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高考数学(文)常用公式


高考数学(文科)常用公式及重要基础知识记忆检查

高考数学(文科)常用公式 及重要基础知识记忆检查 目录
第一章 集合与常用逻辑用语????????????????2 第二章 函数???????????????????????3 第三章 倒数及其应用???????????????????7 第四章 三角函数?????????????????????8

第 五 章 平 面 向 量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 第 六 章 数 列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 第 七 章 不 等 式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 第 八 章 立 体 几 何 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 第 九 章 平 面 解 析 几 何 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 第 十 章 概 率 、 统 计 及 统 计 案 例 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 24 第 十 一 章 算 法 初 步 及 框 图 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 25 第 十 二 章 推 理 与 证 明 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 第 十 三 章 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 第 十 四 章 几 何 证 明 选 讲 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 第 十 五 章 坐 标 系 和 参 数 方 程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 第 十 六 章 不 等 式 选 讲 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27

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第一章
1. 集合的基本运算 ;

集 合 与 常 用 逻 辑 用 语



2. .集合的包含关系: ; ; 3. 识记重要结论: A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? A ? B ;

CU ? A ? B ? ? CU A ? CU B ; CU ? A ? B ? ? CU A ? CU B
2

4.对常用集合的元素的认识
2

? ? ② B ? ? x x ? x ? 6 ? 0? 中的元素是不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解, B 即不等式的解集; ③ C ? ? y y ? x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 5? 中的元素是函数 y ? x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 5 的函数值, C
① A ? x x ? 3x ? 4 ? 0 中的元素是方程 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解, A 即方程的解集;
2
2

2

即函数的值域;

2 ④ D ? x y ? log 2 x ? 2 x ? 1 中的元素是函数 y ? log 2 x ? 2 x ? 1 的定义域, D 即函数

?

?

2

??

?

?

的定义域; ⑤M ?

?? x, y ? y ? 2 x ? 3? 中的元素可 看成是关于 x, y 的方程的解 集,也可看成以方 程
n

y ? 2 x ? 3 的解为坐标的点, M 为点的集合,是一条直线。
5. 集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个;非
n n

空的真子集有 2 n –2 个. 6. 方程 f ( x) ? 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的 一个必要而不是充分条件. 特 别 地 , 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有 且 只 有 一 个 实 根 在 ( k1 , k 2 ) 内 , 等 价 于
2

f (k1 ) f (k 2 ) ? 0

,



f (k1 ) ? 0



k1 ? ?

b k1 ? k 2 ? 2a 2

,



f (k 2 ) ? 0



k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
7. 闭区间上的二次函数的最值问题: 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?
2

b 处及区间的两 2a

端点处取得,具体如下: (1) 当 a>0 时,

b ①若 x ? ? ? ? p, q? ,则有 2a b f ( x)min ? f (? ), f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a b ②若 x ? ? ? ? p, q? ,则有 2a f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? .
(2) 当 a<0 时, ①若 x ? ?

二次函数在闭区间 上必有最值,求最值 问题用“两看法” : 一看开口方向;二看 对称轴与所给区间 的相对位置关系。

b ? ? p, q? ,则有 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , 2a
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b ? ? p, q? ,则有 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a 8. a ? f ? x ? ? a ? ? ? f ? x ?? ? max ; a ? f ? x ? ? a ? ? ? f ? x ?? ? min
②若 x ? ? 9. 由不等导相等的有效方法 :若 a ? b 且 a ? b ,则 a ? b . .......... 10. 真值表 表1 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假 同真为真 同假为假 真假相对

11. 常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 12. 四种命题的相互关系 如右图所示 原命题 “ 若p则q ”

表2 反设词 原结论 不是 至少有一个 不都是 至多有一个 不大于 至少有 n 个 不小于 至多有 n 个 存在某 x , 不成立 p 或 q 存在某 x ,成立

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1)个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

互逆 互 为 逆 互 为 逆 互逆 否 否

逆命题 “ 若q则p ” 互 否 逆否命题 “ 若?q则?p ”

互 否 否命题 “ 若?p则?q ”

一个命题 13. 充要条件 一种形式 (1)若 p ? q ,则说 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件 两种方法 (2)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件. 另外:如果条件最终都可化为数字范围,则可转化为集合的包含关系来刻画,二者逻辑关 系一目了然。设 A ? x p ? x ? , B ? x q ? x ? ,①若 A?B ,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 B ? A ,则 q 是 p 的必要不充分条件;③若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件。

?

?

?

?

第 二 章
14. 函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么





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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数.
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?
⑶单调性性质: ①增函数+增函数=增函数;②减函数+减函数=减函数;③增函数-减函数=增函数;④减函数增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 15. 复合函数单调性的判断方法: ⑴如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数(增函数),则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是 减函数(增函数); ⑵ 对于复合函数y ? f [ g ( x)]的单调性,必须考虑y ? f (u )与

u ? g ( x)的单调性,从而得出y ? f [ g ( x)]的单调性。
y ? f ?u ? u ? g ? x?
y? f ? ? g ? x ?? ?

增函数 增函数 减函数 减函数

增函数 减函数 增函数 减函数

增函数 减函数 减函数 增函数

小结:同增异 减。研究函数 的单调性,定 义域优先考 虑,且复合函 数的单调区间 是它的定义域 的某个子区 间。

16.函数的奇偶性(注:奇偶函数大前提:定义域必须关于原点对称 ) ................... ⑴若 f ( x) 是偶函数,则 f ? x ? ? f ? ? x ? ? f

? x ? ;偶函数的图象关于

y 轴对称;偶函数在

x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间。 ⑵定义域含零的奇函数必过原点 (可用于求参数) ; 奇函数的图象关于原点对称; 奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间。 ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 或者

f ??x? f ? x?

? ?1 ? f ? x ? ? 0 ?

⑷奇偶函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴 对称,那么这个函数是偶函数. ⑸多项式函数 P( x) ? an x ? an ?1 x
n

? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 17. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 .) ? f (a? x ) ? f( a? x ) ? f ( 2a ? x) ? f ( x
18. 两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x) 的图象关于直线 y ? 0 (即 x 轴)对称. (3)指数函数 y ? a 和 y ? log a x 的图象关于直线 y=x 对称.
x

n ?1

19. 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.

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20. 互为反函数的两个函数的关系(指数函数 y ? a 和对数函数
x

?1 y ? log a x ? a ? 0, a ? 1? ) : f (a) ? b ? f (b) ? a .

21. 几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型 (1)正比例函数 f ( x) ? kx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? k . (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x) ? log a x ,

x f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y), f ( ) ? f ( x) ? f ( y ), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . y ' ? (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy ) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? . (5) 余 弦 函 数 f ( x) ? c o s x, 正 弦 函 数 g ( x) ? s i nx, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) , f (0) ? 1 .
22. 对于 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 , y ?
2

1

3

1 的图象,了解它们的变化情况. x
g?x? = x2 f?x? = x

2

如图:
1.5 1

h?x? = x3

q?x? =

x

0.5

r?x? =

1 x

3

2

1

O

11

2

3

4

0.5

1

1.5

23. 几个函数方程的周期 ? a ? 0 ?

2

⑴ y ? f ? x ? 对 x ? R 时, f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期为 a 的周期函数 ⑵ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? 或 f ? x ? 2a ? ? f ? x ? ? a ? 0 ? 恒成立,则 y ? f ? x ? 是周期为 2a 的周 期函数 ⑶若 y ? f ? x ? 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则是周期为 2 a 的周期函数 ⑷若 y ? f ? x ? 是奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则是周期为 4 a 的周期函数 ⑸ y ? f ? x ? 对 x ? R 时, f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,或 f ( x ? a) ? ? 的周期 2 a 的周期函数 24. 函数图像变换 向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

1 ( f ( x) ? 0) ,则 y ? f ? x ? f ( x)

y ? f ? x ? ? b 图象

向左(φ >0)或向右(φ <0)移︱φ ︱单位

y ? f ? x ? ? ? 图象
y = Af ? x ? 图象

y ? f ? x ? 图象

点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 点的横坐标变为原来的1/ω 倍 纵坐标不变

y = f(wx) 图象

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25. 分数指数幂 (1) a n ? n am( a ? 0, m, n ? N , 且 n ? 1) ;(2) a 26. 根式的性质
n (1)( n a ) ? a ; (2) 当 n 为奇数时, a ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?

m

?

?

m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N , 且 n ? 1) .

?

n

n

n

n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

27. 有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r s r r r ?s r

(a ? 0, r , s ? R) ;(2) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? R) ;

(3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R) . 28. 指数式与对数式的互化式

log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
29. 对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a n n 推论 log am b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
30. 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;(2) log a (3) log a M ? n log a M (n ? R) ;
n

M ? log a M ? log a N ; N

31. 对数有关性质: ⑴ log a b 的符号有口诀“同正异负”记忆;⑵ log a a ? 1 ;⑶ log a 1 ? 0 ; ⑷对数恒等式: a
m
log a N

? N ? a ? 0, a ? 1, N ? 0 ?
2

⑸ log a b ? m ? log a b ;
2 ⑹设函数 f ( x) ? log m (ax ? bx ? c)( a ? 0) , 记 ? ? b ? 4ac . 若 f ( x) 的定义域为 R , 则

a ? 0 ,且 ? ? 0 ; 若 f ( x) 的值域为 R , 则 a ? 0 ,且 ? ? 0 . 对于 a ? 0 的情形 ,需要单独检
验.; 32. 对数函数

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1? 的图像和性质分析:
a 的符号
a ?1
y

0 ? a ?1
y
1

图像
o

x

o 1

1 x

定义域 值域 单调性 过定点 函数值的分布情况 在(0,+∞)上是增函数

? 0, ?? ?

? ??, ?? ?

在(0,+∞)上是减函数

?1, 0 ?

0 ? x ? 1 时, y ? 0 ; x ? 1 时, y ? 0

0 ? x ? 1 时, y ? 0 ; x ? 1时 , y ? 0

⑹指数函数 y ? a

x

? a ? 0, a ? 1? 的图像和性质分析:
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a 的符号
y 图像 1

a ?1

0 ? a ?1
y 1 x

o
定义域 值域 单调性 过定点 函数值的分布 情况 在 ? ??, ?? ? 上是增函数

o
? ??, ?? ?
? 0, ?? ?

x

1

1

在 ? ??, ?? ? 上是减函数

? 0,1?

x ? 0 时, y ? 1; x ? 0 时, 0 ? y ? 1

x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ; x ? 0 时, y ? 1

33. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有

y ? N(1? p)x .

第 三 章
34.导数的定义: f ( x) 在 x0 处的导数记作

导 数 及 其 应 用

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ? x ? 0 ?x ?x dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 35. ⑴ f ( x) 在 (a, b) 的导数概念:f ?( x) ? y? ? . ? ? lim ? lim ? x ? 0 ? x ? 0 dx dx ?x ?x 1 2 ⑵能根据导数概念求函数 . ..........y ? C ( C 为常数), y ? x , y ? , y ? x , y ? x 的导数 ... x f ?( x0 ) ? y?
x ? x0

? lim

?x ?0

36. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 : .... 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 37. 几种常见函数的导数 (1) C? ? 0 (C 为常数) ; (2) ( x ) ? nx
n '

( n ? Q) ; (3) (sin x)? ? cos x ; (4) (cos x)? ? ? sin x ; 1 1 e x (5) (ln x)? ? ; (log a )? ? log a ; x x x x (6) (e )? ? e .
38. 导数的运算法则

n ?1

法则 1 : [u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x) ;
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法则 2 : [u( x)v( x)]? ? u ?( x)v( x) ? u( x)v?( x) ;

? ? u ( x) ? u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) 法则 3 : ? ? (v( x) ? 0). ? v 2 ( x) ? v( x) ? 39. 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, 左正右负 (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; 极大值 (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 左负右正
极小值

第 四 章

三 角 函 数

40. ⑴终边相同的角的集合: ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ;

?

?

180 ? ⑵角度与弧度的换算: 180 ? ? rad ,1 ? ? rad ? ,1 rad ? ? ? ? ; 180 ? ? ? 1 1 2 ⑶弧长与扇形的面积公式:弧长 l ? ? ? r ,扇形面积 S ? lr ? ? ? r . 2 2
? ?

?

?

⑷常见恒成立的三角不等式(给定范围条件下)

) ,则 sin x ? x ? tan x ;②若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 ; 2 2 ③ | sin x | ? | cos x |? 1 .
①若 x ? (0, 41. 常用三角函数不等式及相关等式的解集: ⑴不含绝对值情况: ① sin x ? cos x 的 x 集合是
y 45° 角终边

?

?

3? ? ? ? ? 2 k? , k ? Z ? ; x ? x ? 2k? ? x ? O 4 ? 4 ? 225° 角终边 ② sin x ? cos x 的 x 集合是 ? ? ? 半个月亮爬上来 ? x x ? ? k? , k ? Z ? ; 4 ? ? 3? ? ? ? ③ sin x ? cos x 的 x 集合是 ? x ? ? 2k? ? x ? ? 2k ? , k ? Z ? 。 4 4 ? ? ⑵含绝对值情况:① sin x ? cos x 的 x 集合是 3? ? ? ? ? k? , k ? Z ? ; ? x ? k? ? x ? 4 ? 4 ? ② sin x ? cos x 的 x 集合是
y 135° 角终边 O

45° 角终边 x

? 3? ? ? 所谓伊人 ? k? , k ? Z ? ; ? x x ? ? k? , or x ? 4 4 ? ? ? ? ? ? ③ sin x ? cos x 的 x 集合是 ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? 。 4 4 ? ?

在水一方

42. ⑴对于“ sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? ”这三个式子,已知其中一个式子的值,

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可以求出其余二式的值。 ⑵三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限,看左边,写右边” 形似角中的角 ? 不论多大,都看作锐角;形似角在原名称、原象限中的符号;

180 0 ? ? 180 0 - ? ) 90 0 ? ? 90 0 ? ? 270 0 ? ? 270 0 ? ? 360 0 ? ? 360 0 ? ? ??

2 ? 90 0 ? ? 2 ? 90 0 - ? ) 1? 90 0 ? ? 1? 90 0 ? ? 3 ? 90 0 ? ? 3 ? 90 0 ? ? 4 ? 90 0 ? ? 4 ? 90 0 ? ? 0 ? 90 0 ? ?

sin(180 0 ? ? ) ? ? sin? , sin(180 0 - ? ) ? sin ? , sin(90 0 ? ? ) ? cos? , sin(90 0 ? ? ) ? cos? , sin(270 0 ? ? ) ? sin(270 0 ? ? ) ? ? cos?, sin(360 0 ? ? ) ? sin ? , sin(360 0 ? ? ) ? ? sin? , sin(?? ) ?
2

? cos? ,

注意:总共两套 诱导公式(一套 是函数名不变; 另一套是函数名 必须改变) ; 对于 余弦函数和正切 函数的诱导公式 规律记忆同正弦 函数。

? sin?
2

,

43. ⑴同角三角函数的基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =

sin? cos?

推论: cos 2 ? ?
c os ? ? ?

1 1 ? tan 2 ? ? ?1 ; 2 1 ? tan ? cos 2 ?

1 1 , tan ? ? ? ? 1 (正负号取决于 ? 所在的象限) 2 1 ? tan ? cos 2 ?

⑵和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? ; tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (正弦平方差公式);
cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? (余弦平方差公式);

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决 定 , 其 中 b a si n? ? , cos ?? ). 2 2 2 a ?b a ?b 2
⑶二倍角公式:

sin 2? ? sin ? cos? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ; 1 ? tan 2 ? 2 tan ? 2 tan ? cos 2 ? ? 万能公式 : ; ; sin 2? ? tan 2 ? ? 2 2 .... 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
⑷半角公式(降幂公式) :

1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? 2 ? ; sin ; tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ② tan ? ? 2 1 ? cos ? sin ?
① cos
2

?

?

44. 三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

2?

?



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函数 y ? tan( ? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A, ω , ? 为常数,且 A ≠ 0 , ω > 0) 的周期

T?

? . ?

45. ①类正弦函数 y = Asin(wx+? ) 的图像的变换(两种办法殊途同归) 作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间)的图像 沿 x 轴平移|φ | 个单位(左加右减) 得 y=sin(x+φ )的图像 横坐标伸长或缩 短到原来的 ? 倍 得 y=sin(ω x+φ )的图像 纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍
1

横坐标伸长或 缩短到原来的 ? 倍 得 y=sinω x 的图像 沿 x 轴平移 | ..

1

? |个单位(左加右减) ? ...

得 y=sin(ω x+φ )的图像 纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍

得 y = Asin(wx+? ) 的图象, 先 在一个周期闭 区间 上再扩充到R 上。 ②类正弦函数 y = Asin(wx+ ? ) ? b ? A ? 0 ? 的参数计算:振幅 A ?

b?

再根据给定 ? 的范围进而分析得到 ? 值。 46. 正弦函数和余弦函数的图像和性质 函数

ymax ? ymin ,求 ? 时,一般代入最高点或者最低点的坐标后,利用已知三角函数值求角, 2

ymax ? ymin 2? ,? ? , 2 T

y = sinx
y=sinx
y
1

y = cos x
y=cosx
y
1

图像
-2π -3π/2 -π

-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2 2π

x

-2π -3π/2



- π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

定义 域 值域

R
? ?1,1?

最值

? 2k? , k ? Z 时, ymax ? 1 2 ? x ? ? ? 2k? , k ? Z 时, ymin ? ?1 2 x?
? ? ? ? x ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 时,增函数 2 ? 2 ?
3? ?? ? x ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 时,减函数 2 ?2 ?

?

x ? 2k? , k ? Z 时, ymax ? 1
x ? ? 2k ? 1? ? , k ? Z 时, ymin ? ?1
x?? ? 2k? , ? 2k ? 1? ? ? ? ? k ? Z ? 时,减函数
x?? ?? 2k ? 1? ? , 2k? , ? ? ? k ? Z ? 时,增函数

单调 性 奇偶 性 周期 性

奇函数 最小正周期为 2?

偶函数

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对称 性

对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2

对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心: (

对称中心: (k? , 0) k ? Z

?
2

? k? , 0) k ? Z

47. 正切函数的图像和性质 函数

y ? tan x
f?x? = tan?x?
2.5

y

2

1.5

1

图像

3?π 2

π = –4.71
4 3 2

0.5

2

= –1.57
1

π 2

= 1.57
2 3

3?π 2
4

= 4.71

O
0.5

1

x

1

1.5

2

2.5

定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性 48. ⑴正弦定理:

x?

?
2

? k? ? k ? Z ?
R

? ? ? ? x ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 时,增函数 2 ? 2 ?

奇函数 最小正周期为 ? 对称中心: (

k? , 0) k ? Z 2

a b c 。 ). ? ? ? 2 R .(R 为 ?ABC 外接圆的半径,也是外接圆半径的一种算法 ............ sin A sin B sin C
? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C a b c sin A sin C sin B ① ,c ? a? ,b ? c? 等; 等 ? ? ? 2R ? a ? b ? sin A sin B sin C sin B sin A sin C 号 两 a b c a c ② ? ? ? 2 R ? sin A ? sin B ? , sin C ? sin A ? , 边 sin A sin B sin C b a b sin B ? sin C ? 等; c
⑵余弦定理:

地 位 相 同

b2 ? c 2 ? a 2 ; 2bc a 2 ? c 2 ? b2 ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ? cos B ? 2ac a 2 ? b2 ? c2 . c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? cos C ? 2ab
a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? cos A ?
⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴;解题时注意一种重要关系: 在 ?ABC 中 , 给 定 角 A、B 的 正 弦 或 余 弦 值 , 则 角 C 的 正 弦 或 余 弦 有 解 ( 即 存 在 )

? cos A ? cos B ? 0

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49. 三角形内角和定理:在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) ? ? 2 2 2

50. 面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 ⑵ S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 2 2 2 ⑶ S?ABC ? 2 R sin A sin B ? 2 R sin A sin C ? 2 R sin C sin B ( 其中 R 为 ?ABC 的外接圆
⑴S ? 的半径) ⑷ S?ABC ? ⑸ S?ABC ?

abc (R 为 ?ABC 外接圆的半径,也是外接圆半径的一种算法 。 ) ............ 4R 1 ? r ? ? a ? b ? c ? (其中 r 为 ?ABC 的内切圆的半径,也能导出内切圆半径的一种算 ............. 2

法 。顺便说下,直角三角形中内切圆的半径 . ............r ? 边。) ⑹ S?ABC ? ⑺ S?OAB

a?b?c ,其中 a、b 为两条直角边, c 为斜 2

1 a?b?c ,海伦公式) p ? ? p ? a ? ? ? p ? b ? ? ? p ? c ? (其中 p ? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 的三角形的 ? (| OA | ? | OB |)2 ? (OA ? OB)2 (注意:此时以坐标原点为一个顶点 ......... 2 1 x1 y2 ? x2 y1 2

面积公式) ;设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 S?AOB ?



五 章

平 面

向 量

51. 向量的加减法的代数结构: ⑴ AB ? AB ? AB

??? ? ??? ?

??? ?

尾首接 首尾联

⑵ OB ? OA ? AB

??? ? ??? ?

??? ?

首 首 接 尾尾 联 指向被减向量

52. 平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只 有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. (不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底. ) 53. 向量平行与垂直的坐标表示:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 , 则 a ∥ b ( b ? 0 ) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; a ? b ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 54. a 与 b 的数量积(或内积):a·b=|a||b|cosθ .其几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 55. 平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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(3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ; (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) ; (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 56. 两向量的夹角公式: cos ? ? (a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). 2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 57. 平面两点间的距离公式: d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) (A ( x1 , y1 ) ,
2 1

??? ?

??? ? ??? ?

x1 x2 ? y1 y2

B ( x2 , y2 ) ). 58. ①线段的定比分公式: 设P 1 P ? ? PP 2 ,则 1 2 的分点, ? 是实数,且 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP

??? ?

????

x1 ? ? x2 ???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? OP ? ? OP 1 1? ? 1 2 ). ? OP ? ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1? ? ②中点的向量形式 :平面内,设线段 AB 的中点为 C , O 为直线 AB 外任意一点,则有 ....... ??? ? ??? ? ???? OA ? OB OC ? ; 2 x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 设此时 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则中点 :? ..C ? x, y ? 的坐标公式 ..... ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x? ? ? ? ?y ? ? ?
59. 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ), 则△ABC 的重心的坐标是 G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

60. 三角形四“心”向量形式的充要条件 .... 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

??? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .

第 六 章
61. ⑴自然数和公式: ① 1 ? 2 ? ??? ? n ?
2 2





n ? n ? 1?

② 1 ? 2 ? ??? ? n ?
2

2 n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6





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③ 1 ? 2 ? ??? ? n ?
3 3 3

n 2 ? n ? 1? 4

2

⑵常见的拆项公式: ① ②

1 1 1 ? ? ; n ? n ? 1? n n ? 1
1? 1 1 ? ? ? ? ; ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1

? 1 1? 1 1 ? ? ? ?; n ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1 1 ④ ? a ? b ;⑤ an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ? . a ? b a ?b


?

?

⑶数列的通项公式与前 n 项的和的关系 ① an ? ?

n ?1 ? s1 , ? sn ? sn ?1 , n ? 2
(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

② Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 2) ③ Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

62. ⑴ 等差数列的通项公式: ①一般式: an ? a1 ? (n ? 1) ? d (n ? N ) ;
*

②推广形式: an ? am ? (n ? m)d ; d ?

an ? am n?m

③前 n 项和形式 an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用)其前 n 项和公式为:

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

⑵ 数列? an ? 为等差数列? an ? an ?1 ? d ( d 为常数)

? 2an =an ?1 ? an ?1 ? n ? 2, n ? N *? ? an ? an ? b ? An 2 ? Bn
⑶ 常用性质: ① 若 m+n=p+q , 则 有 am ? an ? a p ? aq ; 特 别 地 : 若 am是an , a p 的 等 差 中 项 , 则 有 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成等差数列; ②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6, a7 ? a8 ? a9 ,

? ? ? )仍是等差数列;
③ ? an ? 为等差数列, S n 为其前 项和 ,则 Sm , S2 m ? Sm , S3 m ? S . . .也成等差 2 m , S 4 m ? S3 m , .n . .. 数列; ④ a p ? q, aq ? p, 则a p ? q ? 0 ;

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⑤1+2+3+?+n=

n(n ? 1) 2
a1 n ? q (n ? N * ) ; q
n?m

63. 等比数列的通项公式: ⑴ ①一般形式: an ? a1q n ?1 ?

②推广形式: an ? am ? q

n?m

,q ?

an am

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? ③其前 n 项的和公式为: sn ? ? 1 ? q ,或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1 ⑵数列? an ? 为等比数列

?

an ?1 ? q ? q ? 0 ? ? an 2 ? an ?1 ? an ?1 ? 0 ? n ? 2, n ? N ? ? ? an ? a1 ? q n ?1 an

? a1、q ? 0,n ? N * ? ? Sn ? A ? q n ? B
⑶ 常用性质: ① 若 m+n=p+q , 则 有 am ? an ? a p ? aq ; 特 别 地 : 若 am是an , a p 的 等 比 中 项 , 则 有

am 2 ? an ? a p ? n、m、p 成等比数列;
② 等比数列的 “间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6, a7 ? a8 ? a9 ,

? ? ? )仍是等比数列;
③ ? an ? 为等比数列, S n 为其前 n 项和,则 Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m , S4 m ? S3m , . . .也成等比 数列(仅当当 q ? ?1 或者 q ? ?1 且 m 不是偶数时候成立) ; ④设等比数列 {bn } 的前 为 Tn ,则 Tk , .n 项积 ..

T2 k T3k T4 k , , 成等比数列. Tk T2 k T3k

第 七 章
64. 常用不等式:







⑴ a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号);
2 2

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⑵ a, b ? R ?

?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号);⑶ a ? b ? a ? b ? a ? b . 2

65. 极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; “一定二正三相等”

1 2 s . 4 2 2 推广形式 :已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y ) ? 2 xy ....
(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值

积定和最小 和定积最大

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大;当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小;当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 66. ① 一 元 二 次 不 等 式 a x ? b x ? c?0 ( 或 ?0 )(a ? 0 ,? ?b
2 2

? 4a c ? 0, ) 如果 a 与

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.
简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
例如: ? x ? 3?

对于 a ? 0 的情形“大射 线小线 段” .. ..

②简单的高次不等式的解法:数轴标根法(穿针引线法) 。注意重因式的处理,奇次重根一次 穿过,偶次重根穿而不过。

? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 5 ? ? 0 ,如图 从图中易知解集为 ? ??, ? 3? ? ? ?3, ?1? ? ?1,5?
2 3

-3

-

1 -1
2

-

5

③一元二次方程的根的分布情况:设 x1 , x2 是实系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的两个 实根,则 x1 , x2 的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示: 根的分布 图像
18 16 14 12 10

充要条件
f(k)

x1 ? x2 ? k
6 4 2

8

6

4

2

x1 O
2 4

2

x2

4

6

8

x=-b/2a
6 8

10

12

? ? ? 0, ? f ? k ? ? 0, ? ? ? ? ?? b ? k ? ? 2a
? ? ? 0, ? ? ? ? f ? k ? ? 0, ? ?? b ? k ? ? 2a

67. 含有绝对值的不等式,当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

16

14

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a x ? ?a
大射 线 .. . 小线段 ...



k ? x1 ? x2
6 4

f(k)

12

10

8

6

4

2

2

k O

2

x1

2

4

x2

6

8

4

6

8

x=-b/2a

10

12

16

14

x1 ? k ? x2
12 10 8 6
14

x = -b/2a x1 k
4

12

10

8

6

x2
2

4

2

f(k)

O

2

f ?k ? ? 0
?? ? 0, ? f ? k1 ? ? 0, ? ? ? f ? k2 ? ? 0, ? ?k ? ? b ? k 1 2 ? 2a ?

68. (1 )理解绝对值的几何意义, 并了解下列不等式成立的几何意义 及取等号的条件:

2

4

6

8

10

12

x1 , x2 ? ? k1 , k2 ?
2

12

10

x = -b/2a f(k1) k1
2

8

f(k2) k2

6

4

2

O

2

x1

4

x2

6

8

10

| a ? b |?| a | ? | b | , a, b ? R ; | a ? b |?| a ? c | ? | c ? b | , a, b ? R .
( 2)会利用绝对值的几何意义求解 以下类型的不等式:

f ? k1 ? ? f ? k2 ? ? 0
10 8

x1、x2 有

或 ? f ? k ? ? 0,
1

6

? k1 , k2 ? 内

且只有一 个在

4

? ? b k1 ? k 2 ? ? k1 ? ? 2a 2 ?

k1
10 8 6 4 2

2

k2
2 4 6 8 10 12 14


? f ? k 2 ? ? 0, ? ? k1 ? k2 b ?? ? k2 ? 2a ? 2

O

2

4

| ax ? b |? c



| ax ? b |? c



6

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| x ? c | ? | x ? b |? a .
69. 无理不等式 (1)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ; ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x)]2 ?

(2)

(3)

70. 指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? 0 ? . ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x ) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

第 八 章
71. 常用公理和定理

立 体 几 何

公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 定理:①空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. ③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. ④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直. ⑤一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.

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⑥一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行. ⑦两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. ⑧垂直于同一个平面的两条直线平行. ⑨两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 72. 三余弦定理(最小角定理:立平斜公式) 设 AB 与平面α 所成的角为 ? 1 ,AC 是α 内的任一 条直线,且 AC 与 AB 的射影 AB 所成的角 / 为 ? 2 ,AB 与 AC 所成的角为 ? .则
/

B

A C

B'

cos? ? cos?1 cos? 2 .如右图⑴。

图⑴
B

73. 空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,

??? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 则 d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) .

S' 74. 面积射影定理: S ? .(平面多边形及其射影的面积 cos? ' 分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ).如图⑵。

B' A

75. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
2 2 2

C

图⑵

?、?、? ,因此有 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所
2 。 成的角分别为?、? 、 (线线面 12) ? ,则有 cos ? ?cos ? ?cos ? ? 76. 棱锥的平行截面的性质: 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. )若每个顶点引出的棱数为 m ,则:. 77. 球
2 2 2

4 3 ? R ,其表面积 S ? 4? R2 ; 3 ②球的半径(R) ,截面圆半径( r ) ,球心到截面的距离为( d )构成直角三角形,因而有关
①球的半径是 R,则其体积 V ? 系: r ? R ? d ,它们是计算球的关键所在。 78. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
2 2

(3) 球与正四面体的组合体 : 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 径为

6 a ,外接球的半 12

6 a. 4

79. 柱体、锥体的体积

1 1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高); V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 3 3
80. 空间向量的直角坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则

h 是锥体的高).

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ; a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ; a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ;

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? ? x y z a ∥ b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 ? ? ? R ? ,或 1 ? 1 ? 1 ; x2 y2 z2 ? ? a ⊥ b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 ? ? 81. 二面角 ? ? l ? ? 的平面角计算(夹角)公式:设 a, b 为平面 ? , ? 的法向量。通常情况 ? ? ? ? x1x2 ? y1y2 ?z1z2 ,b ? 下,若已知 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 cos a 2 2 2 2 x1 ? y12 ? z ?y ?2 z2 1 ? x 2 2
82. 空 间 两 点 的 距 离 公 式 : 设

A ? ? x1 , y1 , z1 ? , B ? ? x2 , y2 , z2 ? , 则

d A、B ?

? x1 ? x ?2 ? ? y
2

?y 1

? ?? 2z
2

?z

? 1.

2 2

83. 高中数学角的范围: ① 向量夹角:[0°,180°]; ③ 直线的倾斜角:[0°,180°); ③ 共面直线的夹角:[0°,90°]; ④ 直线和平面夹角:[0°,90°]; ⑤ 异面直线夹角:(0°,90°]; ⑥ 二面角:[0°,180°]。

第 九 章
84. 斜率公式 ①k ?

平 面 解 析 几 何

② 曲 线 y ? f? x ? 在 点 P0 ? x0, y? 0 处 的 切 线 的 斜 率 k ? f

y2 ? y1 ?? ? (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ) ? tan ? ? ? ? ?. x2 ? x1 2? ?

/

? x0 ?

,切线方程:

y ? f / ? x0 ?? x ? x0 ? ? y0 .
③直线 y ? kx ? b 的一个方向向量为 ?1, k ? 85. 直线的五种方程﹙一般两点斜截距 ﹚ ....... (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 86. 两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

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A1 B1 C1 ;② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; ? ? A2 B2 C2 (3)直线 l : Ax ? By ? C ? 0 中,若 A ? 0, B ? 0 , 有谁垂(吹)谁 则 l 垂直于 y 轴;若 A ? 0, B ? 0 ,则 l 垂直于 x 轴。
① l1 || l2 ? 87.四种常用直线系(具有共同特征的一族直线)方程 (1) 定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( 除直线

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P0 ( x0 , y0 )的 直 线 系 方 程 为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系 方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变 量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠ 0,B ≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
88. 点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 89. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 (或 ? 0 )所表示的平面区域是: 若 C ? 0 ,则用原点 O ? 0, 0 ? 试,结果适合不等式,表示原点所在的平面区域就是。否则, 边界的另一区域才是; 90. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ;
2 2 2 2 2

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

若 C ? 0 ,则用点 ?1, 0 ? 或者 ? 0,1? 试,方法同上。

是 0, (0,1) 、 (1,0)试 非 0, (0、0)试

(2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0). (3)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). 91. 点与圆的位置关系 点

P( x0 , y0 ) 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 若

d ? (a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 , 则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在
圆内. 92. 直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

① d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; ② d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; ③ d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .其中 d ? 93. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d ① d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; ② d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ③ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ;

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

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④ d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; ⑤ 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 . 94. 圆 的 切 线 方 程 : 已 知 圆 x ? y ? r . 过 圆 上 的 P 0 ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 为
2 2 2

x0 x ? y0 y ? r 2 ;
95. 椭圆

a 2a ?| F1 F2 |? 0) ①椭圆定义: MF1 ? MF2 ? 2( ;
2 2 2 2 ② F1 B1 ? OF1 ? OB1 (即 c ? b ? a ,注意 Rt ?F1OB1 ) ; 2 2

③设 P 是椭圆上任意一点, 且 ?F1 PF2 ? ? , 则有 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 cos ? ? ? 2c ? .
2 2 2

④下表是椭圆的标准方程及几何性质。 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
B1 y

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2
y
F1

图形

x
A1
F1

O
B2
1

F2

A2 x
1

O
F2

B1

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距

|x|≤a,|y|≤b

|x|≤b,|y|≤a
0 ?、 ? a? ? ?b, ? 0, ? c? ? 0,

0? ? 0, ?b ?、 ? ?a, 0? ? ?c,

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

长半轴椭长为 a ,短半轴长为 b 焦距为 2c

a、b、c
关系 离心率

a 2 ? b2 ? c 2

e?

c a

2 ? ? b ?2 b? ? ? ? ? 1 ? e2 or e ? 1 ? ? ? ? ?? a ? ?a? ?

? ? ? ?

⑴椭圆

x2 y 2 a2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) PF ? e ( x ? ) PF ? e ( ? x) ; 焦半径公式: , 1 2 a 2 b2 c c

⑵椭圆的的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ? 1; 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ? 1; ②点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2 x2 y 2 2 2 2 2 2 ⑶椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b

①点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

96. 双曲线 ①双曲线定义:

MF1 | - | MF2 = 2a ? 0 < 2a <| F1 F2 |? ;

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② A1O ? OB1 ? A1 B1 (即 c 2 ? b2 ? a 2 ,注意 Rt ?A1OB1 ,其中 A1、B1 为同一象限内的 实顶点、虚顶点, O 为坐标原点) ; ③ 设 M 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 且

2

2

2

?F1MF2 ? ?

, 则 有

MF1 ? MF2 ? 2 MF1 ? MF2 cos ? ? ? 2c ? .
2 2 2

④下表是其标准方程及几何意义。 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a、b ? 0) a 2 b2 y
M

y 2 x2 ? ? 1(a、b ? 0) a 2 b2
y
M F2

图形
F1 o F2

x
F1

x

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距

x ? a 或者 x ? ?a

y ? a 或者 y ? ?a

0? ? ?a, 0? ? ?c,

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

? a? ? 0, ? c? ? 0,

实半轴椭长为 a ,虚半轴长为 b 焦距为 2c

a、b、c 关系
离心率 渐近线

a 2 ? c 2 ? b2
e? c a b x a
2 ? ? b ?2 b? ? ? ? ? e2 ? 1 or e ? 1 ? ? ? ? ?? a ? ?a? ?

? ? ? ?

y??

y??

a x b

⑴ 双曲线

x2 y 2 a2 a2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) PF ? | e ( x ? ) | PF ? | e ( ? x) | ; 的焦半径公式: , 1 2 a 2 b2 c c

⑵ 双曲线的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 ①点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 ; a b a b 2 2 2 2 x y0 x y ? ?1; ②点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2 x2 y 2 2 2 2 2 2 ⑶ 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b

97. 抛物线

⑴抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的焦点弦(过焦点的弦)为 ...........AB , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有如下
2

结论: ① 焦半径公式: AF ? x1 ?

p ; 2

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p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p ; 2 2 2 p 2 ③ y1 y2 ? ? p , x1 x2 ? . 4
② 焦点弦长 AB ? x1 ? ⑵抛物线的内外部: ① 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) ;
2

2

②点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) ;
2

2

2 ⑶抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 上的动点可设为 P (

y? , y ? ) ,可简化计算。 2p

2

⑷ 抛物线的切线方程: ① 抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) ;
2

②抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC . 98. 抛物线:平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图 形
2 2

方程

焦点

准线

图形 y

y 2 ? 2 px

? p ? 0?

?p ? F ? ,0? ?2 ?

x??

p 2

x O F

四大方程四条 ...... 规律 : .. ⑴一次项是 谁,焦点在谁 轴上; ⑵一次项系数 的正负,代表 开口方向的上 下或右左; ⑶焦点坐标一 个是 0, 另一非 0,且刚好是 一次项系数的

y 2 ? ?2 px ? p ? 0 ?

F ? p ? ? ? ,0? ? 2 ?

y

x?

p 2

F O x

y
x 2 ? 2 py

? p ? 0?

? p? F ? 0, ? ? 2?

p y?? 2

F O x

1 ; 4
⑷准线方程的 数值刚好是焦 点的非 0 坐标 的相反数。

x 2 ? ?2 py ? p ? 0 ?

F
p? ? ? 0, ? ? 2? ?

y

y?

p 2

O F x

99. ①直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?
AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或
2 2 1 2

?1 ? k ? ? ? ?( x ? x )

? 4 x1 x2 ? ? ? 1?

1 ? | y1 ? y2 | k2

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ? 为直线的斜率);

? y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , k F ( x , y ) ? 0 ?
2 2

②中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax ? By ? 1 ; ③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法 :设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 为椭圆 .....
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x2 y 2 b2 M x , x 上不同两点, 是 中点,则 ;对于双曲 ? ? 1( a ? b ? 0) k ? k ? ? AB ? ? 0 0 AB OM a 2 b2 a2 x2 y 2 b2 2 线 2 ? 2 ? 1(a、b ? 0) ,类似可得: k A B ? k O M ? 2 ;对于抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 有 a b a 2p . k AB ? y1 ? y2
100. 圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) F (x ? ,y? ) ? 0. 2 2 A ?B A2 ? B 2

第 十 章

概 率 、 统 计 及 统 计 案 例
m 事件A包含的基本事件数m = 试验的基本事件总数n n

101. 等可能性事件的概率: P( A) ? 102. P(A)=

构成事件 A的区域长度(面积或体 积) . 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积) 103. 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 104. n 个互斥事 件分别发生的 概 率的和 :P(A1 + A2 +? + An)=P(A1) + P(A2) +? +

P(An). 105. 抽样方法主要有:①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时, 它的主要特征是从总体中逐个抽取;②系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主要特征 就是均衡成若干部分,每一部分只取一个;③分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使 用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每 层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即:

每部分抽取的个体数 样本容量 ? 该部分的个体总数 总体中的个体数

或者

nk n ? Nk N

106. 总体分布的估计:用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地, 样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图. 107. 样本平均数: x ? 样本方差: s ?
2

x1 ? x2 ? x3 ? ... ? xn ; n

1? x1 ? x ? x2 ? x ? x3 ? x ? ... ? xn ? x ? ; ? n? 1? x1 ? x ? x2 ? x ? x3 ? x ? ... ? xn ? x ? 。 样本标准差: s ? ? n?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

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第 十 一 章
2 2 2


2












1 ,则执 2

108. ①画出计算 2 ? 4 ? 6 ? ??? ? 100 的程序框图,如图⑴;②对图⑵,若输入 行程序后输出 y 的值为:____
开始 s=0 i=2 开始 输入 y S1=0,i=1 s=s+i2 i=i+2
i=i+1

开始

输入

x1 , ? ? ?, x4

x>1 Y N x<1 N 是 Y

1 s ? s1 i
y=4x

i<=100 否

y=x

2

y=1

i<=4
否 输出 S



S1=S1+xi

输出 y 输出 s 结束 结束

结束

图⑴

图⑵

图⑶ ④如果执行下面的程序 框图,如图⑷,输入 N=5,则 输出的数等于 __________; ⑤阅读下面的程序框图⑸, 运行相应的程序后, 则输出 S 的值为_________.

③某城市缺水问题比较突出,为了制定节水 管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别 为: x1 , ???, x4 (单位:吨)。根据如图所示的程序框 图,若 x1 , x2 , x3 , x4 分别为 1,1.5,1.5,2,则输 出的结果 s 为______________.

开始 输入 N S=0,k=1

开始 s=0

i=1

s ? s?

1 k ? k ? 1?

k=k+1

a ? i ? 2i

s ? s?a


k<N 否 输出 S

i ? i ?1
否 s>11 是

结束 输出 s

结束

图⑷

图⑸

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第 十 二 章

推 理 与 证 明

109. ⑴归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有 代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 ; ⑵类比推理是从特殊到特殊的推理。通常是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相 似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠 110. 综合法是“由因导果” ;分析法是“执果索因” ;反证法,往往用于“正难则反” ,思路 决定出路。

第 十 三 章

数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

110. 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 111. 复数 z ? a ? bi 的模: | z | = | a ? bi | = a ? b . 112. 复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ;(2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ;
2 2

(3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?
2 2

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

113. z ? z ? z ? z (其中 z ? a ? bi 和 z ? a ? bi 互为共轭复数) 114. ⑴ ?1 ? i ? ? ?2i ;
2

1? i 1? i ?i; ? ?i 1? i 1? i ⑶虚数单位 i 的幂的周期性: i 4 n ?1 ? i , i 4n?2 ? ?1 , i 4n?3 ? ?i , i 4 n ? 4 ? 1 , n ? N ?

2 2

一、二、三、四 i 负一,相反数

3 2 115. 设 ? ? ? 1 ? 3 i ,则有: ①1 ? ? ? ? 2 ? 0 ;② ? 3 ? 1 ? ? ;③ ? 2 ? ? , ? ? ? .

第 十 四 章

几 何 证 明 选 讲

116. ① 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 ② 弦切角定理: 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角; 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。 ③ 切割线定理:过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这点到两个交点

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的线段长的比例中项。 推论(割线定理) :从圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的线段长的 B 积,等于另一条割线上对应线段长的积。 D ④ 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 ⑤ 直角三角形的射影定理: Rt ?ABC 中, AD 为斜边上的高,如图⑷。则有 ⑴ CD ? AD ? DB ;⑵ AC ? AD ? AB ⑶; BC ? BD ? AB .
2 2 2

A

C

图⑷

第 十 五 章

坐 标 系 和 参 数 方 程

117. 极坐标和直角坐标的互化 设为平面上的任一点,它的直角坐标为,极坐标为,如图⑸,由图可知下面的关系式成立:
y

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

或者

?? ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? ? x ? 0 ? x ?

M

x O

这就是极坐标和直角坐标之间的互化公式。

图⑸

第 十 六 章

不 等 式 选 讲

118. ⑴函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 ? x 的值域。 (答案提示: 图像如图⑴所示) 。 函数 f ? x ? ?1, ?? ? , 的几何意义;表示在数轴上,到定点 1 和 2 的距离之和。

?1, ? ⑵函数 g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ? x ? ? 2 x ? 3, ? ?1, ?

x?2 1 ? x ? 2 值域, (答案提示 ? ?1,1? ,其图像如图⑵ x ?1

所示) 。函数 g ? x ? 的几何意义:表示在数轴上,到定点 1 的距离与到定点 2 的距离的差。

y
3 2 1

y ? x ?1 ? 2 ? x

y
1

y ? x ?1 ? 2 ? x
1 2

x
1 图⑴ 2 3

o
-1 图⑵

x

o

⑶会根据绝对值的几何意义,求不等式 x ? 1 ? 2 ? x ? 1 、 x ? 1 ? 2 ? x ? 1 的解集。 具体求解不等式的类型及具体的解法,见“第七章 不等式” 。

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