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高三 2-3 函数的奇偶性与周期性测试及答案


2-3 函数的奇偶性与周期性习题
1.(2010· 北京西城区抽检)下列各函数中,( A.y=x2-2x C.y=cos2x [答案] C [解析] A、B 不是偶函数,D 的定义域{x∈R|x≠±1}不是 R,故选 C. 2. (文)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=2x-3, f(-2)的值等于( 则 A.-1 C.1 [答

案] A [解析] f(2)=22-3=1,又 f(x)是 奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=-1,故选 A. (理)(2011· 浙江杭州月考)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x +m(m 为常数),则 f(-1)的值为( A.-3 C.1 [答案] A [解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,即 f(0)=20+m=0,解得 m=-1. ∴f(x)=2x+2x-1,f(1)=21+2× 1-1=3, f(-1)=-f(1)=-3. 3.(文)(2011· 济南模拟)函数 f(x)(x∈R)是周期为 3 的奇函数,且 f(-1)=a,则 f(2011) 的值为( A.a C.0 [答案] B [解析] ∵f(x)周期为 3, ∴f(2011)=f(670× 3+1)=f(1), ∵f(x)为奇函数,f(-1)=a, ∴f(1)=-a,故选 B. (理)(2011· 兰州诊断、河北三校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)= ) B.-a D.2a ) B.-1 D.3 11 B. 4 11 D.- 4 ) )是 R 上的偶函数( B.y=2x 1 D.y= |x|-1 )

1 - ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)=( f?x? A.4.5 C.0.5 [答案] D

) B.-4.5 D.-0.5

1 1 [解析] ∵f(x+2)=- , ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- =f(x), ∴f(x)周期为 4, ∴f(6.5) f?x? f?x+2? =f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=-0.5. 4. (文)(2011· 北京东城一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且当 x>0 时, f(x)=ln(x +1),则函数 f(x)的图象大致为( )

[答案] C [解析] 函数 f(x)=ln(x+1)的图象由 f(x)=lnx 的图象向左平移 1 个单位得到,选取 x>0 的 部分,然后作关于 y 轴的对称图形即得. (理)

(2011· 北京西城模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下 列函数 中与 f(x)的单调性不同的是( A.y=x2+1
?2x+1,x≥0 ? C.y=? 3 ? ?x +1,x<0

) B.y=|x|+1
?ex,x≥0 ? D.y=? -x ? ?e ,x<0

[答案] C [解析] ∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在(-∞,0) 上为增函数. 5.(2011· 青岛模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)=2- 3,且对任意的 x 都有 f(x 1 +3)= ,则 f(2010)的值为( -f?x? A.-2- 3 C.2- 3 [答案] A 1 [解析] 由题意得 f(x+6)=f(x+3+3)= = -f?x+3? =f(x).∴函数 f(x)的周期为 6. 1 -?- ? f?x? 1 ) B.-2+ 3 D.-3- 3

1 1 f(2010)=f(335× 6)=f(6),而 f(6)=f(3+3)=- =- =-2- 3. f?3? 2- 3 x+1 6.(文)(2011· 合肥模拟)设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f( ) x+4 的所有 x 之和为( 9 A.- 2 C.-8 [答案] C x+1 [解析] ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f( ) x+4 ) 7 B.- 2 D.8

x+1 ∴f(|2x|)=f(| |) x+4 又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, x+1 ∴|2x|=| |, x+4 x+1 x+1 即 2x= 或 2x=- x+4 x+4 整理得 2x2+7x-1=0 或 2x2+9x+1=0 设方程 2x2+7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x2+9x+1=0 的两根为 x3,x4. 7 9 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +(- )=- 8. 2 2 (理)已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数, a=f(log47), 设 b=f(log1 3),c=f(0.20.6),则 a、b、c 的大小关系是( 2 A.c<b<a C.b<a<c [答案] C [解析] 由题意知 f(x)=f(|x|). ∵log47=log2 7>1,|log1 3|=log23>log2 7,0<0.20.6<1, 2 ∴|log1 3|>|log47|>|0.20.6|. 2 又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b<a<c.故选 C. 7.(文)若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=2 对称,且当 x∈(- 2,2)时, f(x)=-x2+1.则 f(-5)=________. [答案] 0 [解析] 由题意知 f(-5)=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1)=-(-1)2+1=0. (理)(2010· 深圳中学)已知函数 y=f(x)是偶函数, y=g(x)是奇函数, 它们的定义域都是[- f?x? π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式 <0 的解集是________. g?x? )

B.b<c<a D.a<b<c

π π [答案] ?-3,0?∪?3,π? ? ? ? ? [解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全 f(x)、 g(x)的图象,
?f?x?<0 ?f?x?>0 f?x? ∵ <0,∴? ,或? ,观察两函数的图象,其中一个在 x 轴上方,一个在 x g?x? ?g?x?>0 ?g?x?<0

π π 轴下方的,即满足要求,∴- <x<0 或 <x<π. 3 3 8.设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π).若 f(x)+f ′(x)是奇函数,则 φ=________. [答案] π 6

[解析] ∵f ′(x)=- 3sin( 3x+φ). ∴f(x)+f ′(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) π =2cos? 3x+φ+3?. ? ? π π f(x)+f ′(x)是奇函数?φ+ =kπ+ (k∈Z), 3 2 π 即 φ=kπ+ (k∈Z). 6 π 又∵0<φ<π,∴k=0 时,φ= . 6 1 9.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 f( )=0,则满足 f(log1 x)<0 的 2 4 集合为________. 1 [答案] (0, )∪(2,+∞) 2 1 1 [解析] 由题意知 f(x)<0 的解为 x> 或 x<- , 2 2 1 1 ∴由 f(log1 x)<0 得log1 x> 或log1 x<- , 2 2 4 4 4

1 ∴0<x< 或 x>2. 2 4 10.(文)已知函数 f(x)=1- x (a>0 且 a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. 2a +a (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; (3)当 x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 即 1- 4 =0, 2× 0+a a

解得 a=2. 2x-1 1+y (2)∵y= x ,∴2x= , 2 +1 1-y 1+y 由 2x>0 知 >0, 1-y ∴-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1). t·x-t x 2 (3)不等式 tf(x)≥2x-2 即为 x ≥2 -2. 2 +1 即:(2x)2-(t+1)·x+t-2≤0.设 2x=u, 2 ∵x∈(0,1],∴u∈(1,2]. ∵u∈(1,2]时 u2-(t+1)· u+t-2≤0 恒成立.
?12-?t+1?×1+t-2≤0 ? ∴? 2 ,解得 t≥0. ? ?2 -?t+1?×2+t-2≤0

1 (理)(2011· 烟台模拟)已知函数 f(x)=ax+ 2(x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. [解析] (1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 当 a=0 时,f(x)= 2,满足对定义域上任意 x,f(-x)=f(x),∴a=0 时,f(x)是偶函数; x 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(-1)=1-a, 若 f(x)为偶函数,则 a+1=1-a,a=0 矛盾; 若 f(x)为奇函数,则 1-a=-(a+1),1=-1 矛盾, ∴当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数. (2)对任意 x1,x2∈[3,+∞),且 x1>x2, 1 1 f(x1)-f(x2)=ax1+ 2-ax2- 2 x1 x2

2 x2-x2 1 =a(x1-x2)+ 2 2 x1x2

x1+x2 =(x1-x2)(a- 2 2 ). x1x2 ∵x1-x2>0,f(x)在[3,+∞)上为增函数, x1+x2 1 1 ∴a> 2 2 ,即 a> 2+ 2 在[3,+∞)上恒成立. x1x2 x1x2 x1x2 ∵ 1 1 2 2 < ,∴a≥ . 2+ x1x2 x2x2 27 27 1

11.(2011· 泰安模拟)f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, f(2)=0, 且 则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 [答案] B [解析] 由 f(2)=0,得 f(5)=0, ∴f(-2)=0,f(-5)=0. ∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0, 故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个. 12.(2011· 开封调研)已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3)等于 ( ) 1 A. 2 3 C. 2 [答案] C [分析] 为求 f(3)先求 f(1),为求 f(1)先在 f(x+2)=f(x)+f(2)中,令 x=-1,利用 f(x)为 奇函数,可解出 f(1). [解析] 令 x=-1 得 f(1)=f(-1)+f(2)=f(2)-f(1), 1 1 3 ∴f(1)= f(2)= ,∴f(3)=f(1)+f(2)= . 2 2 2 [点评] 解答此类题目,一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能 产生联系,赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用,请再练习下题: B.1 D.2 B.4 ) C.3 D.2

3 若奇函数 f(x)(x∈R)满足 f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则 f?2?等于( ? ? A.0 [答案] C B.1 1 C. 2 1 D.- 2

)

3 3 3 [解析] 在 f(x+3)=f(x)+f(3)中取 x=- 得,f?2?=f?-2?+f(3),∴f (x)是奇函数,且 ? ? ? ? 2 f(3)=1, 3 1 ∴f?2?= . ? ? 2 13.(文)(2011· 山东淄博一模)设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1, f(2)= 2a-3 ,则 a 的取值范围是( a+1 ) B.a<-1 2 D.a≤ 3

2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 C.-1<a≤ 3 [答案] C

[解析] 函数 f(x)为奇函数,则 f(-1)=-f(1). 由 f(1)=-f(-1)≥1 得,f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3, 2a-3 2 则 f(-1)=f(2),由 ≤-1 解得,-1<a≤ . 3 a+1 (理)(2011· 新方一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增函数,则( )

A.f(-25)<f(11)<f(8 0) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) [答案] D [解析] ∵f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x), ∴f(x+8)=f(x),∴f(x)周期为 8.∴f(80)=f(0), 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-25)=f(-24-1)=f(-1), ∴f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), 由条件知 f(x)在[-2,2]上为增函数,

∴f(-1)<f(0)<f(1),∴f(-25)<f(80)<f(11). 1 14.(文)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 f(1)+ 2 f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________. [答案] 0 1 [解析] ∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 2 1 1 ∴f?2+x?=f?2-x?,对任意 x∈R 都成立, ? ? ? ? ∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x) =f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0 1 又 f(1)与 f(0)关于 x= 对称 2 ∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填 0. a-ex (理)若函数 f(x)= (a 为常数)在定义域上为奇函数,则实数 a 的值为________. 1+aex [答案] 1 或-1 a-e x aex-1 [解析] f(-x)= - = 1+ae x ex+a f(x)+f(-x) ?a-ex??a+ex?+?1+aex??aex-1? = ?1+aex??ex+a? = a2-e2x+a2e2x-1 =0 恒成立, ?1+aex??ex+a?


所以 a=1 或-1. 15.已知函数 f(x)=ex-e x(x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立?若存在,求出 t;若 不存在,请说明理由. [解析] (1)∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e x-ex=-f(x),∴f(x)为奇函数; 1 1 ∵f(x)=ex- x,而 y=ex 为增函数,y=- x为增函数,∴f(x)为增函数. e e (2)∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0,∴f(x2-t2)≥-f(x-t), ∵f(x)为奇函数,∴f(x2-t2)≥f(t-x), ∵f(x)为增函数,∴x2-t2≥t-x,∴t2+t≤x2+x.
- -

由条件知,t2+t≤x2+x 对任意实数 x 恒成立, 1 1 1 当 x∈R 时,x2+x=(x+ )2- ≥- . 2 4 4 1 1 1 ∴t2+t≤- ,∴(t+ )2≤0,∴t =- . 4 2 2 1 故存在 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切实数 x 都成立. 2 1-mx 16.(2010· 泉州模拟)已知函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1)是奇函数. x-1 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1,x∈(1, 3)时,f(x)的值域是(1,+∞),求 a 的值. [解析] (1)∵f(x)是奇函数,x=1 不在 f(x)的定义域内,∴x=-1 也不在函数定义域内, 令 1-m· (-1)=0 得 m=-1. (也可以由 f(-x)=-f(x)恒成立求 m) x+1 (2)由(1)得 f(x)=loga (a>0 且 a≠1), x-1 任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, x+1 x1+1 x2+1 令 t(x)= ,则 t(x1)= ,t(x2)= , x-1 x1-1 x2-1 ∴t(x1)-t(x2)= x1+1 x2+1 2?x2-x1? - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1?

∵x1>1,x2>1,x1<x2, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0. x1+1 x2+1 ∴t(x1)>t(x2),即 > , x1-1 x2-1 ∴当 a>1 时,loga 即 f(x1)>f(x2); x1+1 x2+1 当 0<a<1 时,loga <loga ,即 f(x1)<f(x2), x1-1 x2-1 ∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是 减函数,当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数. (3)∵a>1,∴f(x)在(1, 3)上是减函数, ∴当 x∈(1, 3)时,f(x)>f( 3)=loga(2+ 3), 由条件知,loga(2+ 3)=1,∴a=2+ 3. x1+1 x2+1 >loga , x1-1 x2-1

1.已知 g(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞ )内有 1005 个零点,则 f(x)的零点共 有( ) A.1005 个 C.2009 个 [答案] D [解析] ∵奇函数的图象关于原点对称,g(x)在(0,+∞)上与 x 轴有 1005 个交点,故在 (-∞,0)上也有 1005 个交点,又 f(0)=0,∴共有零点 2011 个. 2.(2010· 杭州模拟)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2) =0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] B [解析] ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,∴f(x)在(0,+∞)上为 增函数,由 f(x)<f(2) 得 f(|x|)<f(2),∴|x|<2,∴-2<x<2. 3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx 1 - C.f(x)= (ax+a x) 2 [答案] D 2-x 1 - [解析] y=sinx 与 y=ln 为奇函数,而 y= (ax+a x)为偶函数,y=-|x+1|是非奇 2 2+x 非偶函数.y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故选 D. 4.(2010· 安徽理,4)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3) -f(4)=( A.-1 C.-2 [答案] A [解析] f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1,故选 A. 2?x 5.定义两种运算:a?b= a2-b2,a⊕b=|a-b|,则函数 f(x)= ( ?x⊕2?-2 A.是偶函数 ) ) B.1 D.2 B.f(x)=-|x+1| 2-x D.f(x)=ln 2+x ) ) B.(-2,2) D.(2,+∞) B.1006 个 D.2011 个

B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B 4-x2 [解析] f(x)= , |x-2|-2 ∵x2≤4,∴-2≤x≤2, 又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2]. 则 f(x)= 4-x2 ,f(x)+f(-x)=0,故选 B. -x

6.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 g(1)=2, 则 f(2012)的值为( A.2 C.-2 [答案] A [解析] 由已知:g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)、f(x)分别为 R 上的奇、偶函数, ∴-g(x)=f(x+1),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),即 f(x)的 周期 T=4, ∴f(2012)=f(0)=g(1)=2,故选 A. ) B.0 D.± 2


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