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2015年吉林市高三数学第一次调研测试理科答案


吉林市普通中学 2015—2016 学年度高中毕业班第一次调研测试 数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题: 1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 9 C 10 A 11 A 12 D

二、填空题: 13. 3 14.

1 8

15.

(0, ] 3<

br />1 1 ( ?8, ? ) ? ( ? , 4) 2 2

?

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 f ( x ) ? sin x cos(2? ? A) ? cos x sin(? ? A) ? a ,当 x ? [0, 小值之和为 2,求 a 的值. 解: (Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c cos A 及正弦定理得,

?
2

] 时, f ( x ) 的最大值与最

3 sin A sin C ? cos A cos C ? sin C ? 0 .
由于 sin C ? 0 ,所欲 sin( A ?

--------------------------------2 分

?
6

)?

1 ? .又 0 ? A ? ? ,故 A ? . --------------------------------5 分 2 3

(Ⅱ) f ( x ) ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

? a ? sin( x ?

?
3

)?a

----------------------------------------------7 分

x ?[ 0 , ] x,? ? 2 3 1? a ?

?

?

? 5?
[ 3

1 , ,所以 ] f ( x )大 ? 1? a , f ( x ? a -------------------------------9 分 小) ? 6 2
-----------------------------------------------10 分

1 1 ? a ? 2, a ? 2 4

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18. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16. (Ⅰ)当 n 为何值时, Sn 取得最大值; (Ⅱ)求 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 的值; (Ⅲ)求数列 {| an |} 的前 n ( n ? 9 , n ? N * )项和 Tn .
解: (Ⅰ)?等差数列

?an ?中, a1 ? 25, a4 ? 16. ?公差 d ? a4 ? a1
4 ?1

? ?3

? an ? ?3n ? 28,令 an ? ?3n ? 28 ? 0 ? n ? 9 ?当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 .?当 n ? 9 时, Sn 取得最大值;-----------------------------------------4 分
(Ⅱ)?数列 ?an ? 是等差数列,所以 a2 , a4 , a6 ,?, a20 也成等差数列

? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ?

10( a2 ? a20 ) ? 10a11 ? 10(25 ? 3 ? 10) ? ?50 2
------------------------------------------8 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)得,当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 . ? Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? (a10 ? a11 ? ? ? an ) ? 2S9 ? Sn

53 3 ? ? 3 ? 2(9 ? 25 ? 36 ? 3) ? ?25n ? n(n ? 1)? ? n 2 ? n ? 234 2 2 ? ? 2
19. (本小题满分 12 分) 设函数

--------------------------------------------------12 分

f ( x) ? a ln x ? bx2 (a, b ? R) .
1 ,求实数 a , b 的值; 2

(Ⅰ)若曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? (Ⅱ)若 b ? 1 ,求函数 f ( x ) 的最大值.
2 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? a ln x ? bx 的导数 f ?( x) =

a ? 2bx , x

又 f(1)=﹣b,曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y=﹣ , 所以 f'(1)=0, f(1)=﹣ ----------------------------------------------4 分 ---------------------------------------6 分 ,

即 a﹣2b=0,b= ?a=1,b= ,故实数 a,b 的值为 a=1,b= . (Ⅱ)因为 b=1,所以 f(x)=alnx﹣x (x>0) ,f'(x)=
2

①当 a≤0 时,因为 x>0,所以 f'(x)<0 即 f(x)在 x>0 是减函数,所以函数无最大值;-------8 分 ②当 a>0 时,f'(x)>0 得 ?﹣ ,但 x>0,所以增区间为(0, ) ,

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f'(x)<0 得

?x>

或 x<﹣

,但 x>0,所以减区间为(

,+∞) . -------------10 分

所以 f(x)在 x ?

a a a a a a 处取得极大值,且为 a ln ? ? ln ? . 2 2 2 2 2 2
a a a ln ? . 2 2 2 a a a ln ? .------------------------12 分 2 2 2

又 x>0 时极大值也为最大值,即最大值为

综上:a≤0 时,f(x)无最大值;a>0 时,f(x)的最大值为 20. (本小题满分 12 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 {bn } 满足

b1 ? a1 , b4 ? S3 .
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

1 1 1 ? Tn ? . ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明: 3 2 bn bn ?1

解(1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn ? 2an ? 1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 ,

an --------------------------------------3 分 ?2 an ?1 ∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,
∴ an ? 2an?1 ,即 ∴ an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 (2) cn ? ---------------------————--------- 5 分 -----------------------------------------6 分 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ) ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ------------------------ 10 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1? 1 ? 1 * ∵ n ? N ,∴ Tn ? ? 1 ? ---------------------------------------12 分 ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ?x,sin ?x), b

?

?

? ? b 的图象与直 ? ( 3cos ?x, ? cos ?x), 其中 ? ? 0 ,若 f ( x) ? a ?

线 y ? m( m ? 0) 相切,且切点横坐标成公差为 ? 的等差数列. (Ⅰ)求 ? 和 m 的值;

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(Ⅱ)在△ ABC 中,若 f ( 解: (Ⅰ)f(x)= ? = = cos
2

A 3 ,且 BC ? 4 ,求△ ABC 面积的最大值. )? 2 2
(1+cos2 ? x)﹣ sin2 ? x

? x﹣sin ? xcos ? x=
) ,

+cos(2 ? x+

----------------------------------------------------------------3 分 ;

若 f(x)图象与 y=m(m>0)相切,则 m 为 f(x)的最大值,即 m=1+ 又切点横坐标成公差为 π 的等差数列,所以函数周期为 ? , 所以 m=1+ ,? ? 1 ,则

2? ? ? ,? ? 1 2?

---------------------------------------------------------------6 分 +cos(A+ , )= ,即有 cos(A+ )=0,

(Ⅱ)在△ ABC 中,若 f( )= 由 A 为三角形的内角,则 A+
2

=
2 2

,即 A=

--------------------------------------------------------9 分

且 BC=4,由余弦定理可得 4 =b +c ﹣2bccosA, 2 2 即有 16=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc,即有 bc≤16,当且仅当 b=c 时取等号 -------------------------------------11 分 则△ ABC 面积 S= bcsinA= bc≤4 . . --------------------------------------------------12 分

当且仅当 b=c=4,三角形的面积取得最大值 4

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

( x ? 1)2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1 ;

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(Ⅲ)若存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ( x ) ? k ( x ? 1) 成立,求实数 k 的取值范围. 解(Ⅰ) f ?( x ) ?

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? (0, ??) x x
2

----------------------------------------------1 分

由 f ( x ) ? 0, 得 ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0

,0 ? x ?

1? 5 2
-----------------------------------------------3 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0,

1? 5 ) 2
1 ? x2 x

(Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 1), x ? (0, ??), g ?( x ) ?

当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [1, 上单调递减 +?) 所以当 x ? 1 时, g ( x ) ? g (1) ? 0, 即当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1

-------------------------------------------5 分 -----------------------------------------7 分

(Ⅲ)当 k ? 1 时,由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1 ,此时不存在 x0 ? 1 满足题意 --------8 分 当 k ? 1 时, x ? 1, f ( x) ? x ? 1 ? k ( x ? 1) , 此时不存在 x0 ? 1 满足题意 当 k ? 1 时,设 h( x ) ? f ( x ) ? k ( x ? 1), x ? 0 --------------------------9 分

h?( x ) ?

1 ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? x ?1? k ? x x

1 ? k ? (1 ? k )2 ? 4 1 ? k ? (1 ? k )2 ? 4 ? 0, x2 ? ?1 2 2 所以当 x ? ( 1, , h( x ) 在 [ 1, x2 时, ) h?( x )? 0所以 x2 内单调递增 ) ) 0f , x (? ) k x ? ( 1) 取 x0 ? x2 ,所以当 x ? ( 1, x0 时, ) h( x )? h( 1 ? 综上, k 的取值范围是 ( ??,1) --------------------------------------------------------------------12 分 h?( x) ? 0, ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? 0, x1 ?

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