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复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用

时间:2013-03-21


单元训练:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1, 3) 处切线的倾斜角为(
3

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

) D.
?
2

A.
k

?
6
2

B.

?
3

C. )

?
4

2.若 ? ( 2 x ? 3 x ) dx ? 0 ,则 k =(
0

A. 1
?

B. 0 ) B.
2

C. 0或1

D.以上都不对

3. ?

2 0

? 3 x ? s in x ?d x 是(
3 8

A.

?

2

?1

3 4

?

2

?1

C.

3 4

?

2

?1

D. ) D.
1 2

3 8

?

2

?1

4.由直线 y ? 1 与曲线 y ? x 所围成的封闭图形的面积是( A.
4 3

B.
s in x s in x ? c o s x 1

2 3

C.
?
4

1 3

y ?

?

M (

, 0)

5.曲线
1

2 在点 1 2 1 x

处的切线的斜率为(
2 2

)
2

?

?

A. 2 6.由直线 x= A.
15 4 1 2

B. ,x=2,曲线 y ? B.
?
4

C.

D. 2 ) D.2ln2

及 x 轴所围图形的面积为( C.
1 2 ln 2

17 4

7.函数 y ? cos 2 x 在点 ( A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 8. ? (sin x ? c o s x ) =(
0

, 0 ) 处的切线方程是(

)

B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 ) B.4
3x ? 2 3

?

A.2

C.π

D.2π

3 9. 设点 P 是曲线 y ? x ?

上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? , 则角 ? 的取值范围
?
2 5? 6

是(

A. [ 0 ,

) ?
2

)?[

2? 3

,? )

B. [ 0 ,

)?[

,? )

1

C. [

2? 3

,? )
3 2

D. (

?
2

,

5? 6

]

10.曲线 y ? ? x ? 3 x 在点 (1, 2 ) 处的切线方程为( A. y ? 3 x ? 5 11.曲线 y ? A.
49 18 1 3 x ?
3

) D. y ? 2 x )

B. y ? ? 3 x ? 5
1 2 x 在点 A (1,
2

C. y ? 3 x ? 1

5 6

) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(

B.
1 x

49 36

C.

49 72

D.

49 144

12.函数 y ?
1 8

在点 x ? 4 处的导数是(
1 8

)
1 16 1 16

A.

B. ?

C.

( D)

?

第Ⅱ卷(非选择题
?1

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. ? ? 2
dx (1 1+ 5 x )
3

?

______.
2

14.已知一组抛物线 y ? a x ? b x ? c ,其中 a 为 1、3、5、7 中任取的一个数, b 为 2、4、6、 8 中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x ? 平行的概率是
x '

1 2

交点处的切线相互



15.已知 f ( x ) ? x e ,则 f (1) = 16.函数 y ? e x 的图象在点 ? a k , e a
a1 ? 0
k

? 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 a
.

k ?1

,其中 k ? N * ,

,则 a1 ? a 3 ? a 5 ?

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.定义函数 F ( x , y ) ? (1 ? x ) , x , y ? ? 0 , ? ? ? .
y
3 (1)令函数 f ( x ) ? F ? 1, lo g 2 ? x ? 3 x ? ? 的图象为曲线 C 1 求与直线 4 x ? 15 y ? 3 ? 0 垂直的

?

?

曲线 C 1 的切线方程;
3 2 (2)令函数 g ( x ) ? F ? 1, lo g 2 ? x ? a x ? b x ? 1 ? ? 的图象为曲线 C 2 ,若存在实数 b 使得曲线

?

?

C2

在 x 0 ? x 0 ? ? 1, 4 ? ? 处有斜率为 ? 8 的切线,求实数 a 的取值范围; (3)当 x , y ? N * ,且 x ? y 时,证明 F

? x, y? ?

F

? y, x ? .

18.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3 a 5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9 x 11)时,一年的销售量为(12 -x) 万件。
2
2

(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) 。 本小题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
2 19. 设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 ? ( ? ? 1) ,画面的上

下各留 8cm 的空白,左右各留 5cm 的空白. (1)试确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用的纸张面积最小; (2)当 ? ? [ , ] 时,试确定 ? 的值,使宣传画所用纸张面积最小。
3 4 2 3

20.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? ax
3

2

? 6 bx 在 x ? ? 1 处有极大值 7.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)求 f ( x ) 在 x =1 处的切线方程. 21.已知函数 f(x)=e
x-k

-x, (x∈R) 1 的定义域是 R,求实数 m 的取值范围; f?x?+m

(1)当 k=0 时,若函数 g(x)=

(2)试判断当 k>1 时,函数 f(x)在(k,2k)内是否存在零点. 22.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. (2)若直线 x=-t(0<t<1=把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的 值.

3

【答案】C 【答案】C 【答案】A 【答案】A 【答案】A 【答案】D 【答案】D 【答案】A 【答案】A 【答案】C 【答案】D 【答案】D 【答案】
7 72

【答案】

3 3

【答案】 2 e 【答案】 ? 6 【答案】 (1)
f ( x ) ? F 1, log

?

2

( x ? 3 x ) ? (1 ? 1)
3

?

log

2

( x ?3 x)

3

? x ? 3x
3


3 2

3 3 2 由 log 2 ( x ? 3 x ) ? 0 , x ? 3 x ? 1 . 又 f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ? 得

15 4

, f ?? x? ? 0 , x ? ? 由 得

? x ? 3 x ? 1 ,? x ? ?
3

3 2

.又 f ? ?
?

?

3? 9 ? 3 9? ? ? ,? 切点为 ? ? , ? . 2? 8 ? 2 8?

存在与直线 4 x ? 15 y ? 3 ? 0 垂直的切线,其方程为 y ?
15 x ? 4 y ? 27 ? 0

9 8

?

15 ? 3? ? x ? ? ,即 4 ? 2?

(2) g ( x ) ? F 1, log 2 ( x ? ax
3

?

2

? bx ? 1) ? x ? ax
3
3 2 2

?

2

? bx ? 1 .

由 log 2 ( x ? ax
3 2

2

? bx ? 1) ? 0 ,得 x ? ax

? bx ? 0 .

由 g ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ? ? 8 ,得 b ? ? 3 x ? 2 ax ? 8 .
x ? ax
3 2

? bx ? x ? ax
3

2

? x(?3 x

2

? 2 ax ? 8 ) ? ? 2 x ? ax
3

2

? 8 x ? 0 在 x ? (1, 4 ) 上有解.

? 2x

2

? ax ? 8 ? 0 在 x ? ? 1, 4 ? 上有解得 a ? ? 2 x ?

8 x

在 x ? ? 1, 4 ? 上有解,

8? ? 8 4 4 ? a ? ? ?2 x ? ? , x ? ? 1, 4 ? . 而 ? 2 x ? ? ? 2 ( x ? ) ? ? 4 x ? ? ? 8 , x x x x ? m ax ?

当且仅当 x ? 2 时取等号, ? a ? ? 8 . (3)证明: F ( x , y ) ? F ( y , x ) ? (1 ? x )
? ln (1 ? x ) x ? ln (1 ? y ) y
y

? (1 ? y )

x

? y ln (1 ? x ) ? x ln (1 ? y )

? x, y ? N *, x

? y?.

x

令 h(x) ?

ln( 1 ? x ) x

,则 h ? ( x )

?

1? x

? ln( 1 ? x ) x
2



4

当 x ? 2 时,∵

x 1? x

? 1 ? ln ? 1 ? x ? ,∴ h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减, 1 2 ln 3 ? h ? 2 ? ,

? 当 2 ? x ? y 时, h ( x ) ? h ( y ) . 又当 x ? 1且 y ? 2 时, h ? 1 ? ? ln 2 ?
? 当 x , y ? N * .且 x ? y 时, h ( x ) ? h ( y ) ,即 F ( x , y ) ? F ( y , x ) .

【答案】 (Ⅰ)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
L ? ( x ? 3 ? a )(1 2 ? x ) , x ? [9,1] . 1
2

(Ⅱ) L ? ( x ) ? (1 2 ? x ) ? 2 ( x ? 3 ? a )(1 2 ? x )
2

? (1 2 ? x )(1 8 ? 2 a ? 3 x ) .

令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

2 3

. a 或 x ? 1 2 (不合题意,舍去)
2 3 a≤ 28 3

? 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ?



在x ? 6 ?

2 3

a 两侧 L ? 的值由正变负. 2 3
2

所以(1)当 8 ≤ 6 ?

a ? 9 即3 ≤ a ?

9 2

时,

L m ax ? L (9 ) ? (9 ? 3 ? a )(1 2 ? 9 ) ? 9 (6 ? a ) .

(2)当 9 ≤ 6 ?
2

2 3

a≤

28 3



9 2

≤ a ≤ 5 时,
2 3

L m ax

2 2 ?? 1 ? ? ?? ? ? ? L (6 ? a ) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?1 2 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? 3 ? ? ?? ? ?

9 ? 9 (6 ? a ), 3≤ a ? , ? 2 ? 所以 Q ( a ) ? ? 3 9 ?4 ? 3 ? 1 a ? , ≤ a≤5 ? ? ? 3 ? 2 ? ?

答: 3 ≤ a ? 若
9

9 2

, 则当每件售价为 9 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大值 Q ( a ) ? 9 (6 ? a )

(万元) ;若

2 ? ? ≤ a ≤ 5 ,则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 2 3 ? ?
3

1 ? ? Q ( a ) ? 4 ? 3 ? a ? (万元) . 3 ? ?

【答案】设画面的高为 xcm ,宽为 ? xcm ,则 ? x 2 ? 4840 , (1)设纸张面积为 S ,则有 S ? ( x ? 16 )( ? x ? 10 )

5

? ? x ? (1 6 ? ? 1 0 ) x ? 1 6 0
2

? 5 0 0 0 ? 4 4 1 0 (8 ? ?

5

?

) ? 6760

当且仅当 8 ? ?

5

?

时,即 ? ?

5 8

时, S 取最小值,

此时,高 x ?

4840

?

? 88 cm ,宽 ? x ?

5 8

? 88 ? 55cm .

(2)如果 ? ? [ 现证明如下: 设
2 3

2 3 2 3 , ] ,则上述等号不能成立.函数 S(λ )在 [ , ] 上单调递增. 3 4 3 4

? ?1 ? ? 2 ?

3 4

,
?1 ?
5 ? 8

则 S ( ? ) ? S ( ? ) ? 4 4 1 0 (8 1 2

?1

?2 ?

5

?2

)

? 44

10 (

?1 ?

? 2 )(8 ?

5

?1 ? 2
5

)

因为

?1? 2 ?

2 3

?

5 8

? 8 ?

?1? 2

? 0,

又 ?1 ?

?2 ? 0 ,
2 3 , ] 上单调递增, 3 4

所以 S ( ? 1 ) ? S ( ? 2 ) ? 0 ,故 S ( ? ) 在 [ 因此对 ? ? [

2 3 2 时, S ( ? ) 取得最小值. , ] ,当 ? ? 3 4 3

【答案】 (Ⅰ) f ? ( x ) ? 6 x 2 ? 2 ax ? 6 b ,
? f ? ( ? 1) ? 0 , ? ? f ( ? 1) ? 7 ,

?6 ? 2 a ? 6b ? 0 ?a ? 3 ? ? ? ? ?? 2 ? a ? 6b ? 7 ?b ? ? 2
3 2

,

∴ f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 12 x .
2 (Ⅱ)∵ f ? ( x ) ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ,由 f ? ( x ) ? 0 得 6 x ? 6 x ? 12 ? 0

解得 x ? ? 1 或 x ? 2

2 由 f ? ( x ) ? 0 得 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 2

∴ f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , ? 1), ( 2 , ?? ) ,
6

f ( x ) 的单调减区间为 ( ? 1, 2 ) .

(Ⅲ) ∵ f ? ( x ) ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? f ? (1) ? ? 12 ,

又∵f(1)=-13

∴切线方程为 y ? 13 ? ? 12 ( x ? 1)即 12 x ? y ? 1 ? 0 【答案】 (1)当 k=0 时,f(x)=e -x,f ′(x)=e -1, 令 f ′(x)=0 得,x=0,当 x<0 时 f ′(x)<0,当 x>0 时,f ′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调减,在[0,+∞)上单调增. ∴f(x)min=f(0)=1, ∵对? x∈R,f(x)≥1,∴f(x)-1≥0 恒成立, ∴欲使 g(x)定义域为 R,应有 m>-1. ∴实数 m 的取值范围是(-1,+∞) . (2)当 k>1 时,f(x)=e 又 f(k)=e f(2k)=e
k-k x-k x x

-x,f ′(x)=e

x-k

-1>0 在(k,2k)上恒成立.

∴f(x)在(k,2k)上单调增. -k=1-k<0,
k k 2k-k

-2k=e -2k,令 h(k)=e -2k,
k

∵h′(k)=e -2>0,∴h(k)在 k>1 时单调增, ∴h(k)>e-2>0,即 f(2k)>0, ∴由零点存在定理知,函数 f(x)在(k,2k)内存在零点. 【答案】 (1)设 f(x)=ax +bx+c,则 f′(x)=2ax+b, 又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. ∴f(x)=x +2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式Δ =4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x +2x+1. (2)依题意,有所求面积= ? (3)依题意,有 ? ∴(
?t ?1
2 2 2

0 ?1

( x ? 2 x ? 1) dx ? (
2

1 3

x ? x ? x ) | ?1 ?
3 2 0

1 3

.

(x

2

? 2 x ? 1) d x ?

?

0 ?t

(x

2

? 2 x ? 1) d x ,

1 3

x ? x ? x ) | ?1 ? (
3 2

?t

1 3

x ? x ? x ) |?t , -
3 2 0

1 3

t +t -t+

3

2

1 3

=

1 3

t -t +t, -6t +6t-1=0, 2t

3

2

3

2

∴2(t-1) =-1,于是 t=1-
3

3

1 2

.

7


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