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25 2.4线性回归方程 教师版

时间:2014-03-14


扬大附中导学案

必修三

第2章 统 计

主备:乐锦

校对:孟伟业

25

2.4 线性回归方程 教师版
班级: 高二 ( ) 班 一、学习目标 姓名: 时间: 月 日

反思感悟:

1.理解线性回归的

基本思想和方法,体会变量之间的相关关系.线性回归方 程的求法. 2. 会画出一组数据的散点图, 并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性 关系.

二、自学内容
1、阅读课本 71 页,回答如下问题: ⑴在实际问题中,变量之间的常见关系有两类:一类是 确定性函数关系, 变量之间的关系可以用函数表示,另一类是 相关关系,变量之间有一定的 联系,但不能完全用函数来表示. ⑵在散点图中如果点散布在一条直线的附近,可用 一个线性函数 近似地表 示 x 和 y 之间的关系. ⑶在 P71“热茶”例子中,方案一选用两点 A2 (18, 24) , A3 (13,34) ,得到的直 线方程为 y1 ? b1 x ? a1 , 其中 b1 ? -2 ,a1 ? 60 . 比较拟合数据 y1 与实际数据 y 的差,填空:

x
y1
原杯数 y

26 8 20 12

10 40 38 -2

4 52 50 -2

?1
62 64 2

y 与 y1 的差

方案二选用两点 A4 (10,38) , A5 (4,50) ,得到的直线方程为 y2 ? b2 x ? a2 , 其中 b2 ? -2 , a2 ? 58 . 比较拟合数据 y2 与实际数据 y 的差,填空:

x
y2
原杯数 y

26 6 20 14

18 22 24 2

13 32 34 2

?1
60 64 4

y 与 y2 的差

观察上述两表,你认为方案一与方案二中哪一个更好一些?(可参考书 P62 推导平均数公式所采用的方法) 方案一更好一些. 2.阅读课本 72-73 页,回答如下问题: ? ? bx ? a 的直线拟合散点图中的点,应使得该直线与散点图中的 ⑴用方程为 y 点最 接近 . ? ? bx ? a 近似表示的 ⑵ 能用直线 y 相关关系叫做线性相关关系. ⑶线性回归方程中的 a 、 b 取值应使 Q(a, b) = ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ? ? ( yn ? bxn ? a)2 取最 小 值 . 此 方法叫做 最小平方法(或最小二乘法) .
1

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必修三

第2章 统 计

主备:乐锦

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三、问题探究
例 1 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2 )请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

反思感悟:

? ? bx ? a ; y
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据(2) 求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少 吨标准煤? 【解】 (1)散点图如下图所示:

? ? bx ? a . (2)设线性回归方程为 y
列表并进行有关计算: i xi
yi

1 3 2.5 9 7.5

2 4 3 16 12

3 5 4 25 20

4 6 4.5 36 27

? 18
14 86 66.5

x

2 i

xi yi

∴x ? ∴b ?

18 14 ? 4.5 , y ? ? 3.5 . 4 4

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 , a ? y ? bx ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 . 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81 ? ? 0.7 x ? 0.35 . 故所求的线性回归方程为 y (3)当 x ? 100 时, y ? 0.7 ? 100 ? 0.35 ? 70.35 (吨标准煤)
预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨标准 煤). 例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车 辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系,如果具有线性相关关系,求 出线性回归方程;如果不具有线性相关关系,说明理由. 机动车辆数 x/千台 交通事故数 y/千件 95 6.2 110 7.5 112 7.7 120 8.5 129 8.7 135 9.8 150 10.2 180 13

【解】在直角坐标系中画出数据的散点图如下:
2

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反思感悟:

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系. 列表计算如下: i 1 2 3 4 5 6 7 xi 95 110 112 120 129 135 150
yi
6.2 9025 589 7.5 12100 825 7.7 12544 862.4 8.5 14400 1020 8.7 16641 1122.3 9.8 18225 1323 10.2 22500 1530

8
180 13 32400 2340

?
1031 71.6 137835 9611.7

x

2 i

xi yi

∴x ?

1031 71.6 ? 128.875 , y ? ? 8.95 . 8 8

9611.7 ? 8 ?128.875 ? 8.95 9611.7 ? 9227.45 384.25 ? ? ? 0.0774 , 2 137835 ? 8 ?128.875 137835 ? 132870.125 4964.875 a ? ?1.0241 . ? ? 0.0774 x ? 1.0241 . 故所求线性回归方程为 y
∴b?

四、小结与反馈
1.线性回归方程中 a 、 b 取值的理论依据及公式. 理论依据:最小二乘法(最小平方法)
n ? xi yi ? nx ? y ? ? i ?1 ? b ? ? n 公式: ? 2 2 ? x ? nx ? i ? i ?1 ? ? ?a ? y ? bx .

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y ) ,

? ( xi ? x )2
i ?1

2.用回归直线进行拟合的一般步骤. 求回归方程的一般步骤: (1)列表 xi , yi , xi yi ; (2)计算 x , y , ? xi2 , ? xi yi ;
i ?1 i ?1 n n

(3)代入公式计算 b, a ; ? ? bx ? a . (4)写出线性回归方程 y 3.P75 练习 T1 (说明:①可给出回归方程,让学生估计 1996 和 2004 年生 活污水排放量;②若用此回归方程估计 2050 年的情形,你觉得科学吗?) 4.已知 x , y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 ? ? bx ? a 必过定点 则 y 与 x 的线性回归方程 y (1.5, 4) .
3

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2.4 线性回归方程 作业纸
1. 长方形的面积一定时,长和宽具有( C ) A.不确定性关系 B.相关关系 C.函数关系 D.无任何关系 2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( D ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 3. 下列说法:①线性回归方程适用于一切样本和总体;②线性回归方程一般 都有局限性;③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围;④线性回 归方程得到的预测值是预测变量的精确值. 正确的是 ②③ (将认为正确的 序号都填上). ? ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时, 4. 设有一个直线回归方程为 y 则 y 平均减少 1.5 个单位. 5. 一般来说, 一个人脚越长, 他的身高就越高. 现对 10 名成年人的脚长 x(单 位:cm)与身高 y (单位:cm)进行测量,得如下数据: x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 y 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 作出散点图后,发现散点在一条直线附近. 经计算得到一些数据: x ? 24.5 ,
王新敞
奎屯 新疆

反思感悟:

y ? 171.5 , ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? 577.5 , ? ( xi ? x ) 2 ? 82.5 . 某刑侦人员在某案
i ?1 i ?1

10

10

发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长 26.5cm,请你估计案发嫌疑人的身 高为 185.5 cm. 6.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元) ,有如下的统 计资料: 2 3 4 5 6 使用年限 x 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 维修费用 y 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系.
? ? bx ? a 的回归系数 a , b ; 试求: (1)线性回归方程 y

(2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? ? ? bx ? a . 【解】 (1)设线性回归方程为 y 列表并进行有关计算: i 1 2 3 4 5 ? xi 20 2 3 4 5 6
yi

2.2 4 4.4

3.8 9 11.4

5.5 16 22

6.5 25 32.5

7.0 36 42

25 90 112.3

x
∴x ?

2 i

xi yi

20 25 ?4,y ? ?5. 5 5 112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 ∴b ? ? ? 1.23 , a ? y ? bx ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 . 90 ? 5 ? 42 10 ? ? 1.23x ? 0.08 . 故所求的线性回归方程为 y (2)当 x ? 10 时, y ? 1.23 ? 10 ? 0.08 ? 12.38 (万元) 估计使用年限为 10 年时,维修费用是 12.38 万元.
4


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