nbhkdz.com冰点文库

2013年新疆乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷理科数学试题


2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

10.选 B. 解析】 【 双曲线的渐近线为 y ? ? 时, zmin ? 0 .

1 x, 抛物线的准线为 x ? 2 , z ? x ?y , 设 当直线过点 O ? 0,0? 2

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,

每小题 5 分,共 60 分.
题号 选项 1 D 2 C 3 A 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B 11 D 12 B

11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1F2 的方程为

? 2ac b ? a ? c ? ? , bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ? ? ,又 A2 ? a,0? , B1 ? 0, ?b? , ?a?c a?c ?
∴PB1 ? ?

1.选 D.【解析】 x ? 1 ? x ? 1 或 x ? ?1 ,由 A ? B = R ,得 m ? 1 . 2.选 C.【解析】

????

1 ? 2i ? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 a ? 2, b ? 1 . i
2 2

? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , ?, ? , PA2 ? ? a?c a?c ? ? a?c a?c ? ?

3.选 A.【解析】 a ? 0 ? a ? a ? 0 ;反之 a ? a ? 0 ? a ? 0, 或a ? ?1 ,不能推出 a ? 0 . 4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x) 的定义域为 ? ?1,1? 记 F ( x) ? f ? x ? ? g ( x) ? log 2
?1

1? x ,则 1? x

?2a 2 c ? a ? c ? 2ab 2 ? a ? c ? ???? ???? ? ? ? 0, ∵?B1PA2 为钝角∴PA2 ? PB1 ? 0 ,即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?

F (? x) ? l o g 2

1? x 1? x ? 1? x ? ? l o g? 2 2 ? ? ? l o g 1 ? x ? ? F ( x) ,故 f ? x ? ? g ( x) 是奇函数. 1? x ? 1? x ?

? 5 ?1 5 ?1 ?c? c 化简得 b ? ac , a ? c ? ac ,故 ? ? ? ? 1 ? 0 ,即 e2 ? e ? 1 ? 0 , e ? 或e ? , 2 2 ?a? a
2 2 2

2

5.选 D.【解析】函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x) ? x ? m 的根,作出

而 0 ? e ? 1 ,所以

5 ?1 ? e ? 1. 2

x?0 ? x, 的图象,观察它与直线 y ? m 的交点,得知当 m ? 0 时, h( x ) ? f ? x ? ? x ? ? x ? e ? x, x ? 0
或 m ? 1 时有交点,即函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点. 6.选 A.【解析】由 a1 ? 1 , a3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1

12.选 B.【解析】设 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边,由

?

??? ??? ??? 3 ??? 2 ??? ??? ??? ??? 3 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? CA ? CB ? AB ? AB 得 CA ? AB ? CB ? AB ? AB 5 5

?

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ? ∴a?

? 2a1 ? ( 2 ? 1 d ? 4 ? 4? ,解得 k ? 8 . k ) k 36
7.选 B.【解析】 AB ? 5, yA ? yB ? 4 ,所以 xA ? xB ? 3 ,即

3 2 3 c ,∴ a cos B ? b cos A ? c 5 5

T 2? ? 3 ,所以 T ? ?6, 2 ?

3 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 3 ?b? ? c ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , 5 2ac 2bc 5

??

?
3

由 f ? x ? ? 2sin ?

?? ? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2, ?2? ,即 2sin ? ? ? ? ? ?2 , 0 ? ? ? ? , ?3 ? ? 3 ?

解得 ? ? 解得

5? 5? ?? ,函数为 f ? x ? ? 2sin ? x ? 6 6 ?3

? ? 5? ? ? ? ,由 2k? ? 2 ? 3 x ? 6 ? 2k? ? 2 , ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 2 2 c ?c 2 2 2 tan A sin A cos B a a ?c ?b 2ac 5 ∴ ? ? ? ? ? ? ? 4. tan B sin B cos A b b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 c 2 ? c 2 5 2bc
二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =

6k ? 4 ? x ? 6k ?,故函数单调递增区间为 ?6k ? 4,6k ?1? ? k ?Z? . 1
2 n n ?1

10 + 20 + 30 + 40 + 50 ? 30 , 5

8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 9.选 C.【解析】 (略).

? 1 ,有 2n?1 ? 1 ? 127 ,故 n ? 6 .

? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75


62 + m + 75 + 81+ 89 = 75 ,故 m ? 68 . 5

14.填

1 . 【解析】平面 A BC1 ∥ 平面 ACD1 ,∴P 到平面 ACD1 的距离等于平面 A BC1 与平面 ACD1 间的 1 1 6

距离,等于

1 3 1 3 ,而 S?ACD1 ? AD1 ? CD1 sin 60? ? , B1 D ? 2 2 3 3

?d ? 2 ? d ? ?5 n?2 ? ? ?1? 解得 ? ,或 ? (舍) ∴an ? ? ? , bn ? 2n ; 1 3 ?2? ?q ? 2 ?q ? ? 8 ? ?
(Ⅱ )由(Ⅰ )得 ab ? a2 n ? ? ? n

…6 分

1 3 3 1 ∴ 三棱锥 P ? ACD1 的体积为 ? ? ? . 3 2 3 6

?1? ?2?

2 n?2



? 2? ? ? ? ?? ?? ? ? , t 秒旋转 t , A0OA ? t , ? 15.填 y ? sin ? t ? ? .解析】 xOA0 ? , A 每秒旋转 【 点 所以 3 12 6 6 6 3? ?6
?xOA ?

?1? 因为 ab ? 0.001 ? ? ? n ?2?

2 n ?2

? 0.001 ? 22 n?2 ? 1000 ,
…12 分

所以 2n ? 2 ? 10 ,即 n ? 6 ,∴ 最小的 n 值为 6.

?
6

t?

?
3

,则 y ? sin ?xOA ? sin ?

?? ?? t? ?. 3? ?6

18.(Ⅰ )依据条件,? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 ,? 的可能值为 0,1, 2,3 ,其分布列为:
3 C5k ? C10?k P ?? ? k ? ? ? k ? 0,1, 2,3? . 3 C15

16.填

1 a 2b 2 . 【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ? x , 2 2 k b ?a

?
P

? y ? kx a 2b 2 a 2b 2 k 2 ? 2 , y12 ? 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x1 ? 2 , b ? a2k 2 b ? a2k 2 ? 2 ?1 ? 2 ?a b
2 2 ∴ OA ? x1 ? y1 ? 2

0 24 91

1 45 91

2 20 91

3 2 91

…6 分

?1 ? k ? a b
2

2 2

b2 ? a 2 k 2
2 2 2

,同理 OB ?
2 2 2 2

?1 ? k ? a b
2

2 2

(Ⅱ )依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ? ,

5 1 ? , 15 3 1 ? 120 (天) 3
…12 分

k 2b 2 ? a 2

故 OA ? OB ?
2 2

?1 ? k ? a b ? ?1 ? k ? a b
b2 ? a 2 k 2 k 2b 2 ? a 2

一年中空气质量达到一级的天数为? ,则? ~ B ? 360, ? ,∴E? ? 360 ?

?

a 4b 4 ?a b ? ? a ? b
2 2 2 2 2

? ?

1? 3?

?

?

?k

k2
2

所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级.
2

? 1?



?k

k2
2

? 1?

2

?

1 1 ? (当且仅当 k ? ?1 时,取等号) 1 k2 ? 2 ? 2 4 k

19.设正方形 ABCD 的中心为 O , N 为 AB 的中点, R 为 BC 的中点,分别以 ON , OR , OV 所在直 线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系, 在 Rt ?VOB 中,可得 OV ? 30 , 则 V 0, 0, 30 , A

∴ OA ? OB ?
2 2

?b

4a 4b 4
2

? a2 ?

2

,又 b ? a ? 0 ,故 S ?AOB ?

1 a 2b 2 OA ? OB 的最小值为 2 . 2 b ? a2

?

? ?

3, ? 3, 0 , B

? ? ?

3, 3, 0 ,

?

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17.(Ⅰ )设 ?an ? 的公比为 q , ?bn ? 的公差为 d ,依题意 ?

? 3 ? C ? 3, 3, 0 , D ? 3, ? 3, 0 , M ? , 3, 0 ? , ? 3 ? ? ?

?

? ?

? 2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?

? 3 3 30 ? ? 3 3 30 ? P? ? 2 , 2 , 2 ?, Q? ? 2 ,? 2 , 2 ? . ? ? ? ? ? ? ?

于是 AP ? ? ?

??? ?

? ? ?

? 3 3 3 30 ? ??? , , ? , AB ? 0, 2 3, 0 , 2 2 2 ? ?

?

?

∴sin ? ? sin ? ?

1 1 1 1 x1 ? x2 ? 2 x ? x ?2 ? ? ? ? ? 1 2 ?1, AF BF x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 1 ? x1 ? x2 ? 1

???? ? 2 3 ? ? ? ??? ? 3 3 3 30 ? AM ? ? ? , 2 3, 0 ? , CQ ? ? ? ? ? 2 ,? 2 , 2 ? . ? 3 ? ? ? ?
(Ⅰ )∵AP ? CQ ? ? ?

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 对于(Ⅰ )中(2)的情况不符合题意(即作直线 l ,交 C 于一个点或无数个点,而非两个交点). 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 . 21. )∵ f ? ? x ? ? (Ⅰ …6 分 …12 分

? 3 3 3 30 ? ? 3 3 3 30 ? ? 2 , 2 , 2 ??? 2 ,? 2 , 2 ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ∴CQ ? AP ,即 CQ ⊥ AP ; ??? ??? ? ?

1 ? 1, ax

??? ? ?n1 ? AP ? 0 ?a ? 3b ? 10c ? 0 ? ? (Ⅱ )设平面 BAP 的法向量为 n1 ? ? a, b, c ? ,由 ? 得? ??? ? ?n1 ? AB ? 0 ?b ? 0 ? ?
故 n1 ?

1 ?1 , a 1 1 依题意 ? 1 ? 0 ,故 a ? 1 ,∴ f ? x ? ? ln x ? x , f ? ? x ? ? ? 1 , a x
∴ 曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线斜率为 k ? f ? ?1? ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0,1? ,减区间为 ?1, ?? ? ; …6 分

?

?

?

10, 0,1 ,同理可得平面 APM 的法向量为 n2 ? ? 3,1,0? ,
n1 ? n 2 3 11 ? . n1 n 2 11
2

?

设二面角 B ? AP ? M 的平面角为 ? ,则 cos ? ?

…12 分

(Ⅱ )若 a ? 0 ,因为此时对一切 x ? ? 0,1? ,都有

20. )⊙F 的半径为 (Ⅰ

4 ?1 42 ? 32

? 1,⊙F 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,

由题意动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切,分以下情况: (1)动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切,但切点不是原点的情况: 作 MH ⊥ y 轴于 H ,则 MF ? 1 ? MH ,即 MF ? MH ? 1,则 MF ? MN ( N 是过 M 作 直线 x ? ?1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ?1 为准线的抛物线. ∴ M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0? ; 点
2

ln x ln x ? 0 , x ? 1 ? 0 ,所以 ? x ? 1 ,与题意矛盾, a a 1 1 ? 1,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? . 又 a ? 0 ,故 a ? 0 ,由 f ? ? x ? ? ax a 1 1 当 0 ? x ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增;当 x ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; a a 1 1 1 1 ? 所以 f ? x ? 在 x ? 处取得最大值 ln ? ,故对 ?x ? R , f ? x ? ? ?1 恒成立,当且仅当对 a a a a 1 1 1 ?a ? R ? , ln ? ? ?1 恒成立. a a a 1 令 ? t , g ? t ? ? t ln t ? t , t ? 0 . a
则 g? ?t ? ? ln t ,当 0 ? t ? 1 时, g ? ? t ? ? 0 ,函数 g ? t ? 单调递减;当 t ? 1 时, g ? ? t ? ? 0 ,函数 g ? t ?

(2)动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切且仅切于原点的情况: 此时点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 0 ( x ? 0,1) ; (Ⅱ )对于(Ⅰ )中(1)的情况: …6 分

单调递增;所以 g ? t ? 在 t ? 1 处取得最小值 ?1 ,因此, 当且仅当 成立. 故 a 的取值集合为 ?1? . 22. )连接 BC ,∵ AB 是 ? O 的直径,∴?ACB ? 90? . (Ⅰ ∴?B ? ?CAB ? 90? ∵ AD ? CE ,∴?ACD ? ?DAC ? 90? ,

1 1 1 1 ? 1 ,即 a ? 1 时, ln ? ? ?1 a a a a
…12 分

? y ? k ? x ? 1? ? 当 l 不与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由 ? 得 2 ? y ? 4x ?

2k 2 ? 4 k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 ,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 k2
2 2 2 2

∵ AC 是弦,且直线 CE 和 ? O 切于点 C , ∴?ACD ? ?B ∴?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ )由(Ⅰ )知 ?ABC ? ?ACD ,∴ …5 分

故 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? . 2 2

? ?

1? ?

?5 ?

? ?

…10 分

AC AD 2 ? ,由此得 AC ? AB ? AD . AB AC

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

2 2 ∵ AB ? 4 AD ,∴ AC ? 4 AD ? AD = 4 AD ? AC ? 2 AD ,于是 ?DAC ? 60? ,

故 ?BAD 的大小为 120? . 23. )设曲线 C 上任一点为 ? x, y ? ,则 ? x,2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上, (Ⅰ
2 2
2 于是 x ? ? 2 y ? ? 4 即 2

…10 分

x2 ? y2 ? 1 . 4

直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos? ? 2? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l0 , 设直线 l 上任一点为 ? ? ,? ? ,则点 ? ? ,? ? 90?? 在 l0 上, 于是 3? cos ?? ? 90?? ? 2? sin ?? ? 90?? ? 8 ? 0 ,即: 3? sin ? ? 2? cos? ? 8 ? 0 故直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 (Ⅱ )设曲线 C 上任一点为 M ? 2cos? ,sin ? ? , 它到直线 l 的距离为 d ? 其中 ?0 满足: cos ? 0 ? …5 分

4cos ? ? 3sin ? ? 8 22 ? 32

?

5cos ?? ? ?0 ? ? 8 13



4 3 ,sin ? 0 ? . 5 5
…10 分 …5 分

∴ ? ? ?0 ? ? 时, dmax ? 13 . 当 24. ) f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 1 . (Ⅰ

(Ⅱ )∵

a2 ? 2 a2 ? 1

?

a2 ? 1 ? 1 a2 ? 1

? a2 ? 1 ?

1 a2 ? 1

? 2,

∴ 要使

a2 ? 2 a2 ? 1

成立,需且只需 x ?1 ? x ? 2 ? 2 ,

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ?x ? 2 1 5 ,或 ? ,或 ? ,解得 x ? ,或 x ? 2 2 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 2 ? x ?1 ? x ? 2 ? 2


新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学(理)试题

新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区...2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷 理科数学(问卷) (卷面分值:...

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷理科数学(问卷) ...

乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案

乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第一次诊断性测验 理科数学(问卷)(...

新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学文试题(WORD版)

新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学试题(WORD版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验 试卷文科数学(问卷...

新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学(理)试题

新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。试卷新疆乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次诊断性测验试卷 理科数学(问卷) (卷...

2013年乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验参考答案及评分标准理科数学试题参考答案及评分标准

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷 理科数学试题参考答案及评分...新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高三年级统一考试 乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次...

新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验英语试题

新疆乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次诊断性测验 英语试卷第 I 卷(选择题,共 115 分)第一部分听力(共两节,满分 30 分) 做题时, 先将答案标在试卷上,...

乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案

乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案_资格考试/认证_...2013年新疆乌鲁木齐地区... 6页 免费 乌鲁木齐地区2014年高三... 14页 免费...

2013年乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验及参考答案

乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次 诊断性测验化学试卷(问卷)可能用到的相对原子...溶液的最小浓度为第7页 化学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷(选择题题号 答案 ...