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2014年全国高中数学青年教师展评课:导数的几何意义教学设计(广东佛山南海中学)

时间:2015-02-02


广东省佛山市南海区南海中学 谭琼珍

《导数的几何意义》教学设计
教 材: 人教 A 版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修 2-2 授课教师: 广东省佛山市南海区南海中学数学科组 谭琼珍 一、 教学内容解析
1、教材分析
《导数的几何意义》是人教 A 版选修 2-2 第一章《导数及其应用》§1.1.3 的内容,本 节课为第一

课时。 微积分学是人类思维的伟大成果之一,它开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量 和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一,有极其丰富的实际背景和广泛的 应用。导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课,是学生掌握了上位知识——平均变化 率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值, 体会逼近,以直代曲和数形结合的数学思想方法。同时,本节的学习也为下位知识——导数 的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。因此,导数的几何意义具有承前启后 的重要作用,是本章的关键内容。

2、教学重点与难点
教学重点:理解导数的几何意义及其应用。 教学难点:逼近思想,以直代曲的思想。

二、教学目标设置
(一)知识与技能: (1)会描述一般曲线的切线定义; (2) 会根据导数的几何意义求切线斜率, 并会用其分析描述 “曲线在某点附近的变化情况” 。 (二)过程与方法: (1)通过观察类比,合作探究,概括出一般曲线的切线定义; (2)经历发现导数的几何意义的过程,体会逼近、类比、数形结合的思想方法。 (三)情感态度与价值观: 领悟有限与无限,量变与质变的辩证关系,感受人类理性思维的作用。

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三、学生学情分析
从知识储备上看,学生通过了对实例的分析,经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解了导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,从数上体会了“逼近”的思 想;同时,学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。 从学习能力上看,教学对象是高二理科班的学生,思维活跃,具有一定的想象能力和研 究问题的能力。经过半年多的训练,学生逐步形成小组合作探究,代表上台解释概括总结的 学习模式。 从学习心理上看,学生已经从实际意义,数值意义这些“数”的角度理解了导数,学生 也渴求从几何意义,即“形”的角度来理解导数,但学生对切线认识存在一定的思维定势— —“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线” 。教师需创设问题情境,采用类比的方法, 引导学生在概念上上升一个层次,由割线的逼近来定义一般曲线的切线,从而突破教学难点: “逼近”思想。

四、教学策略分析
1、教法分析: “启发探究式”教学法,教学中遵循教师主导、学生主体、探究主线,教师更 多的是启发引导学生的思维。 2、学法指导: (1)自主学习 (2)合作学习 (3)探究学习 对于活动一:形成一般曲线的定义,我先创设问题情境,引起学生对切线问题的注意与 思考,接着引导学生开展观察——感知——类比——概括的活动。 对于活动二:发现导数的几何意义,我采用探究发现法教学。依据知识的发生发展过程
n ? 和学生的思维规律,我设计“问题串”以启发引导学生思考,将“过定点 P 的割线 ???

P ?P

在点 P 处的切线”由定性刻画上升为定量刻画,进而发现了导数 f '( x0 ) 的几何意义,同时, 设计以导数为支撑和联结点的知识网络图,构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。 整个过程注重学生的参与意识,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习,激发学生 勇于探索、勤于思考的精神。教学过程中,教给学生获取知识的途径,思考问题的方法,使 学生真正成为教学主体。 充分利用现代多媒体技术辅助教学,通过超级画板的动态演示,让学生充分体会逼近的 思想方法,这能使学生更好的理解导数的几何意义,从而突出重点,突破难点。

五、教学过程
教学流程图
情境引入 复习:导数的概念 活动一:形成一般曲线的切线定义 活动二:发现导数的几何意义和完善知识网络图

探索建构

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应用拓展

例 1:思维最近发展区内的学习任务,巩固导数的几何意义,生成以直代 曲的思想;例 2:加深导数几何意义的理解 画龙点睛:从知识、方法、思想三个方面进行总结,一图二义三思想

反馈升华

分层作业

A 组 感受 理解

B 组 思考 运用

时 间

教学内容
回忆:我们是怎样一步步 抽象出导数的概念的?

教师活动

学生活动
答:先学习平均变化率

设计意图


2 分 引 钟

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) , 令 ?x ?x ? 0 ,得到瞬时变化率 f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ,接 lim ?x ?0 ?x
讲授:前面我们以物理为背 景,从“数”的角度研究了 导数,现在我们想从“形” 途径来解读导数,即导数的 几何意义。 导数,在 17 世纪,起 源于两类问题:一、力学中 的速度问题,二、几何学中 的切线问题。今天,我们从 切线问题入手,开始学习。 着定义为导数 f ?( x0 ) 。 由旧知引出 问题,既复习 了旧知,又启 发学生思考, 引出本节课 课题。





7 形 分 钟 成

(1) 初中时,我们怎样定 义圆的切线和割线?

答:如果直线和圆有唯一公 共点,则这条直线叫做圆的 切线;若有两个交点,则这 条直线叫做圆的割线。



在学生思维 “最近发展 区”中提问, 先唤起学生 的回忆,然后 以问题引领 学生来到新

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(2)

图1

知识的生成 场景中。



l1 是否为曲线在点 A 处
l2 是否为曲线在点 B 处
的切线? 答:我觉得 l1 不是曲线在点 问题( 2 )的 设置不仅否 定了“从交点 个数来定义 切线”的这种 推广,而且引 发学生认知 冲突,极大地 激发了学生 的学习兴趣 和探究欲望。

线 的切线? 的 切

l2 是否为曲线在点 C 处

A 处的切线;对于 l2 ,我就
不敢确定。

线 的切线? 定 义
启发:以前的切线定义不适 用于一般曲线。我们能不能 换个角度来观察圆的割线 和切线?

图2 (3) 你 能 不 能 类 比 圆 的 启发 :学生用动态的眼光观 割线和切线的动态关系, 察圆的割线和切线; 寻求一般曲线的切线?

引导 :学生结合前面探究的 经验。 旧知: ①当 ?t ? 0 ,平均速度趋 近于确定的值,这个确定的 值就是瞬时速度。 ②当 ?x ? 0 ,平均变化率 趋近于确定的值,这个确定 的值就是瞬时变化率。

P 时,割线趋 答:当 P n ?
于确定的位置,这个确定位 置上的直线就是曲线在点 P 处的切线。

让学生在获 得直观感知 的基础上,通 过合作探索, 亲身经历一 般曲线切线 的发生发展 过程,上升理 性思维,形成 切线定义,从 而突破教学 难点: “逼近” 思想。

追问学生形成概念的思路。
P ?P

n ? 切线, 讲授:割线 ???

体现了逼近的思想,量变与 质变的辩证关系。

学生口答前面的问题(2)

使学生加深 对切线定义 的理解,消除 之前的认知 冲突。

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问:刚才从直观上感知了 “割线逼近切线”的变化过 程,进一步,如何用数量关 系来表示这种变化?

发 现
问:如何写出割线方程?

答:割线逼近切线,用代数 刻画就是研究割线方程和 切线方程的关系。

导 几何直观: 数 的 几 何 意
1 5 义 分 过定点 P 的割线 引导: 设点 P( x0 , y0 ) P , n ( xn , yn ) 又因为这两点都在曲线

答:由图可知,割线经过点

P 和点 P n ,只要设出这两
点的坐标就可以了。 学生经历由 定性刻画到 定量刻画的 过程,逐步学 会数学探究 的一般思想 方法,从而提 高学生的数 学思维能力

??? ?
在点 P 处的切线 代数刻画:

Pn ?P

f ( x)











P( x0 , f ( x0 )) , Pn ( xn , f ( xn ))
对应上节课的记法, xn 可以 用 x0 ? ?x 表示,所以

Pn ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) 。
问:有了点的坐标,接着如 何一步步写出割线方程和 切线方程呢? 下面请学习小组合作探究。 旧知: 经过点 P 0 ( x0 , y0 ) , 且斜率为 k 直线的点斜式 方程为 思考: 1 、如何写出割线 PP n方

答: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (充分讨论后,学生上台投 影并作出解释) 答:1、
y ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x ? x0 ) ?x



程?

2、过定点 P 的割线 PP n逼

现 2、过定点 P 的割线 PPn 导
逼近切线的过程中,割线

近切线的过程中,对应方程 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中 的值 ?x

以问题串的 形式启发引 导学生思考, 让学生经历 从已知到未 知,步步深入 的过程。

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数 PPn 方 程 的 哪 个 部 分 的 的 几 何
4、导数 值发生变化?变化的最 终结果是什么? 3、如何写出切线方程?

会发生变化; 当 P n ?P, 即 ?x ? 0 时,变化的最终 结果是
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f '( x0 ) ?x

3、切线方程就是

f ?( x0 ) 的几何意
追问:你是怎么得出切线方 程的?

y ? y0 ? f '( x0 )( x ? x0 )
答:根据点斜式,切线过点 P ,这
?x ?0

意 义

义是什么?

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f '( x0 ) ?x

追问:为什么它是切线的斜 率?

是切线的斜率。 答:因为在割线方程中,这 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( )部分 ?x 是割线斜率,根据割线逼近 切线,所以割线斜率逼近切 线斜率。 答: 4、 导数 请学习小组 的代表上台 投影展示讨 论结果,提高 学生的概括 能力和表达 能力。

f ?( x0 ) 的几何

意义是函数 f ( x ) 的图像在

讲授:导数 ★完善知识网络图

f ?( x0 ) 的几何

x ? x0 处切线的斜率。

意义是函数 f ( x ) 的图像在



x ? x0 处切线的斜率。
现 导
( k 是曲线在 x ? x0 处切线

k ? f ?( x0 )
以导数为支 撑和联结点, 引导学生从 不同的角度 对其加以认 识;同时,网 络化的知识 给联想提供 线索和桥梁。

数 的 几 何

的斜率) 问:目前,我们已经从物理 意义,数值意义,几何意义 三个方面理解了导数,你能 自主完善知识网络图吗?

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意 义

答:割线斜率,切线斜率

例 1、 如图,某质点做简谐运 动 , 其位移随时间变化的 关系式为 f (t ) ? sin t ( 1 ) 若 f '( ) ?

?



4

2 , 2

学生独立思考,完成例 1。

求 f (t ) 的 图 像 在 点
1 用 t ? ? 处的切线的斜 3 4 分 率; 钟 ( 2 ) 若 质 点 在 点



(


2? 3 , ) 处的瞬时速 3 2

自编了例 1, 是学生思维 最近发展区 内的学习任 务:以学生熟 悉的简谐运 动为背景,从 正反两个方 面让学生加 深对导数几 何意义的理 解。

度为 ?

1 ,求 f (t ) 的图 2
2? 3 , ) 处的切 3 2

像在点 (



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线的斜率和切线方程。 (3)若

f (t ) 的 图 像 在

t?

? 处的切线方程为 2

? y ? 1 ? 0 ,求 f '( ) ;
2
(4)请分别作出 图像在 t ?

f (t ) 的
, 2
处 培养同学们 数形结合的 能力;还为后 面引出“以直 代曲”的思想 做准备。

? 2? ?
4 , 3

的切线。观察图像,在切 点附近,你发现曲线和切 线的变化趋势有何关系 吗?

答:在切点附近,曲线和切 线的变化趋势是一致的。 问:这种一致性是直观的。 进一步,我们能不能用数量 关系来刻画这种一致性? 答:斜率 k 反映切线的升降









将图像放大, 引导学生观 变化情况, 导数 f '( x0 ) 反映 察分析,获取 直观感觉,再 函数在 x0 附近的变化情况, 从“数”方面 分析,培养学 而 k ? f '( x0 ) ,所以反映在 生严谨的数 图形上他们的升降变化情 学思维习惯。 况是一致的。





突出数形结 合的思想。

用关系图将 之间的关系 显现出来,学 生的思维更 加清晰。 讲授: 正由于 “数” 上的等, 解释了“形”上的一致性。

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讲授:正由于相等,所以在 P 点附近, 切线是最贴近曲 线的那条直线。 讲授:因此在点 P 附近,曲 线 f ( x) 可以用在点 P 处的 切线近似代替。我们把这种 思想称为“以直代曲”的思 想。 以前在算法中,刘徽的 割圆术用的就是“以直代 曲” , “逼近”的思想来计算 圆周率 ? 。在这里“以直代 曲”的作用是:若要分析曲 线在 x0 附近的变化情况, 只 有作出在 x0 处切线, 分析该 切线,得出 k ,即知道 从而知道曲线在该 f '( x0 ) , 点处升降变化情况。 例 2、如图,它表示跳水 运动中高度随时间变化 的函数 提供应用性 情境,促进知 识技能的迁 移。 学生用实物投影仪投影自 己“学习单”上答案并解释 从“形”到 “数” ,一步 步深入,最后 生成“以直代 曲”的思想, 让学生感受 到数学知识 的产生是水 到渠成的。

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
的图象。根据图像,请描 述 、 比 较 曲 线 h(t ) 在

t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以
及增(减)快慢的情况。

让学生会利 用导数的几 何意义解决 实际生活问 题,突出本节 课的教学重

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点。

课堂小结: 请说一说你这节课印象 最深的部分。

教师引导学生从知识、方 法、思想三个方面进行总 结。 讲授:本节课我们从不同的 角度解读了导数,通过类比 方法,学习了切线的定义和 导数的几何意义,体会了逼 近的思想和以直代曲的思 想,同时,数形结合的思想 贯穿始终。概括起来就是 “一图二义三思想” 。 一图:知识网络图 二义:1、切线定义

学生自由说出自己这节课 印象最深的一部分。 让学生自主 理清思路,进 一步实现自 我评价。



3 馈 分 钟



师生用“一图 二义三思想” 进行总结,朗 朗上口,方便 记忆。



2、导数几何意义 三思想:逼近的思想 以直代曲的思想 数形结合的思想

分层作业: A 组 感受 理解
1、 (1)求函数 y ? x 在 x0 ? 2 处的导数,并画出曲线 y ? x 在点 P (2, 4) 处切线。
2 2

(2)求函数 y ? ?2 x ? 1 在 x0 ? ?1处的导数,并画出曲线 y ? ?2 x ? 1 在点 P(?1,3) 处切线。 布置可选择 的作业集合, 以满足不同 学生的不同 需求。 2、理解探究导数 f '( x0 ) 的几何意义的过程。

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B 组 思考 运用
1、 《课》 P 8 练习, P11B 2 2、阅读?理解: 收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料。

板书 §1.1.3 导数的几何意义
一、切线的定义
n ? 切线 割线 ???

P( x0 , f ( x0 )) , Pn ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x))
割线 PP n 方程:

P ?P

(逼近思想) 二、导数的几何意义
f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?k ?x

投影屏 幕
(实际为第 2
和第 3 块黑板 的位置)

y ? f ( x0 ) ?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x ? x0 ) ?x

①平均变化率

(割线斜率)

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?x

1. f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

?x ? 0
②瞬时变化率
lim

k 为曲线在 x ? x0 处切线的斜率
2.“以直代曲”的思想

(切线斜率)

?x ?0

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x

六、说教后反思
1、注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现,总设法由学生自己得出,教师只是在 关键处加以引导,体现了教师主导、学生主体、探究主线的特色。 2、依据知识的发生发展过程和学生的思维规律,运用最近发展区的理念对教材进行二次 开发。体现在: ①创设问题情境,引导学生认识切线定义,由静态的发展为动态的; ②活动中,问题串的形式引导学生思考,最终得出导数的几何意义; ③自编了例题 1,而且通过对例题的深入研究,生成了“以直代曲”的思想。 3、注重思想方法的渗透,从而提高学生的数学思维能力。 4、设计以导数为支撑和联结点的知识网络图,构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。 5、特别发挥超级画板的直观性和触屏白板的易操作性,使重点得以突出,难点得以突破, 提高了课堂的效率。 同时,本节课也给我带来一个思考:

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教材中的一句话:“因此,在点 P 附近,曲线 f ( x ) 就可以用过点 P 的切线 PT 近似代 替。”这里用在点 P 的切线会不会更好呢?因为我们以后还要区分“在”某点的切线和“过” 某点的切线。

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