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高考复习资料:数列问题的题型与方法


第 11 讲 数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差 数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数 函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳 法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学 思

想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元 法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面; (1)数列本身的有关知识,其中 有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合,其中 有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题,其中主要是以增长率 问题为主。 试题的难度有三个层次, 小题大都以基础题为主, 解答题大都以基础题和中档题为主, 只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 一、知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上,系统掌握 解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用 数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2. 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的 思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二、方法技巧 1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an?1 (an / an?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 ②若 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则 ? an ? 为等差数列; ,则 ? an ? 为等比数列。 (3)中项公式法:验证中项公式成立。 2. 在等差数列 ? an ? 中,有关 S n 的最值问题——常用邻项变号法求解: 1 (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ? ? am ? 0 的项数 m 使得 S m 取最大值. ? am ?1 ? 0 ? am ? 0 的项数 m 使得 ? am ?1 ? 0 取最小值。 (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 1 . 证 明 数 列 ?a n ? 是 等 差 或 等 比 数 列 常 用 定 义 , 即 通 过 证 明 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 或 a n ?1 a ? n 而得。 an a n ?1 2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运 用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3.注意 s n 与 a n 之间关系的转化。如: ? S1 ? 0 an = ? ? S n ? S n ?1 ? 0 n ?1 n?2 , a n = a1 ? ? (a k ? a k ?1 )

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