 的 住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中 有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 ,数据如图 1 所示,经过 2 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低
碳小区”的标准?

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

17、 (本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足

EFB , AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置, 使平面 A 连结 A A1P . 1 EF ? 平面 1B ,
(如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A 1B 中点,求证: PQ ∥平面 A 1EF ; (Ⅱ)求证: A1E ? EP .
A

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

2012 东城高三一模数学文科

第 3 页 共 8 页

18、 (本小题共 13 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e x 的一个极值点. ( a ? R ) (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e . 19、 (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

D ,点 P 是椭圆 C 上异于 A1, A2 的 (Ⅱ) A 1, A 2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点
动点,直线 A1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明: DE ? DF 恒为定值.

20、(本小题共 14 分) 对于函数 f ( x ) ,若 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f ( x ) 的“不动点” ;若 f ? f ( x0 )? ? x0 ,则称 x0 为 f ( x ) 的“稳定点”.函数 f ( x ) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ,即 A ? x f ( x ) ? x ,

?

?

B ? x f ? f ( x) ? ? x .
(Ⅰ)设函数 f ( x) ? 3x ? 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 A ? ? ,求证: B ? ? .

?

?

2012 东城高三一模数学文科

第 4 页 共 8 页

北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1、D 2、A 3、D 4、C 5、B 6、D 7、A 8、C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、

4 3
, 8

10、 ?x ? (0, ), tan x ? sin x

? 2

11、84 ,



12、 2

13、 2

14、 8

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x)2 ? 2sin 2 2 x ? sin 4 x ? cos 4 x ? 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ? 因为 0 ? x ?

? 2 sin(4 x ? ) , ?6 分 4
????8 分

? ? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] ? 2 sin(4 x ? ) . ????10 分 8 4 4
????11 分

? . 2

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

当 4x ? 当 4x ?
16、 (共 13 分)

? ? 3? ? ,即 x ? 时, g ( x) 取最大值 2 ; 4 2 16
? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 ?1 . 4 4
????13 分

解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m , n, 用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ?? A, B, C, m, n? ,

????2 分

则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , ( A, C ) , ( A, m) ,

( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n)

, (C , m) , (C, n) , (m, n) .

????5 分

用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们 是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C , m) , (C, n) . ????7 分 ????8 分 ????10 分

6 3 ? . 10 5 (II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”.
故所求概率为 P( D) ?
2012 东城高三一模数学文科 第 5 页 共 8 页

由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 ,????12 分 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. 17、 (共 14 分) ????13 分

M ,连结 QM , MF . 证明: (Ⅰ)取 A 1E 中点
在△ A 1BE 中, Q , M 分别为 A 1 B, A 1 E 的中点, 所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 因为
A1 M Q E F

1 BE . 2

CF CP 1 ? ? , FA PB 2
1 BE , 2
B

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

P

C

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形.所以 PQ ∥ FM . ????5 分 又因为 FM ? 平面 A 1EF ,且 PQ ? 平面 A 1EF , 所以 PQ ∥平面 A 1EF . (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,
? 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.
E

????7 分
A

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD .
D

F

所以在图 2 中有 A1E ? EF .

????9 分
B P C

EFB ,平面 A1EF ? 平面 EFB ? EF , 因为平面 A 1 EF ? 平面
所以 A1E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF , 所以 A1E ⊥ EP . 18、 (共 13 分)

????12 分

????14 分

x (Ⅰ)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)e , (???2 分)由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 .????4 分

x 当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)e ,在 x ? 1 处取得极小值.所以 a ? 1 .

????5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, f ( x) ? ( x ? 2)e , f '( x) ? ( x ? 1)e .
x x

x 当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e ? 0 , f ( x) 在区间 ?0,1? 单调递减;
x 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)e ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 单调递增. ????8 分

所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e ,又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 ,
2012 东城高三一模数学文科 第 6 页 共 8 页

所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 0 . 对于 x1 , x2 ??0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) .

????12 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e .
19、 (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意可知, b ? 1 ,

????13 分
解得 a ? 2 .

c 3 , ? a 2

???4 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 (?2, 0) , A2 (2,0) .设 P( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 , 于是直线 A 1P 的方程为 y ? 即 DE ? (2 2 ? 2)

y0 (2 2 ? 2) y0 . ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
????7 分

y0 x0 ? 2

.

又直线 A2 P 的方程为 y ? 即 DF ? (2 2 ? 2)

y0 (2 2 ? 2) y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
. ????9 分

y0 x0 ? 2

y0 y0 4 y0 2 4 y0 2 ? (2 2 ? 2) ? 2 ? 所以 DE ? DF ? (2 2 ? 2) ,???11 分 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0
又 P( x0 , y0 ) 在

x2 x2 2 2 ? y 2 ? 1 上,所以 0 ? y0 2 ? 1 ,即 4 y0 ,代入上式, ? 4 ? x0 4 4

得 DE ? DF ? 20、 (共 14 分)

4 ? x0 2 ? 1 ,所以 | DE | ? | DF | 为定值1 . 4 ? x0 2

????13 分

(Ⅰ)解:由 f ( x) ? x ,得 3 x ? 4 ? x ,解得 x ? ?2 ; 由 f ? f ( x)? ? x ,得 3(3x ? 4) ? 4 ? x ,解得 x ? ?2 . 所以集合 A ? ??2? , B ? ??2? . (Ⅱ)证明:若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立; 若 A ? ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f (t ) ? t , 所以 f ? f (t )? ? f (t ) ? t ,故 t ? B ,所以 A ? B .
2

????1 分 ????3 分 ????4 分

????8 分

2 (Ⅲ)证明:由 A ? ? ,得方程 ax ? bx ? c ? x 无实数解,则 ? ? (b ?1) ? 4ac ? 0 .????10 分

2012 东城高三一模数学文科

第 7 页 共 8 页

① 当 a ? 0 时,二次函数 y ? f ( x) ? x (即 y ? ax2 ? (b ?1) x ? c )的图象在 x 轴的上方, 所以任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立,即对于任意 x ? R , f ( x) ? x 恒成立, 对于实数 f ( x ) ,则有 f ? f ( x)? ? f ( x) 成立, 所以对于任意 x ? R , f ? f ( x)? ? f ( x) ? x 恒成立,则 B ? ? . ????12 分

②当 a ? 0 时,二次函数 y ? f ( x) ? x (即 y ? ax2 ? (b ?1) x ? c )的图象在 x 轴的下方, 所以任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立,即对于任意 x ? R , f ( x) ? x 恒成立, 对于实数 f ( x ) ,则有 f ? f ( x)? ? f ( x) 成立, 所以对于任意 x ? R , f ? f ( x)? ? f ( x) ? x 恒成立,则 B ? ? . 综上,对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,当 A ? ? 时, B ? ? . ????14 分

2012 东城高三一模数学文科

第 8 页 共 8 页


2015年北京市东城区高三一模数学(文)试题Word版带解析

2015年北京市东城区高三一模数学(文)试题Word版带解析_数学_高中教育_教育专区...(文科)参考答案一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (...

2014年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带解析

2014年北京市东城区高三一模数学()试题Word版带解析_数学_高中教育_教育专区...(一) 数学参考答案(理科)一、选择题 1.C 5.A 二、填空题 9. 11. 1 ...

2013年北京市东城区高三二模数学(文)试题Word版带答案

2013年北京市东城区高三二模数学(文)试题Word版带答案_数学_高中教育_教育专区...an . 北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案...

东城区2016届高三一模数学(文)试题及答案(word版)

东城区2016届高三一模数学(文)试题答案(word版)_数学_高中教育_教育专区。最专业的 K12 教研交流平台 北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一...

北京市东城区2012届高三一模数学(文)试题(WORD精校版)

北京市东城区2012高三一模数学(文)试题(WORD精校版)_高考_高中教育_教育专区...高三数学参考答案及评分标准 (文科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5...

2012-2013年北京东城区高三数学一模理科试题含答案(wor...

2012-2013年北京东城区高三数学一模理科试题答案(word版)_数学_高中教育_教育专区。2013 东城 一模 数学北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期综合练习(一) 高...

2016年北京东城高三一模文科数学试题(word版)及答案

2016年北京东城高三一模文科数学试题(word版)答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习(一),数学(文科) 2016.4...

2015东城区高三一模数学(文)试题及答案(word版)

2015东城区高三一模数学(文)试题答案(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (文科)本试卷...

2012年北京市东城区高三一模理科数学含答案纯word版

2012年北京市东城区高三一模理科数学答案word版 2012年4月5日北京市东城区高三一模理科数学试卷word版,具有很高的参考价值2012年4月5日北京市东城区高三一模...

2012年北京市高三一模:东城区数学(文科)试题(word版)

时间:2012年北京市高三一模考试试卷; 区县:东城区; 学科:数学(文科); 版本:word版时间:2012年北京市高三一模考试试卷; 区县:东城区; 学科:数学(文科); 版本:...