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数列知识点总结


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数列基本概念 数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的 性质,依据这些性质将数列分类: 依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列; 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法) ; 数列通项: an

? f (n) 2、等差数列 1、定义 当 n ? N ,且 n ? 2 时,总有 an ?1 ? an ? d , (d 常) ,d 叫公差。 2、通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 1) 、从函数角度看 an ? dn ? (a1 ? d ) 是 n 的一次函数,其图象是以点 (1, a1 ) 为端点, 斜率为 d 斜线 上一些孤立点。 2) 、从变形角度看
王新敞
奎屯 新疆

an ? an ? (n ? 1)(?d ) , 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。

又 an ? a1 ? (n ? 1)d , am ? a1 ? (m ? 1)d , 相减得 an ? am ? (n ? m)d ,即 an ? am ? (n ? m)d . 若 n>m,则以 am 为第一项, an 是第 n-m+1 项,公差为 d; 若 n<m ,则 am 以为第一项时, an 是第 m-n+1 项,公差为-d. 3 )、 从 发 展 的 角 度 看 若 {an } 是 等 差 数 列 , 则 a p ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d ,

am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d , 因 此 有 如 下 命 题 : 在 等 差 数 列 中 , 若 m ? n ? p ? q ? 2r , 则
am ? an ? a p ? aq ? 2ar .
3、前 n 项和公式 由 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Sn ? an ? an ?1 ? ? ? a1 , 相加得

Sn ?

a1 ? an n, 2

还可表示为 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d , (d ? 0) ,是 n 的二次函数。 2

特别的,由 a1 ? a2 n ?1 ? 2an 可得 S2 n ?1 ? (2n ? 1)an 。

3、等比数列
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1、 定义 当 n ? N ,且 n ? 2 时,总有

an ? q(q ? 0) , q 叫公比。 an ?1
2

2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? am q n ?m , 在等比数列中,若 m ? n ? p ? q ? 2r , 则 am ? an ? a p ? aq ? ar . 3、前 n 项和公式: 由 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , qSn ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 , 两式相减,

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , (q ? 1) ;当 q ? 1 时 , sn ? na1 。 当 q ? 1 时, S ? 1? q 1? q
关于此公式可以从以下几方面认识: ①不能忽视 S ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 成立的条件: q ? 1 。特别是公比用字母表示时,要分类讨论。② 1? q 1? q

公式推导过程中,所使用的“错位相消法” ,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如,公差为 d 的等差数列 {an } , Sn ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,则 xSn ? a1 x 2 ? a2 x3 ? ? an ?1 x n ? an x n ?1 , 相减得 Sn (1 ? x) ? a1 x ? dx 2 ? ? ? dx n ? an x n ?1 , 当 x ? 1 时, Sn (1 ? x) ? a1 x ?

a x ? an x n ?1 dx 2 (1 ? x n ?1 ) dx(1 ? x n ?1 ) ? ? an x n ?1 , Sn ? 1 1? x (1 ? x) 2 1? x
n(n ? 1)d ; 2

当 x ? 1 时 , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 ? 3)从函数角度看

S n 是 n 的函数,此时 q 和 a1 是常数。

4、等差与等比数列概念及性质对照表 名称 定义 等差数列 等比数列

an?1 ? an ? d , (d 常) an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an (n ? N *)

an ?1 a a ? q, (q常) , n ? 2 ? n ?1 (n ? N *) an an ?1 an

通项 公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? ( n ? m ) d
变式: a1 ? an ? (n ? 1)d

an ? a1q n ?1 ? am q n ? m .

性质

m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? 2ar .

m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? (ar ) 2 .
(q ? 1可逆)

(d ? 0可逆)

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中项

m ? n ? 2r ? am ? an ? 2ar .

m ? n ? 2r ? am ? an ? ( a r ) 2 .

单调性

d ? 0时 d ? 0时 d ?0时

增 常数列 减

a1 ? 0, q ? 1或 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 增; a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 时减;
q ? 1 时常数列, q ? 0 时摆动数列

前 n 项 和

a ?a Sn ? 1 n n 2 n(n ? 1) ? na1 ? d , (d ? 0) 2
(推导方法:倒加法)

a1 (1 ? q n ) 1? q a ?a q ? 1 n , ( q ? 1) 1? q S?
(推导方法:错位相消法)

sn ? na1 (d ? 0)
结论 1、

sn ? na1 (q ? 1)

{an } 等差,公差 d , 则 {kan ? b} 等差 {an } 等比, 公比 q,则 {kan } 等比, 公比
公 差 kd ; 子 数 列
2 q ; {an 2 } 等 比 , 公 比 q ; { an } 等 比 , 公 比

ak , ak ? m , ak ? 2 m ,?, ak ? nm , (m ? N * ) 等 差 ,
公差 md; 若 {k n } 等差 , 公差 d1 , {akn } 则 等差,公差 d1 ? d 。

2 q。 子数列 a2 , a4 , a4 ,? a2 n 等比, 公比 q ;

若 {k n } 等差,公差 d,

则 {akn } 等比 , 公比为

qd
2、



{an } 等差,公差 d 则 {an ? an?1} 等差, 公
差 2d;

{an?1 ? an ? an?1} 等差, 公差 3d.

?1? 1 {an } 等比, 公比 q , 则 ? ? 等比,公比 ; q ? an ?
{an ?1 ? an ? an ?1} 等 比 , 公 比 q 3 ; {an?1 ? an ? an?1} 等比,公比 q; Sk , S2 k ? Sk , S3k ? S2 k ? 等比,公比 q k , (当
k 为偶数时, q ? 0 ) 。
k

S k , S 2 k ? S k , S3 k ? S 2 k ? 等 差 , 公 差
k d ,且 S3k ? 3( S2 k ? Sk ). 即连续相同个
2

数的和成等差数列。

3、

{an } 等差.公差 d ?

an ? am . n?m

Sm ? Sn ? Sm? n ? 0.

{an } 等比,公比 q ? n ? m

an . am

Sn ? m, Sm ? n ? S ? ?(m ? n).
4、 等差 {an } 共 2n 项,则

Q偶 ? Q奇 ? (a1 ? a3 ? ? a2 n?1 )(q ? 1)

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Q偶 ? Q奇 ? nd ,

Q偶 Q奇

?

an an ?1

a1 (1 ? q 2 n ) = 1? q
Q偶 Q奇 n ; n ?1 ? a2 ? a4 ? ? a2 n ? q. a1 ? a3 ? ? a2 n ?1

等差 {an } ,共 2n+1 项,则

Q奇 ? Q偶 ? an ?1 (中),

Q偶 Q奇

?

5、

{an } 等差 ? an ? an?1 ? d
? Sn ? a1 ? an n 2

{an } 等比, 公比 q ? an ? a1q n?1

? Sn ? An 2 ? Bn ? an ? kn ? b

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? Sn ? ? 1? q 1? q
? Sn ? a n ? 1, (a ? 0, a ? 1).

S ? an ? 2 n ?1 . 2n ? 1
联系 1、 各项不为 0 常数列,即是等差,又是等比。 2、 通项公式 3、 4、
S1 ,( n ?1) Sn ? Sn?1 ,( n ? 2)

an ? {

.

{an } 等差,公差 d, c ? 0, c ? 1 , 则 c a1 , c a2 ? c an ,即 {c an } 等比,公比 c d . {an } 等比,公比 q, an ? 0 (a ? 0, a ? 1) , log a a1 , log a a2 ,? log a an , 即 {log a an } 等差,公差
log a q .

5、 6、

{an } 等差, {bn } 等比, 则 {an ? bn } 前 n 项和求法,利用错位相消法
求和方法:公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等。

5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推 式表示。求递推数列通项公式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如

an?1 ? an ? f (n) 递 推 数 列 的 基 本 方 法 , 其 中 数 列

{ f (n)} 可 求 前 n 项 和 , 即

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ;累乘法是求形如 an ?1 ? g (n) ? an 递推数列通项公式的基本方法,
其中数列 {g (n)} 可求前 n 项积,即 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ? n , (a ? 0) . a1 a2 an ?1

等差数列
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等差数列的概念 定 义 式: an

? an?1 ? d (d为常数,n ? 2, n ? N *) ,或 an?1 ? an ? d (n ? N *) .

递 推 式: a n ?1

? an ? d (n ? N *) .
? ? a?b? ?. 2 ?

等差中项:任何两个数 a, b 都有且仅有一个等差中项 A ? A ? 通项公式: a n

? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d (广义).

特征: an 前 n 项和: S n ?

? kn ? b ,其中 k ? d , b ? a1 ? d .

(a1 ? a n )n n(n ? 1) n(n ? 1) ? na1 ? d ? nan ? d. 2 2 2

特征: S n ? An 2 ? Bn ,其中 A ?

d d , B ? a1 ? . 2 2

注:1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前 n 项和的特征, 都可以作为一个数列是等差数列的判定依据,但等差数列的证明必须根据定义式. 2.对任何数列,都有 a n ? ?

n ? 1, ? S1 , ?S n ? S n ?1 , n ? 2, n ? N * .

等差数列的性质 1. 若 ?a n ?为等差数列,则 a n ? a m ? (n ? m)d 2. 若 ?a n ?为等差数列,且 m ? n

(m, n ? N *) .

? p ? q(m, n, p, q ? N *) ,则 a m ? a n ? a p ? a q .

3. 若 ?a n ?为等差数列, ,则 S 2 n ?1 ? a n ? (2n ? 1) ? 中间项 ? 项数 . 4. 若等差数列 ?a n ?共有 2n ? 1 项,则① S 奇 ? S 偶 ? a中 ;②

S奇 n ? 1 ? . S偶 n

5. 若等差数列 ?a n ?共有 2n 项,则① S 偶

? S 奇 ? nd ;②

S 偶 a n?1 ? . S奇 an
an S 2m ? 1 ? 2 n ?1 ? . a m S 2 m?1 2n ? 1 a n S 2 n ?1 ? . bn T2 n ?1

6. 若 ?a n ?为各项均不为零的等差数列,前 n 项和为 S n , ,则

7. 若 ?a n ?、 ?bn ? 均为各项非零的等差数列,前 n 项和分别为 S n , Tn ,则 8. 在等差数列 ?a n ?中,若 a m ? n, a n ? m(m ? n) ,则 a m ?n ? 0 .

9. 在等差数列 ?a n ?中,若 S m ? n, S n ? m(m ? n) ,则 S m? n ? ?(m ? n) . 10.在等差数列 ?a n ?中,若 S m ? S n (m ? n) ,则 S m ?n ? 0 . 11.若 ?a n ?为等差数列,则 ?kan ? b?仍为等差数列,其中 k 和 b 是常数.
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12.若 ?a n ?、 ?bn ? 为等差数列,则 ?a n ? bn ?仍为等差数列. 13.若 ?a n ?为等差数列,则序号成等差的项也成等差数列,即:若 ?a n ?为等差数列, ?bn ? 为 正整数等差数列,则

?a ?为等差数列.
bn

14. S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,则 ?a n ?为等差数列 ? ?

? Sn ? ? 为等差数列. ?n?

15.若 ?a n ?为等差数列,则 ?a n ?依次 k 项和仍为等差数列,即 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k . ?仍为 等差数列.

等比数列 等比数列的概念 定 义 式:

an?1 an ? q(n ? N *) . ? q(常数q ? 0, n ? 2, n ? N *) ,或 an an?1
? an q(n ? N *) .

递 推 式: an?1

等比中项:两个同号的实数 a, b 才有但有两个等比中项 G G ? ? ab . 通项公式: a n

?

?

? a1q n?1 , an ? am q n?m (广义).

前 n 项和:当 q ? 1 时, S n ? na1 , 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? a1 q n a1 ? a n ?1 a n (1 ? q ? n ) ? ? ? . 1? q 1? q 1? q 1 ? q ?1

特征: S n ? A(q n ? 1)( A ? 0) . 注:非零常数列既是等差数列也是等比数列,反之亦然.

等比数列的性质 1. 若 ?a n ?为等比数列,则 a n ? a m q 2. 若 ?a n ?为等比数列,且 m ? n
n?m

(m, n ? N *) .

? p ? q(m, n, p, q ? N *) ,则 am an ? a p aq .

3. 若 ?a n ?为等比数列,则 ?k an ?仍为等比数列,其中 k 是非零常数. .. 4. 若 ?a n ?为等比数列,则当 ?a n ? 恒有意义时 ?a n ?
k

?

k

?仍为等比数列,其中 k 是任意常数.

5. 若 ?a n ?、 ?bn ? 为等比数列,则 ?a n bn ? 、 ?

? an ? ? 仍为等比数列. ? bn ?

6. 若 ?a n ?为等比数列,则序号成等差的项也成等比数列,即:若 ?a n ?为等比数列, ?bn ? 为 正整数等差数列,则

?a ?为等比数列.
bn

7. Tn 为正项数列 ?a n ?的前 n 项积,则 ?a n ?为等比数列 ?

? T ?为等比数列.
n n

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8. 若 S k 为等比数列 ?a n ?的前 n 项和,且 S k ? 0 ,则 ?a n ?依次 k 项和仍为等比数列, 即 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k . ?仍为等比数列. 注:等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质,应用范围较小,故未写入.

等差数列与等比数列的联系 1. 非零常数列,也只有非零常数列,即是等差数列也是等比数列。 2. 等差数列与等比数列可以相互转化.事实上,若 ?a n ?是等比数列,则 log c a n 是等差数列; 若 ?a n ?是等差数列,则 c

?

?

? ?是等比数列,其中 c 是常数,且 c ? 0, c ? 1.
an

3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质,等差数列差的运算与等比数列商的 运算有类似的性质. 一、基本概念 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.

?数列的项、数列的项数 ? ?表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式 ? ? ? ?通项公式:不是所有的数列都有通项公式 ? ? ? n n 、( ? 1)+1 ?符号控制器:如( ? 1) ? ?递推公式:表示任一项与它的前一项(或前几项)间的关系的公式. ?

?有穷数列:项数有限的数列. ? ?无穷数列:项数无限的数列. ?递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列. ? 数列分类 ? ?递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列. ?常数列:各项相等的数列. ? ?摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. ?
二、等差数列:从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个常数称为等差数列的公差.

an ? an ?1 ? d , n ? 2且n ? Z ,或 an?1 ? an ? d , n ? 1且n ? Z

? ?an ? a1 ? ? n ? 1? d ? am ? ? n ? m ? d ? kn ? b ? a ? a1 an ? am ? 1、若等差数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则有 ?d ? n ? n ?1 n?m ? an ? a1 ? ?n ? d ? 1 ?
?等差中项:三个数a,G,b组成的等差数列,则称G为a与b的等差中项 ? 2G=a ? b ? ? 2 n ? p ? q ? 2 a n ? a p ? aq ? ? 若{an }是等差数列,则 ? ? 性质: ? ? m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ? ? ? ?若{an }是等差数列,则am、am ? k、am ? 2 k、am ?3k、 构成公差公差kd的等差数列 ?若{a }、{b }是等差数列, 则{? a +?}、 a +? b }是等差数列 {? n n n n n ?
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2、等差数列的前 n 项和的公式: Sn ? 等差数列的前 n 项和的性质:

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d ? pn 2 ? qn

? ? S偶 ? S奇 ? nd ? ? * ? ?若项数为2n ? n ? ? ?,则S 2 n ? n ? an ? an ?1 ?, S奇 ? an ? ? ? S偶 an ?1 (1) ? ? ? S 奇 ? S 偶 ? an ? ? ?若项数为2n ? 1? n ? ? * ?,则S n ? 2 n ?1 ? ? 2n ? 1? an,S 奇 ? nan S 偶 ? ? n ? 1? an, S奇 ? ? S ? n ?1 ? ? 偶 ?

?Sm,S2 m ? Sm ,S3m ? S2 m 成等差数列 ? (2) ? S n ?{ }是等差数列 ? n
若等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和为 S n , Tn ,,则

a n S 2 n ?1 ? bn T2 n ?1

(3)等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ?

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?a k ?1 ? 0 ?d ? 0

②若 ?

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?d ? 0 ?a k ?1 ? 0

三、等比数列:从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个常数称为等比数列的公比. 1、通项公式及其性质

? an ? a1q n ?1 ? am q n ? m ? 若等比数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 ? n ?1 an n ? m an . ? ?q ? a , q am 1 ?

?a,G,b成等比数列,则称G为a与b的等比中项 ? G 2 ? ab ? 2 ? 2 n ? p ? q ? an ? a p ? a q ? ? 性质:若{an }是等比数列,则 ? ? ?m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ? ? ? k ? ?am、am ? k、am ? 2 k、am ?3k、 成公比q 的等比数列
2、前 n 项和及其性质

?na1 ? q ? 1? , (q ? 1) ? . Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q a ? a q n a a ? 1 n ? 1 1 ? ? 1 q n ? 1 ? ? Aq n ? A, ? q ? 1? ? 1? q 1? q 1? q 1? q ? 1? q

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? Sn? m ? Sn ? q n ? Sm ? ? S n、S 2 n ? S n、S3n ? S 2 n成等比数列 ? . 性质 ? S 若项数为2n,则 偶 ? q ? S奇 ? ?Sm,S2 m ? Sm ,S3m ? S2 m成等比数列 ?
四、(1) an 与 S n 的关系: an ? ?

? S1 ? n ? 1? ? ; (检验 a1 是否满足 an ? Sn ? Sn?1 ) ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ? ?

n(n ? 1) ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) ?2 2 2 2 (2) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 6 ? 2 ?3 3 3 n (n ? 1) 2 3 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 4
五、一些方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项;前 n 项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法 (1)观察法;待定系数法(已知是等差数列或等比数列) ; (2) an ? an ?1 ? f (n), 累加消元;

an ? f (n), 累乘消元。 an ?1

(3)

an 1 1 ? an ?1 , (倒数构造等差: ? ? ?k ) ; an ? k an an ?1 an ? an ?1 ? an an ?1 , (两边同除构造等差: 1 1 ? ? 1) ; an an ?1

(4) an ? kan ?1 ? b, 化为 (an ? x) ? k (an ?1 ? x) 构造等比

an ? qan ?1 ? pn ? r(构造等比数列:an ? xn ? y ? q ? an ?1 ? x ? n ? 1? ? y ?) ,
an ? qan ?1 ? p n ,化为

an q an ?1 q ? ? 1 ,分 是否等 1 讨论。 n n ?1 p p p p

3、求前 n 项和的常见方法 公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和 1 常见数列公式 等差数列 1.等差数列: 一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数, a n - a n ?1 =d , 即 (n≥2,n∈N ) ,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 2.等差数列的通项公式:
?

王新敞
奎屯

新疆

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a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a m ? ( n ? m) d 或

a n =pn+q (p、q 是常数))

3.有几种方法可以计算公差 d ① d= a n - a n ?1 ② d=

a n ? a1 n ?1

③ d=

an ? am n?m

4.等差中项: A ?

a?b ? a, b, 成等差数列 2

5.等差数列的性质: m+n=p+q ? a m ? a n ? a p ? a q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前 n 项和公式 6.等差数列的前 n 项和公式 (1) S n ?

n(a1 ? a n ) 2

(2) S n ? na1 ?

n(n ? 1)d d d (3) S n ? n 2 ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数 2 2 2

项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 a n :当 a n >0,d<0,前n项和有最大值 可由 a n ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

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奎屯

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当 a n <0,d>0,前n项和有最小值 可由 a n ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
王新敞
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奎屯

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(2) 利用 S n :由 S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

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等比数列 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1

2.等比数列的通项公式: 3. a n }成等比数列 ? {

a n ? a1 ? q n ?1 (a1 ? q ? 0) ,

an ? am ? q n ?m (a1 ? q ? 0)

a n ?1 =q( n ? N ? ,q≠0) “ a n ≠0”是数列{ a n }成等比数列的必要非充分条件 an

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 6.性质:若 m+n=p+q, a m ? a n ? a p ? a q 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 8.等比数列的增减性: 当 q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { a n }是递增数列; 当 q>1, a1 <0,或 0<q<1, a1 >0 时, { a n }是递减数列; 当 q=1 时, { a n }是常数列;

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当 q<0 时, { a n }是摆动数列; 等比数列前 n 项和 等比数列的前 n 项和公式: ∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, a n 时,用公式②.

类型 1 递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 解:由条件知: a n ?1 ? a n ? 分 别 令

1 1 , a n?1 ? a n ? 2 ,求 a n 。 2 n ?n
2

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
个 等 式 累 加 之 , 即

n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1)

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? an ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
类型 2 递推公式为 a n ?1 ? f (n)a n . 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 解:由条件知

2 n , a n ?1 ? a n ,求 a n 。 3 n ?1

a n ?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n n
又? a1 ?

2 2 ,? an ? 3 3n

类型 3 递推公式为 a n?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) 1. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n . 解 :设递 推公式 a n ?1 ? 2a n ? 3 可 以转化 为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故递 推公式 为
第 11 页

an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? a n ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

bn?1 a n ?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 bn an ? 3

为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ,所以 a n ? 2 n ?1 ? 3 .

1 a n ?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2 1 1 解:由 a n = a n ?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n ?1 -2) ,而 a 1 -2=1-2=-1, 2 2 1 ∴数列{ a n -2}是以 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 n ?1 1 n ?1 ∴a n -2=-( ) ∴a n =2-( ) 2 2 3. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? 3an ? 2 ,求 a n .
2. 数列{a n }满足 a 1 =1,a n = 解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 ,

an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ?

?an ? 1?

是 以 (a1 ? 1)

为 首 项 , 以

3

为 公 比 的 等 比 数 列

? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ? 1
类型 4 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) )解法:利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 进行求解。 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

数列知识点回顾 第一部分:数列的基本概念 1.理解数列定义的四个要点 ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序” ,而不强调有“规律” .因此,如果 组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一 列函数值,但函数不一定是数列. 2.数列的通项公式 一个数列{ a n }的第 n 项 a n 与项数 n 之间的函数关系, 如果用一个公式 a n = f (n) 来表示, 就把这个公式 叫做数列{ a n }的通项公式。若给出数列{ a n }的通项公式,则这个数列是已知的。若数列{ a n }的前 n 项和记 为 S n ,则 S n 与 a n 的关系是:a n = ? 第二部分:等差数列 1.等差数列定义的几个特点: ⑴公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差(同一常数),即 d = a n -a n ? 1 (n≥2)或 d = a n ? 1 -a n (n ? N ? ).

n ?1 ? S1 , 。 ?S n ? S n ?1 . n ? 2

第 12 页

⑵要证明一个数列是等差数列,必须对任意 n ? N ? ,a n -a n ? 1 = d (n≥2)或 d = a n ? 1 -a n 都成立.一般 采用的形式为: ① 当 n≥2 时,有 a n -a n ? 1 = d (d 为常数). ②当 n ? N ? 时,有 a n ? 1 -a n = d (d 为常数). ③当 n≥2 时,有 a n ? 1 -a n = a n -a n ? 1 成立. 若判断数列{ a n }不是等差数列,只需有 a 3 -a 2 ≠a 2 -a 1 即可. 2.等差中项 若 a、A、b 成等差数列,即 A=

a?b a?b ,则 A 是 a 与 b 的等差中项;若 A= ,则 a、A、b 成等差数 2 2

列,故 A=

a ? a n ?1 a?b 是 a、A、b 成等差数列,的充要条件。由于 a n = n ?1 ,所以,等差数列的每一项都 2 2

是它前一项与后一项的等差中项。 3.等差数列的基本性质 ⑴公差为 d 的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为 d. ⑵公差为 d 的等差数列,各项同乘以常数 k 所得数列仍是等差数列,其公差为 kd. ⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列,则{ a n ±b n }与{ka n +b}(k、b 为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何 m、n ? N ? ,在等差数列{ a n }中有:a n = a m + (n-m)d,特别地,当 m = 1 时,便得等差数列 的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果 l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且 l + k + p + … = m + n + r + … (两边的 自然数个数相等) ,那么当{a n }为等差数列时,有:a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … . ⑹公差为 d 的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为 kd( k 为取出项数之差). ⑺如果{ a n }是等差数列,公差为 d,那么,a n ,a n ? 1 ,…,a 2 、a 1 也是等差数列,其公差为-d;在 等差数列{ a n }中,a m ? l -a l = a m ? k -a k = md .(其中 m、k、 l ? N ? ) ⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差 d>0 时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当 d<0 时,等差数列中的数随项数的减少而 减小;d=0 时,等差数列中的数等于一个常数. ⑽设 a l ,a m ,a n 为等差数列中的三项,且 a l 与 a m ,a m 与 a n 的项距差之比

l ?m = ? ( ? ≠-1) ,则 m ?n

am=

a l ? ?a n . 1??
4.等差数列前 n 项和公式 S n =

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 与 S n = na 1 + d 的比较 2 2
第 13 页

前 n 项和公式

公式适用范围 用于已知等差数列的首项和末项

相同点 都是等差数 列的前 n 项和 公式

n(a1 ? a n ) Sn = 2
S n = na 1 +

n(n ? 1) d 2

用于已知等差数列的首项和公差

5.等差数列前 n 项和公式 S n 的基本性质 ⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是:数列{ a n }的前 n 项和 S n 可以写成 S n = an 2 + bn 的形式(其中 a、 b 为常数). ⑵在等差数列{ a n }中, 当项数为 2n (n ? N * )时, 偶 -S 奇 = nd, S

S奇 S偶

=

an ; 当项数为(2n-1) (n ? N ? ) an ? 1

时,S 偶 -S 奇 = a n ,

S奇 S偶

=

n . n ?1
2

⑶若数列{ a n }为等差数列,则 S n ,S 2 n -S n ,S 3 n -S 2 n ,…仍然成等差数列,公差为 n d .

a n ?1 Sn ⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前 n 项和分别是 S n 、T n (n 为奇数),则 = 2 . Tn b n ?1
2

⑸在等差数列{ a n }中,S n = a,S m = b (n>m),则 S m ? n = ⑹等差数列{a n }中,

n?m (a-b). n?m

Sn S d d 是 n 的一次函数,且点(n, n )均在直线 y = x + (a 1 - )上. n n 2 2

⑺记等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .①若 a 1 >0,公差 d<0,则当 a n ≥0 且 a n ?1 ≤0 时,S n 最大;② 若 a 1 <0 ,公差 d>0,则当 a n ≤0 且 a n ?1 ≥0 时,S n 最小. 第三部分:等比数列 1.正确理解等比数列的含义 ⑴q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即 q =

an ? 1 an

(n ? N ? )或 q =

an (n≥2). an ? 1

⑵由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0. ⑶要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n ? N ? , 2.等比中项与等差中项的主要区别 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么

an ? 1 an

= q;或

an = q (n≥2)都成立. an ? 1

G b 2 = ,即 G = ab,G =± ab .所以,只要两个同号的数才有等 .. a G

比中项,而且等比中项有两个,它们互为相反数;如果 A 是 a 与 b 的等差中项,那么等差中项 A 唯一地表示

第 14 页

为 A=

a?b ,其中,a 与 b 没有同号的限制.在这里,等差中项与等比中项既有数量上的差异,又有限制条 .. 2

件的不同. 3.等比数列的基本性质 ⑴公比为 q 的等比数列, 从中取出等距离的项, 构成一个新数列, 此数列仍是等比数列, 其公比为 q m ( m 为等距离的项数之差). ⑵对任何 m、n ? N ? ,在等比数列{ a n }中有:a n = a m · n ? m ,特别地,当 m = 1 时,便得等比数列的 q 通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性. ⑶一般地,如果 t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且 t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两 边的自然数个数相等),那么当{a n }为等比数列时,有:a t .a k .a p .… = a m .a n .a p .… . . ⑷若{ a n }是公比为 q 的等比数列,则{| a n |}、{a n }、{ka n }、{
2

1 }也是等比数列,其公比分别为| q |}、 an

{q 2 }、{q}、{

1 }. q

⑸如果{ a n }是等比数列,公比为 q,那么,a 1 ,a 3 ,a 5 ,…,a 2 n ? 1 ,…是以 q 2 为公比的等比数列. ⑹如果{ a n }是等比数列,那么对任意在 n ? N ? ,都有 a n · n ? 2 = a n · 2 >0. a q
2

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积. ⑻当 q>1 且 a 1 >0 或 0<q<1 且 a 1 <0 时, 等比数列为递增数列; a 1 >0 且 0<q<1 或 a 1 <0 且 q 当 >1 时,等比数列为递减数列;当 q = 1 时,等比数列为常数列;当 q<0 时,等比数列为摆动数列. 4.等比数列前 n 项和公式 S n 的基本性质

?na1 , 当 q ?1 时 , ? ⑴如果数列{a n }是公比为 q 的等比数列,那么,它的前 n 项和公式是 S n = ? a (1 ? q n ) 1 , 当q ? 1时. ? ? 1? q
也就是说,公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在 q = 1 处.因此,使用等比数列的前 n 项和公式,必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是必不等于 1,如果 q 可能等 于 1,则需分 q = 1 和 q≠1 进行讨论.

a ? an q a1 (1 ? q n ) ⑵当已知 a 1 ,q,n 时,用公式 S n = ;当已知 a 1 ,q,a n 时,用公式 S n = 1 . 1? q 1? q
⑶若 S n 是以 q 为公比的等比数列,则有 S n? m = S m +qS n .⑵ ⑷若数列{ a n }为等比数列,则 S n ,S 2 n -S n ,S 3 n -S 2 n ,?仍然成等比数列. ⑸若项数为 3n 的等比数列(q≠-1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 , n 项和与次 n 项积分 次 别为 S 2 与 T 2 ,最后 n 项和与 n 项积分别为 S 3 与 T 3 ,则 S 1 ,S 2 ,S 3 成等比数列,T 1 ,T 2 ,T 3 亦
第 15 页

成等比数列. 二、难点突破 1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已知一个数列的前 几项,这个数列的通项公式更不是唯一的. 2.等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一 个常数” .这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在,而“同一个常数”则是保证至 少含有 3 项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项. 3.数列的表示方法应注意的两个问题:⑴{ a n }与 a n 是不同的,前者表示数列 a 1 ,a 2 ,…,a n ,…, 而后者仅表示这个数列的第 n 项;⑵数列 a 1 ,a 2 ,…,a n ,…,与集合{ a 1 ,a 2 ,…,a n ,…,}不同,差 别有两点:数列是一列有序排布的数,而集合是一个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺序性,而集合 的元素间没有顺序性. 4.注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即: ⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为 S,则通常设?,aq ?2 , aq ?1 , a,aq,aq 2 ,?; ⑵对连续偶数个项同号的等比数列,若已知其积为 S,则通常设?,aq ..
?3

, aq

?1

, aq,aq ,?.

3

5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0,因此,在研究等比数列时,要注意 a n ≠0,因为当 a n = 0 时,虽有 a n = a n ? 1 · n ? 1 成立,但{a n }不是等比数列,即“b 2 = a · a c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件;对比等差数列{a n }, “2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条 件,这一点同学们要分清. 6.由等比数列定义知,等比数列各项均不为 0,因此,判断一数列是否成等比数列,首先要注意特殊情 况“0” .等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想,需分分 q = 1 和 q≠1 进行分类讨论,在具体运用公 式时,常常因考虑不周而出错. 等差数列 等差数列的概念 定 义 式: an
2

? an?1 ? d (d为常数,n ? 2, n ? N *) ,或 an?1 ? an ? d (n ? N *) .

递 推 式: a n ?1

? an ? d (n ? N *) .
? ? a?b? ?. 2 ?

等差中项:任何两个数 a, b 都有且仅有一个等差中项 A ? A ? 通项公式: a n

? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d (广义).

特征: an 前 n 项和: S n ?

? kn ? b ,其中 k ? d , b ? a1 ? d .

(a1 ? a n )n n(n ? 1) n(n ? 1) ? na1 ? d ? nan ? d. 2 2 2

2 特征: S n ? An ? Bn ,其中 A ?

d d , B ? a1 ? . 2 2

注:1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前 n 项和的特征, 都可以作为一个数列是等差数列的判定依据,但等差数列的证明必须根据定义式.
第 16 页

2.对任何数列,都有 a n ? ?

n ? 1, ? S1 , ?S n ? S n ?1 , n ? 2, n ? N * .

等差数列的性质 1. 若 ?a n ?为等差数列,则 a n ? a m ? (n ? m)d 2. 若 ?a n ?为等差数列,且 m ? n

(m, n ? N *) .

? p ? q(m, n, p, q ? N *) ,则 a m ? a n ? a p ? a q .

3. 若 ?a n ?为等差数列, ,则 S 2 n ?1 ? a n ? (2n ? 1) ? 中间项 ? 项数 . 4. 若等差数列 ?a n ?共有 2n ? 1 项,则① S 奇 ? S 偶 ? a中 ;②

S奇 n ? 1 ? . S偶 n

5. 若等差数列 ?a n ?共有 2n 项,则① S 偶

? S 奇 ? nd ;②

S 偶 a n?1 ? . S奇 an
an S 2m ? 1 ? 2 n ?1 ? . a m S 2 m?1 2n ? 1 a n S 2 n ?1 ? . bn T2 n ?1

6. 若 ?a n ?为各项均不为零的等差数列,前 n 项和为 S n , ,则

7. 若 ?a n ?、 ?bn ? 均为各项非零的等差数列,前 n 项和分别为 S n , Tn ,则 8. 在等差数列 ?a n ?中,若 a m ? n, a n ? m(m ? n) ,则 a m ?n ? 0 .

9. 在等差数列 ?a n ?中,若 S m ? n, S n ? m(m ? n) ,则 S m? n ? ?(m ? n) . 10.在等差数列 ?a n ?中,若 S m ? S n (m ? n) ,则 S m ?n ? 0 . 11.若 ?a n ?为等差数列,则 ?kan ? b?仍为等差数列,其中 k 和 b 是常数. 12.若 ?a n ?、 ?bn ? 为等差数列,则 ?a n ? bn ?仍为等差数列. 13.若 ?a n ?为等差数列,则序号成等差的项也成等差数列,即:若 ?a n ?为等差数列, ?bn ? 为 正整数等差数列,则

?a ?为等差数列.
bn

14. S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,则 ?a n ?为等差数列 ? ?

? Sn ? ? 为等差数列. ?n?

15.若 ?a n ?为等差数列,则 ?a n ?依次 k 项和仍为等差数列,即 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k . ?仍为 等差数列.

等比数列 等比数列的概念 定 义 式:

an?1 an ? q(n ? N *) . ? q(常数q ? 0, n ? 2, n ? N *) ,或 an an?1
? an q(n ? N *) .
第 17 页

递 推 式: an?1

等比中项:两个同号的实数 a, b 才有但有两个等比中项 G G ? ? ab . 通项公式: a n

?

?

? a1q n?1 , an ? am q n?m (广义).

前 n 项和:当 q ? 1 时, S n ? na1 ,

a1 (1 ? q n ) a1 ? a1 q n a1 ? a n ?1 a n (1 ? q ? n ) ? ? ? 当 q ? 1 时, S n ? . 1? q 1? q 1? q 1 ? q ?1
特征: S n ? A(q n ? 1)( A ? 0) . 注:非零常数列既是等差数列也是等比数列,反之亦然.

等比数列的性质 1. 若 ?a n ?为等比数列,则 a n ? a m q 2. 若 ?a n ?为等比数列,且 m ? n
n?m

(m, n ? N *) .

? p ? q(m, n, p, q ? N *) ,则 am an ? a p aq .

3. 若 ?a n ?为等比数列,则 ?k an ?仍为等比数列,其中 k 是非零常数. .. 4. 若 ?a n ?为等比数列,则当 ?a n ? 恒有意义时 ?a n ?
k

?

k

?仍为等比数列,其中 k 是任意常数.

5. 若 ?a n ?、 ?bn ? 为等比数列,则 ?a n bn ? 、 ?

? an ? ? 仍为等比数列. ? bn ?

6. 若 ?a n ?为等比数列,则序号成等差的项也成等比数列,即:若 ?a n ?为等比数列, ?bn ? 为 正整数等差数列,则

?a ?为等比数列.
bn

7. Tn 为正项数列 ?a n ?的前 n 项积,则 ?a n ?为等比数列 ?

? T ?为等比数列.
n n

8. 若 S k 为等比数列 ?a n ?的前 n 项和,且 S k ? 0 ,则 ?a n ?依次 k 项和仍为等比数列, 即 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k . ?仍为等比数列. 注:等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质,应用范围较小,故未写入.

等差数列与等比数列的联系 1. 非零常数列,也只有非零常数列,即是等差数列也是等比数列。 2. 等差数列与等比数列可以相互转化.事实上,若 ?a n ?是等比数列,则 log c a n 是等差数列; 若 ?a n ?是等差数列,则 c

?

?

? ?是等比数列,其中 c 是常数,且 c ? 0, c ? 1.
an

3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质,等差数列差的运算与等比数列商的 运算有类似的性质. 数列知识点 一.考纲要求 内容 4 要求层次

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A 数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念 数列 等差数列、 等比数列 等比数列的概念 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 二.知识点 (一)数列的该概念和表示法、

B √ √ √

C

√ √

(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项记作 an ,在数列 第一个位置的项叫第 1 项(或首项) ,在第二个位置的叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也 叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,??, an ,??,简记作

?an ? 。

(2)通项公式的定义:如果数列 {a n } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个 公式就叫这个数列的通项公式 说明:① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,?? (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数 观点看,数列实质上是定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集)的函数 f (n) 当自变量 n 从 1 开始依 次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ??, f (n) ,??.通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图象 是一群孤立的点 (3) 数列分类: ①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列; ②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列 (4) 递推公式定义:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an ?1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 (二)等差数列 1.等差数列的定义: a n ? a n ?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )

, 首项: a1 ,公差:d,末项: an
第 19 页

推广: a n ? a m ? (n ? m)d . 3.等差中项

从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2A ? a ? b 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

(2)等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 4.等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n ?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
?

乘以中间项)

5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 a n ? a n ?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ? (3) 数列 ?a n ?是等差数列 ? a n ? kn ? b (其中 k, b 是常数)。
2

(2) 等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 . (4) 数列 ?a n ?是等差数列 ? Sn ? An ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法
? 定义法:若 a n ? a n ?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ?

?a n ?是等差数列.

?a n ?是等差数列.

7.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函 数,且斜率为

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .
公差 d ;前 n 和 Sn ? na1 ? (4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?? an ? b?,?1an ? ?2bn ? 都为等差数列 ? (5) 若{ a n }是等差数列,则 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数列 (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am ? k , am ? 2 k , am ?3k , ??? )仍为等差数 列
*

(7)设数列 ?a n ?是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n ?1 ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ?

n ? a1 ? a2 n ?1 ?

2 n ? a2 ? a2 n ? 2

? nan

? nan ?1

S偶 ? S奇 ? nan ?1 ? nan ? n ? an ?1 ? an ? =nd

第 20 页

S奇 S偶

?

nan a ? n nan ?1 an ?1

2、当项数为奇数 2n ? 1 时,则

?S2 n?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ?S奇 ? (n ? 1)an+1 S n ?1 ? ? ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? S偶 ? nan+1 ? ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8)等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n ,前 m 项和 Sn ? m ,则前 m+n 项和 Sm? n ? ? ? m ? n ? (9)求 S n 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要 注意数列的特殊 性 n? N 。 法二: “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 (1)
*

即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?a n ? 0 可得 S n 达到最大值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0 ?a n ? 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?a n ?中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数 对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) S p = S q则其对称轴为 n ? 。若 (三)等比数列

p?q 2

1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an ?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? , q
n?m

首项: a1 ;公比: q

推广: an ? am q 3. 等比中项



从而得 q

n?m

?

a an 或 q ? n?m n am am
2

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?a n ?是等比数列 ? an ? an ?1 ? an ?1
2

4. 等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1) 当 q ? 1 时, S n ? na1

第 21 页

(2) 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

5. 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的 n,都有 an ?1 ? qan或
2

an ?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2) 等比中项: an ? an ?1an ?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? B
n

? A ? B ? 0 ? ? {an } 为等比数列
n n

(4) 前 n 项和公式: Sn ? A ? A ? B 或Sn ? A ' B ? A ' ? A, B, A ', B ' 为常数 ? ? {an } 为 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

等比数列

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an ?1

7. 等比数列的性质 (1) 当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q
n ?1

?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q

q
②前 n 项和 S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? a1q n a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反 1? q 1? q 1? q
n?m

数的类指数函数,底数为公比 q
* (2) 对任何 m,n ? N ,在等比数列 {an } 中,有 an ? am q

,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此,

此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
* (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N ),则 an ? am ? as ? at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an ? am ? ak
2

注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3an ? 2 ??? (4) 列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 {

a k } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数列. bn an
*

(5) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am ? k , am ? 2 k , am ?3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an ,

an?1 ? an? 2 ????? a2 n ,

a2 n?1 ? a2 n ?2 ??????a3n 成等比数列
第 22 页

(9) ①当 q ? 1 时,

②当 0<q ? 1 时,

? 0,则{ a }为递增数列 {a11 ?0,则{ann }为递减数列 , a

? 0,则{ an }为递减数列 {a1 ? 0,则{an }为递增数列 a1

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N )时,
*

S奇 S偶
n

?

1 ,. q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn ? m ? S n ? q ? S m

第 23 页


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